2015年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学理及答案解析.docx

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1、2015 年 重 庆 市 高 考 数 学 试 卷 （ 理 科 ）一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50 分 ， 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.已 知 集 合 A=1， 2， 3， B=2， 3， 则 （ ）A.A=BB.A B=C.ABD.BA解 析 ： 直 接 利 用 集 合 的 运 算 法 则 求 解 即 可 答 案 ： D2.在 等 差 数 列 a n中 ， 若 a2=4， a4=2， 则 a6=（ ）A. 1B.0C.1D.6解 析 ： 在 等 差 数 列 a

2、n中 ， a4=12 （ a2+a6） = =2， 解 得 a6=0答 案 ： B3.重 庆 市 2013 年 各 月 的 平 均 气 温 （ ） 数 据 的 茎 叶 图 如 ， 则 这 组 数 据 的 中 位 数 是 （ ） A.19B.20C.21.5D.23解 析 ： 样 本 数 据 有 12 个 ， 位 于 中 间 的 两 个 数 为 20， 20，则 中 位 数 为 ，答 案 ： B4.“x 1”是 “ 0”的 （ ）A.充 要 条 件B.充 分 而 不 必 要 条 件C.必 要 而 不 充 分 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 由 “ 0”得 ： x+2

3、 1， 解 得 ： x 1，故 “x 1”是 “ 0”的 充 分 不 必 要 条 件 ，答 案 ： B5.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 （ ） A.B.C.D.解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ， 几 何 体 是 组 合 体 ， 左 侧 是 三 棱 锥 ， 底 面 是 等 腰 三 角 形 ， 腰 长 为 2 ， 高 为 1， 一 个 侧 面 与底 面 垂 直 ， 并 且 垂 直 底 面 三 角 形 的 斜 边 ， 右 侧 是 半 圆 柱 ， 底 面 半 径 为 1， 高 为 2， 所 求 几 何 体 的 体 积 为 ：. 答 案 ：

4、A6.若 非 零 向 量 a ， b 满 足 |a|= |b |， 且 （ a b ） （ 3a+2b ） ， 则 a 与 b 的 夹 角 为 （ ）A. 4B. 2C.34D.解 析 ： （ a b ） （ 3 a+2b ） ， （ a b ） （ 3 a+2b ） =0，即 3 a 2 2 b 2 a b =0，即 a b =3 a 2 2 b 2=23 b 2， ，即 a ， b = 4 ，答 案 ： A 7.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 若 输 出 k 的 值 为 8， 则 判 断 框 图 可 填 入 的 条 件 是 （ ） A.s 34B.s56C.s1112D.s

5、 2524解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， k 的 值 依 次 为 0， 2， 4， 6， 8，因 此 S= （ 此 时 k=6） ，因 此 可 填 ： S 1112 答 案 ： C8.已 知 直 线 l： x+ay 1=0（ aR） 是 圆 C： x2+y2 4x 2y+1=0 的 对 称 轴 过 点 A（ 4， a） 作 圆 C 的 一 条 切 线 ， 切点 为 B， 则 |AB|=（ ）A.2B.4 2C.6D.2 10解 析 ： 圆 C： x2+y2 4x 2y+1=0， 即 （ x 2） 2+（ y 1） 2=4， 表 示 以 C（ 2， 1） 为 圆 心 、 半 径

6、等 于 2 的 圆 由 题 意 可 得 ， 直 线 l： x+ay 1=0 经 过 圆 C 的 圆 心 （ 2， 1） ， 故 有 2+a 1=0， a= 1， 点 A（ 4， 1） 由 于 ， CB=R=2， 切 线 的 长 ，答 案 ： C9.若 tan=2tan 5 ， 则 =（ ） A.1B.2C.3D.4解 析 ： tan=2tan 5 ， 则 答 案 ： 310.设 双 曲 线 =1（ a 0， b 0） 的 右 焦 点 为 F， 右 顶 点 为 A， 过 F 作 AF 的 垂 线 与 双 曲 线 交 于 B， C 两 点 ，过 B， C 分 别 作 AC， AB 的 垂 线 ，

