2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ） 数 学 文一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 满 分 56分 ） 考 生 应 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 空 格 内 直 接 填 写 结果 ， 每 个 空 格 填 对 得 4 分 ， 否 则 一 律 零 分 ）1.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 函 数 f（ x） =1 3sin2x的 最 小 正 周 期 为 .解 析 ： 由 条 件 利 用 半 角 公 式 化 简 函 数 的 解 析 式 ， 再 利 用 余 弦 函 数 的 周 期 性 求 得 函 数 的 最 小 正周

2、期 . 函 数 f（ x） =1 3sin 2x=1 3 = + cos2x， 函 数 的 最 小 正 周 期 为 = ，答 案 ： .点 评 ： 本 题 主 要 考 查 半 角 公 式 的 应 用 ， 余 弦 函 数 的 周 期 性 ， 属 于 基 础 题 .2.（ 4 分 ） （ 2015上 海 ） 设 全 集 U=R.若 集 合 A=1， 2， 3， 4， B=x|2 x 3， 则 A （ C UB）= 1， 3， 4 .考 点 ： 交 、 并 、 补 集 的 混 合 运 算 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 本 题 考 查 集 合 的 运 算 ， 由 于 两 个 集 合 已 经

3、化 简 ， 故 直 接 运 算 得 出 答 案 即 可 . 全 集 U=R， 集 合 =1， 2， 3， 4， =x|2 x 3， （ UB） =x|x 3或 x 2， A （ UB） =1， 3， 4，答 案 ： 1， 3， 4.3.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 若 复 数 z满 足 3z+ =1+i， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ， 则 z= .考 点 ： 复 数 代 数 形 式 的 乘 除 运 算 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 设 z=a+bi， 则 =a bi（ a， b R） ，又 3z+ =1+i， 3（ a+bi） +（ a bi） =1+i，化 为 4a+

4、2bi=1+i， 4a=1， 2b=1， 解 得 a= ， b= . z= .答 案 ： .4.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 设 f 1（ x） 为 f（ x） = 的 反 函 数 ， 则 f 1（ 2） = . 考 点 ： 反 函 数 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 由 y=f（ x） = ， 得 ，x， y 互 换 可 得 ， ， 即 f 1（ x） = . .答 案 ： .5.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 若 线 性 方 程 组 的 增 广 矩 阵 为 解 为 ， 则 c 1 c2=16 .考 点 ： 二 阶 行 列 式 与 逆 矩 阵 .菁 优 网 版 权 所

5、有解 析 ： 由 题 意 知 ， 是 方 程 组 的 解 ， 即 ，则 c 1 c2=21 5=16，答 案 ： 16.6.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 若 正 三 棱 柱 的 所 有 棱 长 均 为 a， 且 其 体 积 为 16 ， 则 a= 4 .考 点 ： 棱 锥 的 结 构 特 征 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 由 题 意 可 得 ， 正 棱 柱 的 底 面 是 变 长 等 于 a的 等 边 三 角 形 ， 面 积 为 aasin60 ， 正棱 柱 的 高 为 a， （ aasin60 ） a=16 ， a=4，答 案 ： 4. 7.（ 4分 ） （ 2015上 海

6、 ） 抛 物 线 y2=2px（ p 0） 上 的 动 点 Q 到 焦 点 的 距 离 的 最 小 值 为 1， 则p= 2 .考 点 ： 抛 物 线 的 简 单 性 质 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 因 为 抛 物 线 y2=2px（ p 0） 上 的 动 点 Q 到 焦 点 的 距 离 的 最 小 值 为 1，所 以 =1，所 以 p=2.答 案 ： 2.8.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 方 程 log 2（ 9x 1 5） =log2（ 3x 1 2） +2 的 解 为 2 . 考 点 ： 对 数 的 运 算 性 质 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： log2（

7、9x 1 5） =log2（ 3x 1 2） +2， log2（ 9x 1 5） =log24 （ 3x 1 2） ， 9x 1 5=4（ 3x 1 2） ，化 为 （ 3x） 2 123x+27=0，因 式 分 解 为 ： （ 3x 3） （ 3x 9） =0， 3x=3， 3x=9，解 得 x=1或 2.经 过 验 证 ： x=1不 满 足 条 件 ， 舍 去 . x=2.答 案 ： 2. 9.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 若 x， y 满 足 ， 则 目 标 函 数 z=x+2y的 最 大 值 为 3 .考 点 ： 简 单 线 性 规 划 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ：

