2007年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷及答案-四川卷.pdf

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1、2007 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 2 页。第卷 3 到 10 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第卷 注意事项： 1答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号。不能答在试题卷上。 3本卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 参考公式： 如果事件 A、 B 互斥，那么 球是表面积公式 )()()( BPA

2、PBAP +=+ 2 4 RS = 如果事件 A、 B 相互独立，那么 其中 R 表示球的半径 )()()( BPAPBAP = 球的体积公式 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P，那么 3 3 4 RV = n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R 表示球的半径 knkk nn PPCkP = )1()( 一、选择题 (1)设集合 M=4,5,6,8,集合 N=3,5,7,8那么 M N= (A)3,4,5,6,7,8 (B)5,8 (C)3,5,7,8 (D)4,5,6,8 (2)函数 f(x)=1+log 2 x 与 g（ x） =2 -x+1 在同一直角坐标系下的图象

3、大致是 (3)某商场买来一车苹果，从中随机抽取了 10 个苹果，其重量（单位：克）分别为： 150， 152， 153， 149， 148， 146， 151， 150， 152， 147，由此估计这车苹果单个重量的期望值是 (A)150.2 克 (B)149.8 克 (C)149.4 克 (D)147.8 克 (4)如图， ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 为正方体，下面结论错误 的是 (A） BD平面 CB 1 D 1 (B)AC1 BD (C)AC 1 平面 CB 1 D 1 (D)异面直线 AD 与 CB 所成的角为 60 （ 5）如果双曲线 24 2 2 yx 1 上一点 P

4、 到双曲线右焦点的距离是 2,那么点 P 到 y 轴的距离 是 (A) 3 64 (B) 3 62 (C)62 (D)32 （ 6）设球 O 的半径是 1， A、 B、 C 是球面上三点，已知 A 到 B、 C 两点的 球面距离都是 2 ，且二面角 B-OA-C 的大小是 3 ，则从 A 点沿球面经 B、 C 两点再回到 A 点的最短距离是 (A) 6 7 (B) 4 5 (C) 3 4 (D) 2 3 （ 7）等差数列 a n 中， a 1 =1,a 3 +a 5 =14，其降 n 项和 S n =100,则 n= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12 (8)设 A（ a,1） ,B

5、(2,b),C(4,5)为坐标平面上三点， O 为坐标原点，若 OA 与 OB 在 OC 方向上 的投影相同，则 a 与 b 满足的关系式为 A.4a-5b=3 B.5a-4b=3 C.4a+5b=14 D.5a+4b=12 (9)用数字 1， 2， 3， 4， 5 可以组成没有重复数字，并且比 20 000 大的五位偶数共有 A.48 个 B.36个 C.24个 D.18个 (10)已知抛物线 y-x 2 +3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、 B，则 |AB|等于 A.3 B.4 C.3 2 D.4 2 （ 11）某公司有 60 万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项

6、目甲的投资不小于对 项目乙投资的 3 2 倍，且对每个项目的投资不能低于 5 万元，对项目甲每投资 1 万元可获得 0.4 万元的利润，对项目乙每投资 1 万元可获得 0.6 万元的利润，该公司正确提财投资后， 在两个项目上共可获得的最大利润为 A.36 万元 B.31.2万元 C.30.4万元 D.24万元 (12)如图， l 1 、 l 2 、 l 3 是同一平面内的三条平行直线， l 1 与 l 2 与 l 3 同的距离是 2， 正三角形 ABC 的三顶点分别在 l 1 、 l 2 、 l 3 上，则 ABC 的边长是 A.2 3 B. 3 64 C. 4 73 D. 3 212 二、填

7、空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，把答案填在题横线上 . （ 13） . 1 n x x 的展开式中的第 5 项为常数项，那么正整数 n 的值是 . 14、在正三棱柱 111 ABC A B C 中，侧棱长为 2 ，底面三角形的边长为 1，则 1 BC 与侧面 11 ACC A 所成的角是 _ 15、已知 Onull 的方程是 22 20 xy+=， Onull 的方程是 22 8100 xy x+ +=，由动点 P 向 Onull 和 Onull 所引的切线长相等，则运点 P 的轨迹方程是 _ 16、下面有 5 个命题： 函数 44 sin cosy xx=的最小正周期

8、是 ； 终边在 y 轴上的角的集合是 | , 2 k kZ =； 在同一坐标系中，函数 sinyx= 的图象和函数 yx= 的图象有 3 个公共点； 把函数 3sin(2 ) 3 yx =+的图象向右平移 6 得到 3sin2y x= 的图象； 角 为第一象限角的充要条件是 sin 0 其中，真命题的编号是 _（写出所有真命题的编号） 三、解答题：本大题共 6 小题。共 74 分，解答应写出文字说明。证明过程或运算步骤 （ 17） （本小题满分 12 分） 厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家对一般产品致冷商家的，商家符合规定拾取 一定数量的产品做检验，以决定是否验收这些产品 . （）若厂家