7、两 垂 线 交 于 点 D 若 D 到 直 线 BC 的 距 离 小 于 ， 则 该 双 曲 线 的 渐 近线 斜 率 的 取 值 范 围 是 （ ）A.（ 1， 0） （ 0， 1）B.（ ， 1） （ 1， +）C.（ 2 ， 0） （ 0， 2 ）D.（ ， 2 ） （ 2 ， +） 解 析 ： 由 题 意 ， A（ a， 0） ， B（ c， ） ， C（ c， ） ， 由 双 曲 线 的 对 称 性 知 D 在 x 轴 上 ，设 D（ x， 0） ， 则 由 BD AC 得 ， c x= ， D 到 直 线 BC 的 距 离 小 于 ， c x= ， c2 a2=b2， 0 ba 1

8、， 双 曲 线 的 渐 近 线 斜 率 的 取 值 范 围 是 （ 1， 0） （ 0， 1） 答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 3 小 题 ， 考 生 作 答 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25 分 .把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上 . 11.设 复 数 a+bi（ a， bR） 的 模 为 3， 则 （ a+bi） （ a bi） = 3 解 析 ： 将 所 求 利 用 平 方 差 公 式 展 开 得 到 a2+b2， 恰 好 为 已 知 复 数 的 模 的 平 方 答 案 ： 312. 的 展 开 式 中 x8的 系 数 是 解

9、析 ： 由 于 的 展 开 式 的 通 项 公 式 为令 15 =8， 求 得 r=2， 故 开 式 中 x 8的 系 数 是 25 51C =4 2 ，答 案 ： 52 13.在 ABC 中 ， B=120， AB= 2 ， A 的 角 平 分 线 AD= 3， 则 AC= 解 析 ： 由 题 意 以 及 正 弦 定 理 可 知 ： ， 即 ， ADB=45，12 A=180 120 45， 可 得 A=30， 则 C=30， 三 角 形 ABC 是 等 腰 三 角 形 ，AC=2 2sin60 = 6 答 案 ： 6 三 、 考 生 注 意 ： （ 14） 、 （ 15） 、 （ 16）

10、三 题 为 选 做 题 ， 请 从 中 任 选 两 题 作 答 ， 若 三 题 全 做 ， 则 按 前 两 题 给 分 14.如 题 图 ， 圆 O 的 弦 AB， CD 相 交 于 点 E， 过 点 A 作 圆 O 的 切 线 与 DC 的 延 长 线 交 于 点 P， 若 PA=6， AE=9， PC=3，CE： ED=2： 1， 则 BE= 2 解 析 ： 设 CE=2x， ED=x， 则 过 点 A 作 圆 O 的 切 线 与 DC 的 延 长 线 交 于 点 P， 由 切 割 线 定 理 可 得 PA2=PCPD， 即 36=3（ 3+3x） ， x=3，由 相 交 弦 定 理 可

11、得 9BE=CEED， 即 9BE=63， BE=2答 案 ： 215.已 知 直 线 l 的 参 数 方 程 为 （ t 为 参 数 ） ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线C 的 极 坐 标 方 程 为 ， 则 直 线 l与 曲 线 C 的 交 点 的 极 坐 标 为 （ 2，） 解 析 ： 求 出 直 线 以 及 曲 线 的 直 角 坐 标 方 程 ， 然 后 求 解 交 点 坐 标 ， 转 化 我 2 极 坐 标 即 可 答 案 ： 直 线 l 的 参 数 方 程 为 （ t 为 参 数 ） ， 它 的 直 角

12、坐 标 方 程 为 ： x y+2=0；曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 ，可 得 它 的 直 角 坐 标 方 程 为 ： x2 y2=4， x 0由 ， 可 得 x= 2， y=0，交 点 坐 标 为 （ 2， 0） ，它 的 极 坐 标 为 （ 2， ） 16.若 函 数 f（ x） =|x+1|+2|x a|的 最 小 值 为 5， 则 实 数 a= 6 或 4 解 析 ： 函 数 f（ x） =|x+1|+2|x a|， 故 当 a 1 时 ， f（ x） = ，根 据 它 的 最 小 值 为 f（ a） = 3a+2a 1=5， 求 得 a= 6当 a= 1 时 ， f（ x）

