2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学文及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 重 庆 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 备 选 项 中 ， 只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.实 部 为 -2， 虚 部 为 1 的 复 数 所 对 应 的 点 位 于 复 平 面 内 的 ( )A.第 一 象 限B.第 二 象 限C.第 三 象 限D.第 四 象 限解 析 ： 实 部 为 -2， 虚 部 为 1 的 复 数 所 对 应 的 点 的 坐 标 为 (-2， 1)， 位 于 第

2、二 象 限 ，答 案 ： B. 2.在 等 差 数 列 an中 ， a1=2， a3+a5=10， 则 a7=( )A.5B.8C.10D.14解 析 ： 等 差 数 列 an中 ， a1=2， a3+a5=10 2+2d+2+4d=10， 解 得 d=1， a7=2+6 1=8.答 案 ： B.3.某 中 学 有 高 中 生 3500 人 ， 初 中 生 1500人 ， 为 了 解 学 生 的 学 习 情 况 ， 用 分 层 抽 样 的 方 法 从该 校 学 生 中 抽 取 一 个 容 量 为 n的 样 本 ， 已 知 从 高 中 生 中 抽 取 70人 ， 则 n 为 ( )A.100B.

3、150C.200 D.250解 析 ： 分 层 抽 样 的 抽 取 比 例 为 = ，总 体 个 数 为 3500+1500=5000， 样 本 容 量 n=5000 =100.答 案 ： A.4.下 列 函 数 为 偶 函 数 的 是 ( )A.f(x)=x-1B.f(x)=x 2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x解 析 ： 根 据 题 意 ， 依 次 分 析 选 项 ：A、 f(x)=x-1， 其 定 义 域 为 R， f(-x)=-x-1， f(-x) f(x)， 不 是 偶 函 数 ， 不 符 合 题 意 ；B、 f(x)=x2+x， 其 定 义 域 为 R， f

4、(-x)=x2-x， f(-x) f(x)， 不 是 偶 函 数 ， 不 符 合 题 意 ；C、 f(x)=2x-2-x， 其 定 义 域 为 R， f(-x)=2-x-2x， f(-x)=-f(x)， 是 奇 函 数 不 是 偶 函 数 ， 不 符 合题 意 ； D、 f(x)=2x+2-x， 其 定 义 域 为 R， f(-x)=2-x+2x， f(-x)=f(x)， 是 偶 函 数 ， 符 合 题 意 ；答 案 ： D.5.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 则 输 出 s的 值 为 ( ) A.10B.17C.19D.36解 析 ： 由 程 序 框 图 知 ： 第 一 次

5、循 环 S=2， k=2 2-1=3；第 二 次 循 环 S=2+3=5， k=2 3-1=5；第 三 次 循 环 S=5+5=10， k=2 5-1=9；第 四 次 循 环 S=10+9=19， k=2 9-1=17，不 满 足 条 件 k 10， 跳 出 循 环 体 ， 输 出 S=19.答 案 ： C.6.已 知 命 题 ：p： 对 任 意 x R， 总 有 |x| 0， q： x=1是 方 程 x+2=0 的 根 ； 则 下 列 命 题 为 真 命 题 的 是 ( ) A.p qB. p qC. p qD.p q解 析 ： 根 据 绝 对 值 的 性 质 可 知 ， 对 任 意 x R

6、， 总 有 |x| 0 成 立 ， 即 p 为 真 命 题 ，当 x=1时 ， x+2=3 0， 即 x=1不 是 方 程 x+2=0 的 根 ， 即 q为 假 命 题 ，则 p q， 为 真 命 题 ，答 案 ： A.7.某 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 为 ( ) A.12B.18C.24D.30解 析 ： 由 三 视 图 知 ： 几 何 体 是 三 棱 柱 消 去 一 个 同 底 的 三 棱 锥 ， 如 图 ： 三 棱 柱 的 高 为 5， 消 去 的 三 棱 锥 的 高 为 3，三 棱 锥 与 三 棱 柱 的 底 面 为 直 角 边 长

7、 分 别 为 3和 4的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 几 何 体 的 体 积 V= 3 4 5- 3 4 3=30-6=24.答 案 ： C.8.设 F 1， F2分 别 为 双 曲 线 - =1(a 0， b 0)的 左 、 右 焦 点 ， 双 曲 线 上 存 在 一 点 P使 得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 ( )A.B.C.4D.解 析 ： (|PF 1|-|PF2|)2=b2-3ab， 由 双 曲 线 的 定 义 可 得 (2a)2=b2-3ab， 4a2+3ab-b2=0， a= ， c= = b， e= = .答 案 ：