8、作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ： （ 阴 影 部 分 ） .由 z=x+2y 得 y= x+ z，平 移 直 线 y= x+ z，由 图 象 可 知 当 直 线 y= x+ z 经 过 点 B 时 ， 直 线 y= x+ z 的 截 距 最 大 ，此 时 z最 大 . 由 ， 解 得 ， 即 B（ 1， 1） ，代 入 目 标 函 数 z=x+2y得 z=2 1+1=3答 案 ： 3. 10.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 在 报 名 的 3 名 男 老 师 和 6 名 女 教 师 中 ， 选 取 5人 参 加 义 务 献 血 ，要 求 男 、 女 教 师

9、都 有 ， 则 不 同 的 选 取 方 式 的 种 数 为 120 （ 结 果 用 数 值 表 示 ） .考 点 ： 排 列 、 组 合 的 实 际 应 用 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 根 据 题 意 ， 报 名 的 有 3名 男 老 师 和 6名 女 教 师 ， 共 9 名 老 师 ， 在 9 名 老 师 中 选 取 5人 ， 参 加 义 务 献 血 ， 有 C95=126 种 ；其 中 只 有 女 教 师 的 有 C65=6种 情 况 ；则 男 、 女 教 师 都 有 的 选 取 方 式 的 种 数 为 126 6=120 种 ；答 案 ： 12011.（ 4分 ） （ 201

10、5上 海 ） 在 （ 2x+ ） 6的 二 项 式 中 ， 常 数 项 等 于 240 （ 结 果 用 数 值 表 示 ） .考 点 ： 二 项 式 系 数 的 性 质 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 由 （ 2x+ ） 6， 得 = .由 6 3r=0， 得 r=2. 常 数 项 等 于 .答 案 ： 240.12.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 已 知 双 曲 线 C 1、 C2的 顶 点 重 合 ， C1的 方 程 为 y2=1， 若 C2的 一条 渐 近 线 的 斜 率 是 C1的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 的 2 倍 ， 则 C2的 方 程 为 .考 点 ： 双

11、曲 线 的 简 单 性 质 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： C 1的 方 程 为 y2=1， 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y= ，因 为 C2的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 是 C1的 一 条 渐 近 线 的 斜 率 的 2倍 ，所 以 C2的 一 条 渐 近 线 的 方 程 为 y=x，因 为 双 曲 线 C1、 C2的 顶 点 重 合 ，所 以 C2的 方 程 为 .答 案 ： .13.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 已 知 平 面 向 量 、 、 满 足 ， 且 | |， | |， | |=1， 2， 3， 则 | + + |的 最 大 值 是 3+ .考 点

12、： 平 面 向 量 数 量 积 的 运 算 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 分 别 以 所 在 的 直 线 为 x， y 轴 建 立 直 角 坐 标 系 ， 当 | |， | |=1， 2， | |=3， 则 ， 设 ， 则 x2+y2=9， + + =（ 1+x， 2+y） ， | |= 的 最 大 值 ， 其 几 何 意 义 是 圆 x2+y2=9上 点 （ x， y） 与定 点 （ 1， 2） 的 距 离 的 最 大 值 为 =3+ ； 且 | |， | |=1， 3， | |=2， 则 ， x 2+y2=4， + + =（ 1+x， 3+y） | |= 的 最 大 值 ， 其

13、几 何 意 义 是 圆 x2+y2=4上 点 （ x， y） 与定 点 （ 1， 3） 的 距 离 的 最 大 值 为 2+ =2+ ， | |， | |=2， 3， ， | |=1， 则 ，设 ， 则 x 2+y2=1 + + =（ 2+x， 3+y） | |= 的 最 大 值 ， 其 几 何 意 义 是 在 圆 x2+y2=1上 取 点 （ x， y） 与 定 点 （ 2， 3） 的 距 离 的 最 大 值 为 1+ =1+ ，故 | + + |的 最 大 值 为 3+ .答 案 ： 3+ 14.（ 4分 ） （ 2015上 海 ） 已 知 函 数 f（ x） =sinx.若 存 在 x1