13、 =3|x+1|， 它 的 最 小 值 为 0， 不 满 足 条 件 当 a 1 时 ， f（ x） = ，根 据 它 的 最 小 值 为 f（ a） =a+1=5， 求 得 a=4综 上 可 得 ， a= 6 或 a=4，答 案 ： 6 或 4四 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75 分 ， 解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 17.端 午 节 吃 粽 子 是 我 国 的 传 统 习 俗 ， 设 一 盘 中 装 有 10 个 粽 子 ， 其 中 豆 沙 粽 2 个 ， 肉 粽 3 个 ， 白 粽 5 个 ， 这 三 种 粽 子

14、的 外 观 完 全 相 同 ， 从 中 任 意 选 取 3 个 （ ） 求 三 种 粽 子 各 取 到 1 个 的 概 率 ；（ ） 设 X 表 示 取 到 的 豆 沙 粽 个 数 ， 求 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望 解 析 ： （ ） 根 据 古 典 概 型 的 概 率 公 式 进 行 计 算 即 可 ；（ ） 随 机 变 量 X 的 取 值 为 ： 0， 1， 2， 别 求 出 对 应 的 概 率 ， 即 可 求 出 分 布 列 和 期 望 答 案 ： （ ） 令 A 表 示 事 件 “三 种 粽 子 各 取 到 1 个 ”， 则 由 古 典 概 型 的 概 率 公 式 有 P

15、（ A） = =14 （ ） 随 机 变 量 X 的 取 值 为 ： 0， 1， 2，则 P（ X=0） = = 715， P（ X=1） = = 715， P（ X=2） = = 115，X 0 1 1P 715 715 115EX=0 715+1 715+2 115=35 个 18.已 知 函 数 f（ x） =sin（ 2 x） sinx（ ） 求 f（ x） 的 最 小 正 周 期 和 最 大 值 ；（ ） 讨 论 f（ x） 在 6 ， 23 上 的 单 调 性 解 析 ： （ ） 由 条 件 利 用 三 角 恒 等 变 换 化 简 函 数 的 解 析 式 ， 再 利 用 正 弦 函

16、 数 的 周 期 性 和 最 值 求 得 f（ x） 的 最 小 正 周期 和 最 大 值 （ ） 根 据 2x 3 0， ， 利 用 正 弦 函 数 的 单 调 性 ， 分 类 讨 论 求 得 f（ x） 在 6 ， 23 上 的 单 调 性 答 案 ： （ ） 函 数 f（ x） =sin（ 2 x） sinx x=cosxsinx 32 （ 1+cos2x） =12 sin2x 32 sin2x 32 =sin （ 2x 3 ） 32 ，故 函 数 的 周 期 为 22 =， 最 大 值 为 1 32 （ ） 当 x 6 ， 23 时 ， 2x 3 0， ， 故 当 02x 3 2 时

17、， 即 x 6 ， 512 时 ， f（ x） 为 增 函 数 ；当 2 2x 3 时 ， 即 x512 ， 23 时 ， f（ x） 为 减 函 数 19.如 题 图 ， 三 棱 锥 P ABC中 ， PC 平 面 ABC， PC=3， ACB= 2 D， E分 别 为 线 段 AB， BC上 的 点 ， 且 CD=DE= 2 ，CE=2EB=2（ ） 证 明 ： DE 平 面 PCD（ ） 求 二 面 角 A PD C 的 余 弦 值 解 析 ： （ ） 由 已 知 条 件 易 得 PC DE， CD DE， 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 得 ； （ ） 以 C 为 原 点

18、， 分 别 以 的 方 向 为 xyz 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 易 得 的 坐 标 ，可 求 平 面 PAD 的 法 向 量 ， 平 面 PCD 的 法 向 量 可 取 ， 由 向 量 的 夹 角 公 式 可 得 答 案 ： （ ） 证 明 ： PC 平 面 ABC， DE平 面 ABC， PC DE， CE=2， CD=DE= 2 ， CDE 为 等 腰 直 角 三 角 形 ， CD DE， PC CD=C，DE 垂 直 于 平 面 PCD 内 的 两 条 相 交 直 线 ， DE 平 面 PCD（ ） 由 （ ） 知 CDE 为 等 腰 直 角 三 角