9、库房中的每件产品合格的概率为 0.3，从中任意取出 4 种进行检验，求至 少要 1 件是合格产品的概率 . ( )若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件，来进行检验，只有 2 件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出 不合格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。 （ 18） （本小题满分 12 分） 已知 cos= 7 1 ,cos(-) 14 13 ，且 0 2 , ( )求 tan2 的值； （）求 . (19) (本小题满分 12 分 ) 如图， 平面 PCBM平面 ABC, PCB=90,PM BC

10、,直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60， 又 AC=1,BC=2PM=2, ACB=90 ( )求证： AC BM; ( )求二面角 M-AB-C 的大小； （）求多面体 PMABC 的体积 . （ 20） (本小题满分 12 分 ) 设函数 f（ x） =ax 3 +bx+c（ a0）为奇函数，其图象在点（ 1,f（ 1） ）处的切线与直线 x 6y 7=0 垂直，导函数 f （ x）的最小值为 12. （）求 a， b， c 的值； （）求函数 f（ x）的单调递增区间，并求函数 f（ x）在 1,3上的最大值和最小值 . （ 21） (本小题满分 12 分 ) 求 F 1 、 F

11、2 分别是横线 2 2 1 4 x y+=的左、右焦点 . （）若 r 是第一象限内该数轴上的一点， 22 12 5 4 PF PF+ = nullnullnullnull nullnullnullnullnull ，求点 P 的作标； （）设过定点 M（ 0， 2）的直线 l 与椭圆交于同的两点 A、 B，且 ADB 为锐角（其中 O 为作标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 . （ 22） (本小题满分 14 分 ) 已知函数 f（ x） =x 2 4，设曲线 y f（ x）在点（ x n ， f（ x n ） ）处的切线与 x 轴的交点为（ x n+1 ,u） （ u,N +

12、） ，其中为正实数 . （）用 x x 表示 x n+1 ； （）若 a 1 =4，记 a n =lg 2 2 n n x x + ，证明数列 a 1 成等比数列，并求数列 x n 的通项公式； （）若 x 1 4， b n x n 2， T n 是数列 b n 的前 n 项和，证明 T n 其中，真命题的编号是 _（写出所有真命题的编号） 解析： 4422 sin cos sin cos 2y xxxxcosx=，正确；错误； siny x= ， tany x= 和 yx= 在第一象限无交点，错误；正确；错误故选 三、解答题： 本大题共 6 小题，共 74 分；解答应写出文字说明，证明过程或

13、演算步骤 17、 （本小题满分 12 分）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时， 商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这些产品 （）若厂家库房中的每件产品合格的概率为 0.8，从中任意取出 4 种进行检验，求至少要 1 件是合格产品的概率 （）若厂家发给商家 20 件产品，其中有 3 件不合格，按合同规定该商家从中任取 2 件， 来进行检验，只有 2 件产品合格时才接收这些产品，否则拒收，分别求出该商家计算出不合 格产品为 1 件和 2 件的概率，并求该商家拒收这些产品的概率。 解析：本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考查运用所学知识与

14、方法解决实际 问题的能力 （）记“厂家任取 4 件产品检验，其中至少有 1 件是合格品”为事件 A 用对立事件 A 来 算，有 4 ( ) 1 ( ) 1 0.2 0.9984PA PA= = = （）记“商家任取 2 件产品检验，其中不合格产品数为 i 件” (1,2)i = 为事件 i A 11 17 3 1 2 20 51 () 190 CC PA C = 2 3 2 2 20 3 () 190 C PA C = 商家拒收这批产品的概率 12 51 3 27 () () 190 190 95 PPA PA=+=+= 故商家拒收这批产品的概率为 27 95 18、 （本小题满分 12 分）

15、已知 1 cos 7 = ， 13 cos( ) 14 = ，且 0 2 （）求 tan 2 的值； （）求 解析：本题考查三角恒等变形的主要基本公式、三角函数值的符号、已知三角函数值求角以 及计算能力 （）由 1 cos 7 = ， 0 2 ，得 22 143 sin 1 cos 1 ( ) 77 = = = sin 4 3 7 tan 4 3 cos 7 1 = 于是 2 2 2tan 2 4 3 8 3 tan 2 1tan 47 1(43) = = （）由 0 2 ，得 0 2 ， 有 (0,2,0)B ， (1,0,0)A ， 0 (0,1, )M z 0 (1,1, )AMz= n

16、ullnullnullnullnull ， 0 (0,0, )CP z= nullnullnullnull 由直线 AM 与直线 PC 所成的角为 60，得 cos 60AM CP AM CP= nullnullnullnullnullnullnullnullnull nullnullnullnullnullnullnullnullnull 即 22 000 1 2 2 zzz=+，解得 0 6 3 z = 6 (1,1, ) 3 AM = nullnullnullnullnull ， (1,2,0)AB = nullnullnullnull 设平面 MAB 的一个法向量为 1111 (, ,

17、)nxyz= nullnull ，则 由 6 0 0 3 0 20 nAM xy z nAB xy = + = = + = null nullnullnullnullnull nullnullnullnullnull ，取 1 6z = ，得 1 (4,2, 6)n = nullnull 取平面 ABC 的一个法向量为 2 (0,0,1)n = nullnullnull 则 12 cos ,nn nullnull nullnullnull 12 12 639 13 26 1 nn nn = nullnull nullnullnull nullnull nullnullnull 由图知二面角 M