14、， x2， ， xm满 足 0 x1 x2 xm 6 ， 且 |f（ x1） f（ x2） |+|f（ x2） f（ x3） |+ +|f（ xm 1） f（ xm） |=12（ m 12，m N*） ， 则 m 的 最 小 值 为 8 .考 点 ： 正 弦 函 数 的 图 象 .菁 优 网 版 权 所 有答 案 ： 8二 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 4小 题 ， 满 分 21分 ） 每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 考 生 应 在 答 题 纸的 相 应 编 号 上 ， 将 代 表 答 案 的 小 方 格 涂 黑 ， 选 对 得 5分 ， 否 则 一 律 零 分 .1

15、5.（ 6分 ） （ 2015上 海 ） 设 z 1、 z2 C， 则 “ z1、 z2均 为 实 数 ” 是 “ z1 z2是 实 数 ” 的 （ ）A.充 分 非 必 要 条 件B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件 考 点 ： 必 要 条 件 、 充 分 条 件 与 充 要 条 件 的 判 断 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 若 z1、 z2均 为 实 数 ， 则 z1 z2是 实 数 ， 即 充 分 性 成 立 ，当 z1=i， z2=i， 满 足 z1 z2=0是 实 数 ， 但 z1、 z2均 为 实 数 不 成 立 ，

16、即 必 要 性 不 成 立 ，故 “ z1、 z2均 为 实 数 ” 是 “ z1 z2是 实 数 ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ，答 案 ： A16.（ 5分 ） （ 2015上 海 ） 下 列 不 等 式 中 ， 与 不 等 式 2 解 集 相 同 的 是 （ ）A.(x+8)(x 2+2x+3) 2B.x+8 2（ x2+2x+3）C. D. 考 点 ： 其 他 不 等 式 的 解 法 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 由 于 x 2+2x+3=（ x+1） 2+2 0， 不 等 式 2， 等 价 于 x+8 2（ x2+2x+3） ，答 案 ： B17.（ 5 分 ） （

17、2015上 海 ） 已 知 点 A 的 坐 标 为 （ 4 ， 1） ， 将 OA 绕 坐 标 原 点 O 逆 时 针 旋 转至 OB， 则 点 B 的 纵 坐 标 为 （ ）A.B.C. D.考 点 ： 任 意 角 的 三 角 函 数 的 定 义 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 点 A 的 坐 标 为 （ 4 ， 1） ， 设 xOA= ， 则 sin = = ， cos = = ，将 OA 绕 坐 标 原 点 O 逆 时 针 旋 转 至 OB，则 OB 的 倾 斜 角 为 + ， 则 |OB|=|OA|= ， 则 点 B的 纵 坐 标 为 y=|OP|sin（ + ） =7（ si

18、n cos +cos sin ） =7（ + ）= +6= ，答 案 ： D18.（ 5 分 ） （ 2015上 海 ） 设 Pn（ xn， yn） 是 直 线 2x y= （ n N*） 与 圆 x2+y2=2 在 第 一 象限 的 交 点 ， 则 极 限 =（ ）A. 1B. C. 1D. 2考 点 ： 极 限 及 其 运 算 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 当 n + 时 ， 直 线 2x y= 趋 近 于 2x y=1， 与 圆 x2+y2=2 在 第 一 象 限 的 交 点 无 限靠 近 （ 1， 1） ， 而 可 看 作 点 P n（ xn， yn） 与 （ 1， 1） 连

19、 线 的 斜 率 ， 其 值 会 无 限 接 近 圆x2+y2=2在 点 （ 1， 1） 处 的 切 线 的 斜 率 ， 其 斜 率 为 1. = 1.答 案 ： A.三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 有 5 题 ， 满 分 74分 ） 解 答 下 列 各 题 必 须 在 答 题 纸 相 应 编 号 的 规 定 区域 内 写 出 必 要 的 步 骤 .19.（ 12分 ） （ 2015上 海 ） 如 图 ， 圆 锥 的 顶 点 为 P， 底 面 圆 为 O， 底 面 的 一 条 直 径 为 AB， C为 半 圆 弧 的 中 点 ， E 为 劣 弧 的 中 点 ， 已 知 PO=2， OA