8、D.9.若 log 4(3a+4b)=log2 ， 则 a+b的 最 小 值 是 ( )A.6+2B.7+2 C.6+4D.7+4解 析 ： 3a+4b 0， ab 0， a 0.b 0 log4(3a+4b)=log2 ， log4(3a+4b)=log4(ab) 3a+4b=ab， a 4， a 0.b 0 0， a 4，则a+b=a+ =(a-4)=a+ =(a-4)+ +7 +7=4 +7，当 且 仅 当 a=4+2 取 等 号 .答 案 ： D. 10.已 知 函 数 f(x)= ， 且 g(x)=f(x)-mx-m在 (-1， 1内 有且 仅 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则

9、 实 数 m的 取 值 范 围 是 ( )A.(- ， -2 (0， B.(- ， -2 (0， C.(- ， -2 (0， D.(- ， -2 (0， 解 析 ： 由 g(x)=f(x)-mx-m=0， 即 f(x)=m(x+1)，分 别 作 出 函 数 f(x)和 y=g(x)=m(x+1)的 图 象 如 图 ： 由 图 象 可 知 f(1)=1， g(x)表 示 过 定 点 A(-1， 0)的 直 线 ，当 g(x)过 (1， 1)时 ， m 此 时 两 个 函 数 有 两 个 交 点 ，此 时 满 足 条 件 的 m 的 取 值 范 围 是 0 m ，当 g(x)过 (0， -2)时

10、， g(0)=-2， 解 得 m=-2， 此 时 两 个 函 数 有 两 个 交 点 ， 当 g(x)与 f(x)相 切 时 ， 两 个 函 数 只 有 一 个 交 点 ，此 时 ， 即 m(x+1)2+3(x+1)-1=0，当 m=0时 ， x= ， 只 有 1解 ，当 m 0， 由 =9+4m=0得 m=- ， 此 时 直 线 和 f(x)相 切 ， 要 使 函 数 有 两 个 零 点 ，则 - m -2或 0 m ，答 案 ： A二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 的 位 置 上 . 11.已 知 集

11、 合 A=3， 4， 5， 12， 13， B=2， 3， 5， 8， 13， 则 A B= .解 析 ： 根 据 题 意 ， 集 合 A=3， 4， 5， 12， 13， B=2， 3， 5， 8， 13，A、 B 公 共 元 素 为 3、 5、 11，则 A B=3， 5， 13，答 案 ： 3， 5， 13.12.已 知 向 量 与 的 夹 角 为 60 ， 且 =(-2， -6)， | |= ， 则 = .解 析 ： =(-2， -6)， =2 =10.答 案 ： 10. 13.将 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0， - )图 象 上 每 一 点 的 横 坐 标 缩 短 为

12、原 来 的一 半 ， 纵 坐 标 不 变 ， 再 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 y=sinx 的 图 象 ， 则 f( )= .解 析 ： 函 数 f(x)=sin( x+ )( 0， - )图 象 上 每 一 点 的 横 坐 标 缩 短 为 原 来的 一 半 ， 纵 坐 标 不 变 ， 可 得 函 数 y=sin(2 x+ )的 图 象 .再 把 所 得 图 象 再 向 右 平 移 个 单 位 长 度 得 到 函 数y=sin2 (x- )+ )=sin(2 x+ - )=sinx的 图 象 ， 2 =1， 且 - =2k ， k z， = ， = ， f(x)=sin( x+

13、 )， f( )=sin( + )=sin = . 答 案 ： .14.已 知 直 线 x-y+a=0与 圆 心 为 C 的 圆 x2+y2+2x-4y-4=0 相 交 于 A、 B两 点 ， 且 AC BC， 则 实数 a 的 值 为 .解 析 ： 圆 的 标 准 方 程 为 (x+1)2+(y-2)2=9， 圆 心 C(-1， 2)， 半 径 r=3， AC BC， 圆 心 C到 直 线 AB的 距 离 d= ，即 d= = ， 即 |a-3|=3， 解 得 a=0或 a=6，答 案 ： 0或 6.15.某 校 早 上 8： 00开 始 上 课 ， 假 设 该 校 学 生 小 张 与 小

14、王 在 早 上 7： 30 7： 50之 间 到 校 ， 且 每 人 在 该 时 间 段 的 任 何 时 刻 到 校 是 等 可 能 的 ， 则 小 张 比 小 王 至 少 早 5 分 钟 到 校 的 概 率 为(用 数 字 作 答 ).解 析 ： 设 小 张 到 校 的 时 间 为 x， 小 王 到 校 的 时 间 为 y.(x， y)可 以 看 成 平 面 中 的 点 试 验 的 全 部结 果 所 构 成 的 区 域 为 =(x， y|7 x 7 ， 7 y 7 是 一 个 矩 形 区 域 ， 对 应 的 面 积S= ，则 小 张 比 小 王 至 少 早 5 分 钟 到 校 事 件 A=x