19、形 ， DCE= 4 ，过 点 D 作 DF 垂 直 CE 于 F， 易 知 DF=FC=FE=1， 又 由 已 知 EB=1， 故 FB=2， 由 ACB= 2 得 DF AC， ， 故 AC=32 DF=32 ，以 C 为 原 点 ， 分 别 以 的 方 向 为 xyz 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，则 C（ 0， 0， 0） ， P（ 0， 0， 3） ， A（ 32 ， 0， 0） ， E（ 0， 2， 0） ， D（ 1， 1， 0） ， =（ 1， 1， 0） ， =（ 1， 1， 3） ， =（ 12 ， 1， 0） ，设 平 面 PAD 的 法 向

20、量 =（ x， y， z） ， 由 ， 故 可 取 =（ 2， 1， 1） ，由 （ ） 知 DE 平 面 PCD， 故 平 面 PCD 的 法 向 量 可 取 =（ 1， 1， 0） ， 两 法 向 量 夹 角 的 余 弦 值 cos ， = = 36 二 面 角 A PD C 的 余 弦 值 为 36 20.设 函 数 f（ x） = （ aR）（ ） 若 f（ x） 在 x=0 处 取 得 极 值 ， 确 定 a 的 值 ， 并 求 此 时 曲 线 y=f（ x） 在 点 （ 1， f（ 1） ） 处 的 切 线 方 程 ；（ ） 若 f（ x） 在 3， +） 上 为 减 函 数 ，

21、求 a 的 取 值 范 围 解 析 ： （ I） f （ x） = ， 由 f（ x） 在 x=0 处 取 得 极 值 ， 可 得 f （ 0） =0， 解 得 a 可 得 f（ 1） ，f （ 1） ， 即 可 得 出 曲 线 y=f（ x） 在 点 （ 1， f（ 1） ） 处 的 切 线 方 程 ；（ II） 解 法 一 ： 由 （ I） 可 得 ： f （ x） = ， 令 g（ x） = 3x2+（ 6 a） x+a， 由 g（ x） =0，解 得 x 1= ， x2= 对 x 分 类 讨 论 ： 当 x x1时 ； 当 x1 x x2时 ； 当 x x2时 由f（ x） 在 3，

22、+） 上 为 减 函 数 ， 可 知 ： x2= 3， 解 得 即 可 解 法 二 ： “分 离 参 数 法 ”： 由 f（ x） 在 3， +） 上 为 减 函 数 ， 可 得 f （ x） 0， 可 得 a ， 在 3， +） 上恒 成 立 令 u（ x） = ， 利 用 导 数 研 究 其 最 大 值 即 可 答 案 ： （ I） f （ x） = = ， f（ x） 在 x=0 处 取 得 极 值 ， f （ 0） =0， 解 得 a=0当 a=0 时 ， f（ x） = ， f （ x） = ， f（ 1） = ， f （ 1） = ， 曲 线 y=f（ x） 在 点 （ 1， f（

23、 1） ） 处 的 切 线 方 程 为 ， 化 为 ： 3x ey=0；（ II） 解 法 一 ： 由 （ I） 可 得 ： f （ x） = ， 令 g（ x） = 3x 2+（ 6 a） x+a，由 g（ x） =0， 解 得 x1= ， x2= 当 x x1时 ， g（ x） 0， 即 f （ x） 0， 此 时 函 数 f（ x） 为 减 函 数 ；当 x1 x x2时 ， g（ x） 0， 即 f （ x） 0， 此 时 函 数 f（ x） 为 增 函 数 ；当 x x2时 ， g（ x） 0， 即 f （ x） 0， 此 时 函 数 f（ x） 为 减 函 数 由 f（ x） 在