20、=1， 求 三 棱 锥 P AOC的 体 积 ， 并 求 异 面 直 线 PA 和 OE所 成 角 的 大 小 . 考 点 ： 异 面 直 线 及 其 所 成 的 角 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： 由 条 件 便 知 PO 为 三 棱 锥 P AOC的 高 ， 底 面 积 S AOC又 容 易 得 到 ， 从 而 带 入 棱 锥 的体 积 公 式 即 可 得 到 该 三 棱 锥 的 体 积 .根 据 条 件 能 够 得 到 OE AC， 从 而 找 到 异 面 直 线 PA， OE所 成 角 为 PAC， 可 取 AC中 点 H， 连 接 PH， 便 得 到 PH AC， 从 而 可

21、 在 Rt PAH中 求 出 cos PAC，从 而 得 到 PAC.答 案 ： PO=2， OA=1， OC AB； ；E为 劣 弧 的 中 点 ； BOE=45 ， 又 ACO=45 ； OE AC； PAC便 是 异 面 直 线 PA和 OE所 成 角 ； 在 ACP中 ， AC= ， ；如 图 ， 取 AC中 点 H， 连 接 PH， 则 PH AC， AH= ； 在 Rt PAH中 ， cos PAH= ； 异 面 直 线 PA 与 OE所 成 角 的 大 小 为 arccos . 20.（ 14分 ） （ 2015上 海 ） 已 知 函 数 f（ x） =ax2+ ， 其 中 a

22、为 常 数(1)根 据 a 的 不 同 取 值 ， 判 断 函 数 f（ x） 的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由 ；(2)若 a （ 1， 3） ， 判 断 函 数 f（ x） 在 1， 2上 的 单 调 性 ， 并 说 明 理 由 .考 点 ： 利 用 导 数 研 究 函 数 的 单 调 性 ； 函 数 奇 偶 性 的 性 质 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： (1)根 据 函 数 的 奇 偶 性 的 定 义 即 可 判 断 ， 需 要 分 类 讨 论 ；(2)根 据 导 数 和 函 数 的 单 调 性 的 关 系 即 可 判 断 .答 案 ： (1)当 a=0时 ， f（ x）

23、 = ， 显 然 为 奇 函 数 ，当 a 0 时 ， f（ 1） =a+1， f（ 1） =a 1， f（ 1） f（ 1） ， 且 f（ 1） +f（ 1） 0，所 以 此 时 f（ x） 为 非 奇 非 偶 函 数 . (2) a （ 1， 3） ， f（ x） =ax2+ ， f （ x） =2ax = ， a （ 1， 3） ， x 1， 2， 2ax3 1 0， f （ x） 0， 函 数 f（ x） 在 1， 2上 的 单 调 递 增 .21.（ 14分 ） （ 2015上 海 ） 如 图 ， O， P， Q 三 地 有 直 道 相 通 ， OP=3千 米 ， PQ=4千 米 ，

24、 OQ=5千 米 ， 现 甲 、 乙 两 警 员 同 时 从 O 地 出 发 匀 速 前 往 Q 地 ， 经 过 t 小 时 ， 他 们 之 间 的 距 离 为 f（ t）（ 单 位 ： 千 米 ） .甲 的 路 线 是 OQ， 速 度 为 5千 米 /小 时 ， 乙 的 路 线 是 OPQ， 速 度 为 8 千 米 /小 时 ， 乙 到 达 Q 地 后 在 原 地 等 待 .设 t=t1时 乙 到 达 P 地 ， t=t2时 乙 到 达 Q 地 .(1)求 t1与 f（ t1） 的 值 ；(2)已 知 警 员 的 对 讲 机 的 有 效 通 话 距 离 是 3 千 米 ， 当 t1 t t2

25、时 ， 求 f（ t） 的 表 达 式 ， 并判 断 f（ t） 在 t1， t2上 的 最 大 值 是 否 超 过 3？ 说 明 理 由 . 考 点 ： 函 数 与 方 程 的 综 合 运 用 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： （ 1） 用 OP长 度 除 以 乙 的 速 度 即 可 求 得 t1= ， 当 乙 到 达 P 点 时 ， 可 设 甲 到 达 A 点 ，连 接 AP， 放 在 AOP中 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 得 AP， 也 就 得 出 f（ t1） ；（ 2） 求 出 t2= ， 设 t ， 且 t 小 时 后 甲 到 达 B 地 ， 而 乙 到 达 C地 ，

