2016年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文及答案解析.docx

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1、2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 (浙 江 卷 )数 学 文一 、 选 择 题1.已 知 全 集 U=1， 2， 3， 4， 5， 6， 集 合 P=1， 3， 5， Q=1， 2， 4， 则 (CUP) Q=( )A.1B.3， 5C.1， 2， 4， 6D.1， 2， 3， 4， 5解 析 ： C UP=2， 4， 6， (CUP) Q=2， 4， 6 1， 2， 4=1， 2， 4， 6.答 案 ： C.2.已 知 互 相 垂 直 的 平 面 ， 交 于 直 线 l， 若 直 线 m， n 满 足 m ， n ， 则 ( )A.m lB.m nC.n l

2、D.m n解 析 ： 互 相 垂 直 的 平 面 ， 交 于 直 线 l， 直 线 m， n 满 足 m ， m 或 m 或 m ， l ， n ， n l.答 案 ： C 3.函 数 y=sinx2的 图 象 是 ( )A.B. C. D.解 析 ： sin(-x)2=sinx2， 函 数 y=sinx2是 偶 函 数 ， 即 函 数 的 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 排 除 A， C；由 y=sinx2=0， 则 x2= k ， k 0， 则 x= k ， k 0，故 函 数 有 无 穷 多 个 零 点 ， 排 除 B.答 案 ： D4.若 平 面 区 域 3 02 3 02 3 0

3、 x yx yx y ， ， 夹 在 两 条 斜 率 为 1 的 平 行 直 线 之 间 ， 则 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 的 最 小 值 是 ( )A. 3 55B. 2C. 3 22D. 5解 析 ： 作 出 平 面 区 域 如 图 所 示 ： 当 直 线 y=x+b分 别 经 过 A， B 时 ， 平 行 线 间 的 距 离 相 等 .联 立 方 程 组 3 02 3 0 x yx y ， ， 解 得 A(2， 1)， 联 立 方 程 组 3 02 3 0 x yx y ， ， 解 得 B(1， 2).两 条 平 行 线 分 别 为 y=x-1， y=x+1， 即 x-

4、y-1=0， x-y+1=0. 平 行 线 间 的 距 离 为 d= 1 1 22 .答 案 ： B5.已 知 a， b 0且 a 1， b 1， 若 log ab 1， 则 ( )A.(a-1)(b-1) 0B.(a-1)(a-b) 0C.(b-1)(b-a) 0D.(b-1)(b-a) 0解 析 ： 若 a 1， 则 由 logab 1 得 logab logaa， 即 b a 1， 此 时 b-a 0， b 1， 即 (b-1)(b-a) 0，若 0 a 1， 则 由 log ab 1 得 logab logaa， 即 b a 1， 此 时 b-a 0， b 1， 即 (b-1)(b-a

5、) 0，综 上 (b-1)(b-a) 0.答 案 ： D6.已 知 函 数 f(x)=x2+bx， 则 “ b 0” 是 “ f(f(x)的 最 小 值 与 f(x)的 最 小 值 相 等 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： f(x)的 对 称 轴 为 x=- 2b ， f min(x)=- 24b .(1)若 b 0， 则 - 2b - 24b ， 当 f(x)=- 2b 时 ， f(f(x)取 得 最 小 值 f(- 2b )=- 24b ，即 f(f(x)的 最 小 值

6、与 f(x)的 最 小 值 相 等 . “ b 0” 是 “ f(f(x)的 最 小 值 与 f(x)的 最 小 值 相 等 ” 的 充 分 条 件 .(2)若 f(f(x)的 最 小 值 与 f(x)的 最 小 值 相 等 ，则 f min(x) - 2b ， 即 - 24b - 2b ， 解 得 b 0 或 b 2. “ b 0” 不 是 “ f(f(x)的 最 小 值 与 f(x)的 最 小 值 相 等 ” 的 必 要 条 件 .答 案 ： A7.已 知 函 数 f(x)满 足 ： f(x) |x|且 f(x) 2x， x R.( )A.若 f(a) |b|， 则 a bB.若 f(a)