24、3， +） 上 为 减 函 数 ， 可 知 ： x 2= 3， 解 得 a 因 此 a 的 取 值 范 围 为 ： 解 法 二 ： 由 f（ x） 在 3， +） 上 为 减 函 数 ， f （ x） 0，可 得 a ， 在 3， +） 上 恒 成 立 令 u（ x） = ， u （ x） = 0， u（ x） 在 3， +） 上 单 调 递 减 ， au（ 3） = 因 此 a 的 取 值 范 围 为 ： 21.如 题 图 ， 椭 圆 =1（ a b 0） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1， F2， 过 F2的 直 线 交 椭 圆 于 P， Q 两 点 ， 且 PQ PF1（ ） 若

25、 |PF1|=2+ 2 ， |PF2|=2 2 ， 求 椭 圆 的 标 准 方 程 ；（ ） 若 |PF1|=|PQ|， 求 椭 圆 的 离 心 率 e 解 析 ： （ ） 由 椭 圆 的 定 义 ， 2a=|PF1|+|PF2|， 求 出 a， 再 根 据 2c=|F1F2|= =2 3 3， 求 出 c， 进而 求 出 椭 圆 的 标 准 方 程 ；（ ） 由 椭 圆 的 定 义 和 勾 股 定 理 ， 得 |QF1|= 2|PF1|=4a |PF1|， 解 得 |PF1|=2（ 2 2 ） a， 从 而 |PF2|=2a |PF1|=2（ 2 1） a， 再 一 次 根 据 勾 股 定

26、理 可 求 出 离 心 率 答 案 ： （ ） 由 椭 圆 的 定 义 ， 2a=|PF1|+|PF2|=2+ 2+2 2=4， 故 a=2，设 椭 圆 的 半 焦 距 为 c， 由 已 知 PF2 PF1， 因 此 2c=|F1F2|= =2 3， 即 c= 3， 从 而 b= =1，故 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 （ ） 连 接 F1Q， 由 椭 圆 的 定 义 ， |PF1|+|PF2|=2a， |QF1|+|QF2|=2a， 从 而 由 |PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|， 有 |QF1|=4a |PF1|，又 由 PQ PF1， |PF1|=|PQ|， 知 |Q

27、F1|= 2|PF1|=4a |PF1|， 解 得 |PF1|=2（ 2 2 ） a， 从 而 |PF2|=2a |PF1|=2（ 2 1）a， 由 PF2 PF1， 知 2c=|F1F2|= ， 因 = = 6 3 22.在 数 列 an中 ， a1=3， an+1an+an+1+an2=0（ nN+）（ ） 若 =0， = 2， 求 数 列 an的 通 项 公 式 ；（ ） 若 = （ k0N+， k02） ， = 1， 证 明 ： 解 析 ： （ ） 把 =0， = 2 代 入 数 列 递 推 式 ， 得 到 （ nN +） ， 分 析 an0 后 可 得 an+1=2an（ nN+）

28、，即 an是 一 个 公 比 q=2 的 等 比 数 列 从 而 可 得 数 列 的 通 项 公 式 ；（ ） 把 代 入 数 列 递 推 式 ， 整 理 后 可 得 （ nN） 进 一 步 得 到， 对 n=1， 2， ， k0求 和 后 放 缩 可 得 不 等 式 左 边 ， 结合 ， 进 一 步 利 用 放 缩 法 证 明 不 等 式 右 边 解 答 ： （ ） 解 ： 由 =0， = 2， 有 （ nN+） 若 存 在 某 个 n0N+， 使 得 ， 则 由 上 述 递 推 公 式 易 得 ， 重 复 上 述 过 程 可 得 a1=0， 此 与 a1=3 矛 盾 ， 对 任 意 nN+， an0从 而 an+1=2an（ nN+） ， 即 an是 一 个 公 比 q=2 的 等 比 数 列 故 （ ） 证 明 ： 由 ， 数 列 an的 递 推 关 系 式 变 为， 变 形 为 ： （ nN） 由 上 式 及 a1=3 0， 归 纳 可 得3=a1 a2 an an+1 0 = ， 对 n=1， 2， ， k0求 和 得 ： = 另 一 方 面 ， 由 上 已 证 的 不 等 式 知 ， ，得综 上 ，