26、 并 连 接 BC， 能够 用 t 表 示 出 BQ， CQ， 并 且 知 道 cos ， 这 样 根 据 余 弦 定 理 即 可 求 出 BC， 即 f（ t） ，然 后 求 该 函 数 的 最 大 值 ， 看 是 否 超 过 3 即 可 .答 案 ： (1)根 据 条 件 知 ， 设 此 时 甲 到 达 A 点 ， 并 连 接 AP， 如 图 所 示 ， OA= ； 在 OAP中 由 余 弦 定 理 得 ， f（ t1）=AP= = （ 千 米 ） ；(2)可 以 求 得 ， 设 t小 时 后 ， 且 ， 甲 到 达 了 B点 ， 乙 到 达 了 C点 ， 如 图 所 示 ： 则 BQ=5

27、 5t， CQ=7 8t； 在 BCQ中 由 余 弦 定 理 得 ， f（ t）=BC= = ；即 f（ t） = ， ；设 g（ t） =25t2 42t+18， ， g（ t） 的 对 称 轴 为 t= ；且 ；即 g（ t） 的 最 大 值 为 ， 则 此 时 f（ t） 取 最 大 值 ；即 f（ t） 在 t 1， t2上 的 最 大 值 不 超 过 3.22.（ 16 分 ） （ 2015上 海 ） 已 知 椭 圆 x2+2y2=1， 过 原 点 的 两 条 直 线 l1和 l2分 别 与 椭 圆 交 于 点A、 B 和 C、 D， 记 AOC的 面 积 为 S.(1)设 A（ x

28、1， y1） ， C（ x2， y2） ， 用 A、 C的 坐 标 表 示 点 C 到 直 线 l1的 距 离 ， 并 证 明S= |；(2)设 l 1： y=kx， ， S= ， 求 k 的 值 ； (3)设 l1与 l2的 斜 率 之 积 为 m， 求 m 的 值 ， 使 得 无 论 l1和 l2如 何 变 动 ， 面 积 S 保 持 不 变 .考 点 ： 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题 ； 点 到 直 线 的 距 离 公 式 .菁 优 网 版 权 所 有 .解 析 ： (1)依 题 意 ， 直 线 l1的 方 程 为 y= x， 利 用 点 到 直 线 间 的 距 离 公

29、 式 可 求 得 点 C 到 直 线l 1的 距 离 d= ， 再 利 用 |AB|=2|AO|=2 ， 可 证 得 S= |AB|d= |x1y2 x2y1|；(2)设 直 线 l1的 斜 率 为 k， 则 直 线 l2的 斜 率 为 ， 可 得 直 线 l1与 l2的 方 程 ， 联 立 方 程 组， 可 求 得 x1、 x2、 y1、 y2， 继 而 可 求 得 答 案 .(3)方 法 一 ： 设 直 线 l 1的 斜 率 为 k， 则 直 线 l2的 斜 率 为 ， 直 线 l1的 方 程 为 y=kx， 联 立 方 程组 ， 消 去 y解 得 x= ， 可 求 得 x1、 x2、 y

30、1、 y2， 利 用 S= |x1y2x2y1|= ， 设 =c（ 常 数 ） ， 整 理 得 ：k 4 2mk2+m2=c22k4+（ 1+4m2） k2+2m2， 由 于 左 右 两 边 恒 成 立 ， 可 得 ， 此 时 S= ；方 法 二 ： 设 直 线 l1、 l2的 斜 率 分 别 为 、 ， 则 =m， 则 mx1x2= y1y2， 变 形 整 理 ， 利用 A（ x1， y1） 、 C（ x2， y2） 在 椭 圆 x2+2y2=1上 ， 可 求 得 面 积 S 的 值 .答 案 ： (1)依 题 意 ， 直 线 l 1的 方 程 为 y= x， 由 点 到 直 线 间 的 距

31、 离 公 式 得 ： 点 C到 直 线 l1的 距 离 d= = ，因 为 |AB|=2|AO|=2 ， 所 以 S= |AB|d= |x 1y2 x2y1|；(2)设 直 线 l1的 斜 率 为 k， 则 直 线 l1的 方 程 为 y=kx，则 直 线 l2的 斜 率 为 ， 设 直 线 l1的 方 程 为 y=kx， 联 立 方 程 组 ， 消 去 y解 得 x= ，根 据 对 称 性 ， 设 x1= ， 则 y1= ，同 理 可 得 x 2= ， y2= ，所 以 S= |x1y2 x2y1|= |x1 y1|= .所 以 |x1 y1|= = ， 解 得 k= 1 或 3(3)方 法