7、 2b， 则 a bC.若 f(a) |b|， 则 a bD.若 f(a) 2 b， 则 a b解 析 ： A.若 f(a) |b|， 则 由 条 件 f(x) |x|得 f(a) |a|，即 |a| |b|， 则 a b 不 一 定 成 立 ， 故 A 错 误 ； B.若 f(a) 2b， 则 由 条 件 知 f(x) 2x，即 f(a) 2a， 则 2a f(a) 2b， 则 a b， 故 B正 确 ；C.若 f(a) |b|， 则 由 条 件 f(x) |x|得 f(a) |a|， 则 |a| |b|不 一 定 成 立 ， 故 C 错 误 ；D.若 f(a) 2b， 则 由 条 件 f(

8、x) 2x， 得 f(a) 2a， 则 2a 2b， 不 一 定 成 立 ， 即 a b 不 一 定成 立 ， 故 D错 误 .答 案 ： B8.如 图 ， 点 列 A n、 Bn分 别 在 某 锐 角 的 两 边 上 ， 且 |AnAn+1|=|An+1An+2|， An An+1， n N*，|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|， Bn Bn+1， n N*， (P Q 表 示 点 P 与 Q 不 重 合 )若 dn=|AnBn|， Sn为 AnBnBn+1的 面 积 ， 则 ( )A.S n是 等 差 数 列B.Sn2是 等 差 数 列C.dn是 等 差 数 列D.dn2是 等 差 数

9、 列解 析 ： 设 锐 角 的 顶 点 为 O， |OA1|=a， |OB1|=b，|A nAn+1|=|An+1An+2|=b， |BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|=d，由 于 a， b 不 确 定 ， 则 dn不 一 定 是 等 差 数 列 ， dn2不 一 定 是 等 差 数 列 ，设 AnBnBn+1的 底 边 BnBn+1上 的 高 为 hn，由 三 角 形 的 相 似 可 得 1 1 1n nn n a n bh OAh OA a nb ， 21 1 12n nn n a n bh OAh OA a nb ，两 式 相 加 可 得 ， 21 2 2 2n nnh h a nbh

10、 a nb ， 即 有 h n+hn+2=2hn+1，由 Sn= 12 d hn， 可 得 Sn+Sn+2=2Sn+1， 即 为 Sn+2-Sn+1=Sn+1-Sn， 则 数 列 Sn为 等 差 数 列 .答 案 ： A二 、 填 空 题 9.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 (单 位 ： cm)， 则 该 几 何 体 的 表 面 积 是 cm2， 体 积 是cm3.解 析 ： 根 据 几 何 体 的 三 视 图 ， 得 ： 该 几 何 体 是 下 部 为 长 方 体 ， 其 长 和 宽 都 为 4， 高 为 2，表 面 积 为 2 4 4+2 42=64cm2， 体 积 为 2

11、 42=32cm3；上 部 为 正 方 体 ， 其 棱 长 为 2，表 面 积 是 6 22=24 cm2， 体 积 为 23=8cm3；所 以 几 何 体 的 表 面 积 为 64+24-2 22=80cm2，体 积 为 32+8=40cm3.答 案 ： 80； 40.10.已 知 a R， 方 程 a 2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0 表 示 圆 ， 则 圆 心 坐 标 是 ， 半 径是 .解 析 ： 方 程 a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表 示 圆 ， a2=a+2 0， 解 得 a=-1或 a=2.当 a=-1时 ， 方 程 化 为 x2+y2+4x+8y-

12、5=0，配 方 得 (x+2)2+(y+4)2=25， 所 得 圆 的 圆 心 坐 标 为 (-2， -4)， 半 径 为 5；当 a=2时 ， 方 程 化 为 x2+y2+x+2y+ 52 =0，此 时 D 2+E2-4F=1+4-4 52 =-5 0， 方 程 不 表 示 圆 .答 案 ： (-2， -4)， 5.11.已 知 2cos2x+sin2x=Asin( x+ )+b(A 0)， 则 A= ， b= .解 析 ： 2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+ 2 ( 22 cos2x+ 22 sin2x)+1= 2 sin(2x+ 4 )+1， A= 2 ， b=1

13、，答 案 ： 2 ； 1.12.设 函 数 f(x)=x 3+3x2+1， 已 知 a 0， 且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2 ， x R， 则 实 数a= ， b= .解 析 ： f(x)=x3+3x2+1， f(x)-f(a)=x3+3x2+1-(a3+3a2+1)=x3+3x2-(a3+3a2)， (x-b)(x-a)2=(x-b)(x2-2ax+a2)=x3-(2a+b)x2+(a2+2ab)x-a2b，且 f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2， 23 2 22 32 03a ba aba a a b ， ， ， 解 得 21ab ， 或 03ab ， (舍 去 )