18、 AB C为锐二面角，故二面角 M AB C 的大小为 39 arccos 13 （）多面体 PMABC 就是四棱锥 A BCPM 111 166 () (21)1 332 33 PMABC A PMBC PMBC VV SAC PMCBCPAC = = = + =+ = 20、 （本小题满分 12 分）设函数 3 ()f xaxbxc= +(0)a 为奇函数，其图象在点 (1, (1)f 处的切线与直线 670 xy=垂直，导函数 ( )f x 的最小值为 12 （）求 a ， b ， c 的值； （）求函数 ()f x 的单调递增区间，并求函数 ()f x 在 1,3 上的最大值和最小值

19、解析：本题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础知识，以及推 理能力和运算能力 （） ()f x 为奇函数， () ()f xfx= 即 33 ax bx c ax bx c+= 0c = 2 ( ) 3f xaxb=+的最小值为 12 12b = 又直线 670 xy=的斜率为 1 6 因此， (1) 3 6fab= += 2a = ， 12b = ， 0c = （） 3 () 2 12f xx x= 2 ( ) 6 12 6( 2)( 2)fx x x x=+ ，列表如下： x (,2) 2 (2,2) 2 (2, )+ ( )f x + 0 0 + ()f x nul

20、l 极大 null 极小 null 所以函数 ()f x 的单调增区间是 (,2) 和 (2, )+ (1) 10f = ， (2) 82f = ， (3) 18f = ()f x 在 1,3 上的最大值是 (3) 18f = ，最小值是 (2) 82f = 21、 （本小题满分 12 分）设 1 F 、 2 F 分别是椭圆 2 2 1 4 x y+ = 的左、右焦点 （）若 P 是第一象限内该椭圆上的一点，且 12 5 4 PF PF = nullnullnullnull nullnullnullnullnull ，求点 P 的作标； （）设过定点 (0,2)M 的直线 l 与椭圆交于同的两

21、点 A 、 B ，且 AOB 为锐角（其中 O 为 作标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 解析：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解 决问题及推理计算能力 （）易知 2a = ， 1b = ， 3c = 1 (3,0)F ， 2 (3,0)F 设 (, )Pxy (0, 0)xy则 22 12 5 (3 ,)(3 ,) 3 4 PFPF xy xy x y= =+= nullnullnullnull nullnullnullnullnull ，又 2 2 1 4 x y+=， 联立 22 2 2 7 4 1 4 xy x y += += ，解得

22、 2 2 1 1 3 3 4 2 x x y y = = = = ， 3 (1, ) 2 P （）显然 0 x = 不满足题设条件可设 l 的方程为 2ykx= + ，设 11 (, )Ax y ， 22 (, )B xy 联立 2 2 22 2 1 4( 2) 4 (1 4 ) 16 12 0 4 2 x y xkx kxkx ykx += + + =+ + += =+ 12 2 12 14 xx k = + ， 12 2 16 14 k xx k += + 由 22 (16 ) 4 (1 4 ) 12 0kk= + 22 16 3(1 4 ) 0kk+ ， 2 430k ，得 2 3 4

23、k 又 AOB 为锐角 cos 0 0AOB OA OB nullnullnullnullnullnullnullnull ， 12 12 0OA OB x x y y= + nullnullnullnullnullnullnullnull 又 2 12 1 2 12 1 2 (2)(2) 2( )4y y kx kx k x x k x x=+ += + + 12 12 x xyy+ 2 12 1 2 (1 ) 2 ( ) 4kxx kx x=+ + + + 2 22 12 16 (1 ) 2 ( ) 4 14 14 k kk kk =+ + + + 2 22 12(1 ) 2 16 4 1

24、4 14 kkk+ =+ + 2 2 4(4 ) 0 14 k k = + 2 1 4 4 k 综可知 2 3 4 4 k， k 的取值范围是 33 (2, ) ( ,2) 22 22、 （本小题满分 14 分）已知函数 2 () 4fx x= ，设曲线 ()y fx= 在点 (,() nn x fx 处的切 线与 x 轴的交点为 1 (,0) n x + (*)nN ，其中 1 x 为正实数 （）用 n x 表示 1n x + ； （）若 1 4x = ，记 2 lg 2 n n n x a x + = ，证明数列 n a 成等比数列，并求数列 n x 的通项公式； （）若 1 4x = ， 2 nn bx=， n T 是数列 n b 的前 n 项和，证明 3 n T 1 111 2 1 22 22 31 1 1 11 3 313 13 3 n nn n n n b b + = + 当 1n = 时，显然 11 23Tb= 时， 21 12 1 11 1 () () 33 3 n nn n bb b b null 12nn Tbb b=+null 1 11 () 33 n bb b + +null 1 1 1 ( ) 3 1 1 3 n b = 1 33() 3 3 n = 综上， 3 n T (*)nN