32、 一 ： 设 直 线 l 1的 斜 率 为 k， 则 直 线 l2的 斜 率 为 ， 直 线 l1的 方 程 为 y=kx，联 立 方 程 组 ， 消 去 y解 得 x= ，根 据 对 称 性 ， 设 x1= ， 则 y1= ，同 理 可 得 x 2= ， y2= ，所 以 S= |x1y2 x2y1|= ， 设 =c（ 常 数 ） ，所 以 （ m k2） 2=c2（ 1+2k2） （ k2+2m2） ，整 理 得 ： k 4 2mk2+m2=c22k4+（ 1+4m2） k2+2m2，由 于 左 右 两 边 恒 成 立 ， 所 以 只 能 是 ， 所 以 ， 此 时 S= ，综 上 所 述

33、 ， m= ， S= .方 法 二 ： 设 直 线 l 1、 l2的 斜 率 分 别 为 、 ， 则 =m，所 以 mx1x2= y1y2， m2 =4 =mx1x2y1y2， A（ x1， y1） 、 C（ x2， y2） 在 椭 圆 x2+2y2=1 上 ， （ ） （ ） = +4 +2（ + ） =1，即 （ +4m） x1x2y1y2+2（ + ） =1，所 以 + 2x1x2y1y2=（ x1y2 x2y1） 2= 1 （ 4m+ ） x1x2y1y2 2x1x2y1y2= （ 2m+ +2） x 1x2y1y2， 是 常 数 ， 所 以 |x1y2 x2y1|是 常 数 ，所 以

34、 令 2m+ +2=0 即 可 ，所 以 ， m= ， S= .综 上 所 述 ， m= ， S= .23.（ 18分 ） （ 2015上 海 ） 已 知 数 列 a n与 bn满 足 an+1 an=2（ bn+1 bn） ， n N*.(1)若 bn=3n+5， 且 a1=1， 求 an的 通 项 公 式 ；(2)设 an的 第 n0项 是 最 大 项 ， 即 an0 an（ n N*） ， 求 证 ： bn的 第 n0项 是 最 大 项 ；（ 3） 设 a1=3 0， bn= n（ n N*） ， 求 的 取 值 范 围 ， 使 得 对 任 意 m， n N*， an 0， 且.考 点

35、： 数 列 递 推 式 ； 数 列 的 函 数 特 性 .菁 优 网 版 权 所 有解 析 ： (1)把 b n=3n+5 代 入 已 知 递 推 式 可 得 an+1 an=6， 由 此 得 到 an是 等 差 数 列 ， 则 an可 求 ；(2)由 an=（ an an 1） +（ an 1 an 2） + +（ a2 a1） +a1， 结 合 递 推 式 累 加 得 到 an=2bn+a1 2b1，求 得 ， 进 一 步 得 到 得 答 案 ；(3)由 (2)可 得 ， 然 后 分 1 0， = 1， 1 三 种 情 况 求 得 a n的 最大 值 M 和 最 小 值 m， 再 由 （

36、2， 2） 列 式 求 得 的 范 围 .解 析 ： (1)： an+1 an=2（ bn+1 bn） ， bn=3n+5， an+1 an=2（ bn+1 bn） =2（ 3n+8 3n 5） =6， an是 等 差 数 列 ， 首 项 为 a1=1， 公 差 为 6，则 a n=1+（ n 1） 6=6n 5；(2) an=（ an an 1） +（ an 1 an 2） + +（ a2 a1） +a1=2（ bn bn 1） +2（ bn 1 bn 2） + +2（ b2 b1） +a1=2bn+a1 2b1， ， . 数 列 bn的 第 n0项 是 最 大 项 ；(3)由 (2)可 得 ， 当 1 0时 ， 单 调 递 减 ， 有 最 大 值 ；单 调 递 增 ， 有 最 小 值 m=a 1=3 ，由 ， ，则 ， 解 得 . （ ） . 当 = 1时 ， a 2n=1， a2n 1= 3， M=3， m= 1， 不 满 足 条 件 . 当 1 时 ， 当 n + 时 ， a2n + ， 无 最 大 值 ；当 n + 时 ， a2n 1 ， 无 最 小 值 .综 上 所 述 ， （ ， 0） 时 满 足 条 件 .