14、.答 案 ： -2； 1.13.设 双 曲 线 x 2- 23y =1的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1、 F2， 若 点 P 在 双 曲 线 上 ， 且 F1PF2为 锐 角 三角 形 ， 则 |PF1|+|PF2|的 取 值 范 围 是 .解 析 ： 如 图 ， 由 双 曲 线 x2- 23y =1， 得 a2=1， b2=3， c= 2 2a b =2.不 妨 以 P 在 双 曲 线 右 支 为 例 ， 当 PF2 x轴 时 ，把 x=2代 入 x2- 23y =1， 得 y= 3， 即 |PF2|=3，此 时 |PF1|=|PF2|+2=5， 则 |PF1|+|PF2|=8；由

15、PF1 PF2， 得 |PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=16，又 |PF 1|-|PF2|=2， 两 边 平 方 得 ： |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|=4， |PF1|PF2|=6， 联 立 解 得 ： |PF1|=1+ 7 ， |PF2|=-1+ 7 ，此 时 |PF1|+|PF2|=2+ 7 . 使 F 1PF2为 锐 角 三 角 形 的 |PF1|+|PF2|的 取 值 范 围 是 (2 7 ， 8).答 案 ： (2 7 ， 8).14.如 图 ， 已 知 平 面 四 边 形 ABCD， AB=BC=3， CD=1， AD= 5 ， ADC=90

16、， 沿 直 线 AC将 ACD翻 折 成 ACD ， 直 线 AC与 BD 所 成 角 的 余 弦 的 最 大 值 是 . 解 析 ： 如 图 所 示 ， 取 AC 的 中 点 O， AB=BC=3， BO AC，在 Rt ACD 中 ， AC= 221 65 .作 D E AC， 垂 足 为 E， D E=1 5 30 666 .CO= 62 ， CE= 2 6661D CCA ， EO=CO-CE= 63 .过 点 B作 BF BO， 作 FE BO 交 BF 于 点 F， 则 EF AC.连 接 D F. FBD 为 直 线 AC与 BD所 成 的 角 .则 四 边 形 BOEF 为 矩

17、 形 ， BF=EO= 63 .EF=BO= 22 62 303 2 .则 FED 为 二 面 角 D -CA-B的 平 面 角 ， 设 为 .则 D F 2= 2 230 30 30 30 25 102 cos 5cos6 2 6 2 3 3 ， cos =1时 取 等 号 . D B 的 最 小 值 = 2103 63 =2. 直 线 AC 与 BD 所 成 角 的 余 弦 的 最 大 值= 6 63 62BFD B .答 案 ： 6615.已 知 平 面 向 量 a ， b ， | a |=1， | b |=2， a b =1， 若 e 为 平 面 单 位 向 量 ， 则 |a e |+

18、|b e |的 最 大 值 是 .解 析 ： a e b ea e b e e e ，其 几 何 意 义 为 a 在 e上 的 投 影 的 绝 对 值 与 b 在 e上 投 影 的 绝 对 值 的 和 ，当 e与 a +b 共 线 时 ， 取 得 最 大 值 . 2 2 2( ) 7maxa e b e a b a b a b .答 案 ： 7. 三 、 解 答 题16.在 ABC中 ， 内 角 A， B， C所 对 的 边 分 别 为 a， b， c， 已 知 b+c=2acosB.(1)证 明 ： A=2B；(2)若 cosB= 23 ， 求 cosC的 值 .解 析 ： (1) 由 b+

19、c=2acosB ， 利 用 正 弦 定 理 可 得 ： sinB+sinC=2sinAcosB ， 而sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， 代 入 化 简 可 得 ： sinB=sin(A-B)， 由 A， B (0， )，可 得 0 A-B ， 即 可 证 明 .(II)cosB= 23 ， 可 得 sinB= 21 cos B .cosA=cos2B=2cos2B-1， sinA= 21 cos A .利 用cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB即 可 得 出 .答 案 ： (1) b+c=2acosB， sinB+sinC=2si

20、nAcosB， sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB， sinB=sinAcosB-cosAsinB=sin(A-B)， 由 A， B (0， )， 0 A-B ， B=A-B， 或 B= -(A-B)， 化 为 A=2B， 或 A= (舍 去 ). A=2B.(II)cosB= 23 ， sinB= 21 cos B = 53 .cosA=cos2B=2cos 2B-1=- 19 ， sinA= 2 4 51 cos 9A . cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB= 2 5( )3 31 4 5 229 9 27 .17.设 数 列 a

21、 n的 前 n项 和 为 Sn， 已 知 S2=4， an+1=2Sn+1， n N*.( )求 通 项 公 式 an； ( )求 数 列 |an-n-2|的 前 n项 和 .解 析 ： ( )根 据 条 件 建 立 方 程 组 关 系 ， 求 出 首 项 ， 利 用 数 列 的 递 推 关 系 证 明 数 列 an是 公 比q=3的 等 比 数 列 ， 即 可 求 通 项 公 式 an；( )讨 论 n的 取 值 ， 利 用 分 组 法 将 数 列 转 化 为 等 比 数 列 和 等 差 数 列 即 可 求 数 列 |an-n-2|的前 n 项 和 .答 案 ： ( ) S2=4， an+1

22、=2Sn+1， n N*. a1+a2=4， a2=2S1+1=2a1+1， 解 得 a1=1， a2=3，当 n 2 时 ， an+1=2Sn+1， an=2Sn-1+1，两 式 相 减 得 a n+1-an=2(Sn-Sn-1)=2an，即 an+1=3an， 当 n=1时 ， a1=1， a2=3， 满 足 an+1=3an， 1nnaa =3， 则 数 列 an是 公 比 q=3的 等 比 数 列 ， 则 通 项 公 式 an=3n-1.( )an-n-2=3n-1-n-2，设 bn=|an-n-2|=|3n-1-n-2|， 则 b1=|30-1-2|=2， b2=|3-2-2|=1，

23、当 n 3 时 ， 3 n-1-n-2 0， 则 bn=|an-n-2|=3n-1-n-2，此 时 数 列 |an-n-2|的 前 n项 和 Tn= 2 29 1 3 5 2 2 3 5 113 1 3 2 2n nn n n n ，则 T n= 222 1 2 13 2 3 5 11 23 5 11 232 nn n nn n n nn n n ， ， ， ， ， ， ，18. 如 图 ， 在 三 棱 台 ABC-DEF中 ， 平 面 BCFE 平 面 ABC， ACB=90 ， BE=EF=FC=1， BC=2，AC=3.( )求 证 ： BF 平 面 ACFD； ( )求 直 线 BD

24、与 平 面 ACFD所 成 角 的 余 弦 值 .解 析 ： ( )根 据 三 棱 台 的 定 义 ， 可 知 分 别 延 长 AD， BE， CF， 会 交 于 一 点 ， 并 设 该 点 为 K， 并且 可 以 由 平 面 BCFE 平 面 ABC 及 ACB=90 可 以 得 出 AC 平 面 BCK， 进 而 得 出 BF AC.而 根据 条 件 可 以 判 断 出 点 E， F分 别 为 边 BK， CK 的 中 点 ， 从 而 得 出 BCK 为 等 边 三 角 形 ， 进 而 得出 BF CK， 从 而 根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 即 可 得 出 BF 平 面 A

25、CFD；( )由 BF 平 面 ACFD便 可 得 出 BDF为 直 线 BD和 平 面 ACFD所 成 的 角 ， 根 据 条 件 可 以 求 出BF= 3 ， DF= 32 ， 从 而 在 Rt BDF中 可 以 求 出 BD的 值 ， 从 而 得 出 cos BDF 的 值 ， 即 得 出 直线 BD 和 平 面 ACFD所 成 角 的 余 弦 值 .答 案 ： ( )延 长 AD， BE， CF 相 交 于 一 点 K， 如 图 所 示 ： 平 面 BCFE 平 面 ABC， 且 AC BC； AC 平 面 BCK， BF平 面 BCK； BF AC；又 EF BC， BE=EF=FC

26、=1， BC=2； BCK为 等 边 三 角 形 ， 且 F为 CK的 中 点 ； BF CK， 且 AC CK=C； BF 平 面 ACFD；( ) BF 平 面 ACFD； BDF是 直 线 BD 和 平 面 ACFD所 成 的 角 ； F 为 CK 中 点 ， 且 DF AC； DF为 ACK 的 中 位 线 ， 且 AC=3； DF= 32 ；又 BF= 3 ； 在 Rt BFD中 ， BD= 9 213 4 2 ， cos BDF= 21721232DFBD ； 即 直 线 BD 和 平 面 ACFD所 成 角 的 余 弦 值 为 217 .19.如 图 ， 设 抛 物 线 y2=2

27、px(p 0)的 焦 点 为 F， 抛 物 线 上 的 点 A到 y轴 的 距 离 等 于 |AF|-1，( )求 p 的 值 ； ( )若 直 线 AF交 抛 物 线 于 另 一 点 B， 过 B与 x 轴 平 行 的 直 线 和 过 F 与 AB垂 直 的 直 线 交 于 点N， AN与 x轴 交 于 点 M， 求 M 的 横 坐 标 的 取 值 范 围 .解 析 ： ( )利 用 抛 物 线 的 性 质 和 已 知 条 件 求 出 抛 物 线 方 程 ， 进 一 步 求 得 p 值 ；( )设 出 直 线 AF的 方 程 ， 与 抛 物 线 联 立 ， 求 出 B的 坐 标 ， 求 出

28、直 线 AB， FN的 斜 率 ， 从 而 求出 直 线 BN的 方 程 ， 根 据 A、 M、 N 三 点 共 线 ， 可 求 出 M 的 横 坐 标 的 表 达 式 ， 从 而 求 出 m 的 取值 范 围 .答 案 ： ( )由 题 意 可 得 ， 抛 物 线 上 点 A到 焦 点 F的 距 离 等 于 A到 直 线 x=-1 的 距 离 ，由 抛 物 线 定 义 得 ， 2p =1， 即 p=2；( )由 ( )得 ， 抛 物 线 方 程 为 y 2=4x， F(1， 0)， 可 设 (t2， 2t)， t 0， t 1， AF 不 垂 直 y 轴 ， 设 直 线 AF： x=sy+1

29、(s 0)，联 立 2 4 1y xx sy ， ， 得 y2-4sy-4=0.y1y2=-4， B( 21t ， - 2t )，又 直 线 AB 的 斜 率 为 22 1tt ， 故 直 线 FN 的 斜 率 为 2 12t t ，从 而 得 FN： y=- 2 12t t (x-1)， 直 线 BN： y=- 2t ， 则 N( 22 31tt ， - 2t )，设 M(m， 0)， 由 A、 M、 N三 点 共 线 ， 得 22 2 2 222 31tt ttt m t t ， 于 是 m= 22 22 211 1tt t ， 得 m 0 或 m 2.经 检 验 ， m 0 或 m 2

30、满 足 题 意 . 点 M的 横 坐 标 的 取 值 范 围 为 (- ， 0) (2， + ).20.设 函 数 f(x)= 3 1 1x x ， x 0， 1， 证 明 ：( )f(x) 1-x+x 2.( ) 34 f(x) 32 .解 析 ： ( )根 据 题 意 ， 1-x+x2-x3= 411 xx ， 利 用 放 缩 法 得 41 11 1xx x ， 即 可 证 明 结 论成 立 ；( )利 用 0 x 1 时 x 3 x， 证 明 f(x) 32 ， 再 利 用 配 方 法 证 明 f(x) 34 ， 结 合 函 数 的 最小 值 得 出 f(x) 34 ， 即 证 结 论

31、成 立 .答 案 ： ( )因 为 f(x)= 3 1 1x x ， x 0， 1，且 1-x+x 2-x3= 411 xx ，所 以 41 11 1xx x ， 所 以 1-x+x2-x3 1 1x ， 即 f(x) 1-x+x2；( )证 明 ： 因 为 0 x 1， 所 以 x3 x，所 以 f(x)=x 3+ 1 1x x+ 1 1x =x+ 1 1x - 32 + 32 = 1 2 12 1x xx + 32 32 ； 由 ( )得 ， f(x) 1-x+x2=(x- 12 )2+ 34 34 ，且 f( 12 )=( 12 )3+ 241 121 19 34 ， 所 以 f(x) 34 ； 综 上 ， 34 f(x) 32 .