15、|y-x 作 出 符 合 题 意 的 图 象 ， A(7 ， 7 )， 当 x=7 时 ， y=7 + =7 ， 则 AB=7 -7 = ，则 三 角 形 ABC的 面 积 S= ，由 几 何 概 率 模 型 可 知 小 张 比 小 王 至 少 早 5 分 钟 到 校 的 概 率 为 = ，答 案 ： . 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.(13分 )已 知 an是 首 项 为 1， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， Sn表 示 an的 前 n 项 和 .( )求 an

16、及 Sn；( )设 bn是 首 项 为 2 的 等 比 数 列 ， 公 比 为 q 满 足 q2-(a4+1)q+S4=0.求 bn的 通 项 公 式 及 其 前n项 和 Tn.解 析 ： ( )直 接 由 等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前 n 项 和 公 式 得 答 案 ；( )求 出 a 4和 S4， 代 入 q2-(a4+1)q+S4=0 求 出 等 比 数 列 的 公 比 ， 然 后 直 接 由 等 比 数 列 的 通 项公 式 及 前 n 项 和 公 式 得 答 案 .答 案 ： ( ) an是 首 项 为 1， 公 差 为 2 的 等 差 数 列 ， an=a1+(n-1

17、)d=1+2(n-1)=2n-1. ；( )由 ( )得 ， a4=7， S4=16. q 2-(a4+1)q+S4=0， 即 q2-8q+16=0， (q-4)2=0， 即 q=4.又 bn是 首 项 为 2的 等 比 数 列 ， .17.(13分 ) 20 名 学 生 某 次 数 学 考 试 成 绩 （ 单 位 ： 分 ） 的 频 率 分 布 直 方 图 如 图 ： ( )求 频 率 分 布 直 方 图 中 a 的 值 ；( )分 别 求 出 成 绩 落 在 50， 60)与 60， 70)中 的 学 生 人 数 ；( )从 成 绩 在 50， 70)的 学 生 任 选 2 人 ， 求 此

18、 2人 的 成 绩 都 在 60， 70)中 的 概 率 .解 析 ： ( )根 据 频 率 分 布 直 方 图 求 出 a的 值 ；( )由 图 可 知 ， 成 绩 在 50， 60)和 60， 70)的 频 率 分 别 为 0.1和 0.15， 用 样 本 容 量 20 乘 以对 应 的 频 率 ， 即 得 对 应 区 间 内 的 人 数 ， 从 而 求 出 所 求 .( )分 别 列 出 满 足 50， 70)的 基 本 事 件 ， 再 找 到 在 60， 70)的 事 件 个 数 ， 根 据 古 典 概 率 公 式计 算 即 可 .答 案 ： ( )根 据 直 方 图 知 组 距 =1

19、0， 由 (2a+3a+6a+7a+2a) 10=1， 解 得 a=0.005.( )成 绩 落 在 50， 60)中 的 学 生 人 数 为 2 0.005 10 20=2，成 绩 落 在 60， 70)中 的 学 生 人 数 为 3 0.005 10 20=3. ( )记 成 绩 落 在 50， 60)中 的 2人 为 A， B， 成 绩 落 在 60， 70)中 的 3人 为 C， D， E， 则 成 绩在 50， 70)的 学 生 任 选 2人 的 基 本 事 件 有 AB， AC， AD， AE， BC， BD， BE， CD， CE， DE共 10个 ， 其 中 2人 的 成 绩

20、都 在 60， 70)中 的 基 本 事 件 有 CD， CE， DE共 3 个 ，故 所 求 概 率 为 P= .18.(13分 )在 ABC 中 ， 内 角 A、 B、 C 所 对 的 边 分 别 是 a、 b、 c， 且 a+b+c=8.( )若 a=2， b= ， 求 cosC的 值 ；( )若 sinAcos 2 +sinBcos2 =2sinC， 且 ABC的 面 积 S= sinC， 求 a 和 b 的 值 .解 析 ： ( )由 a+b+c=8， 根 据 a=2， b= 求 出 c 的 长 ， 利 用 余 弦 定 理 表 示 出 cosC， 将 三 边 长代 入 求 出 cos

21、C 的 值 即 可 ；( )已 知 等 式 左 边 利 用 二 倍 角 的 余 弦 函 数 公 式 化 简 ， 整 理 后 利 用 两 角 和 与 差 的 正 弦 函 数 公 式及 诱 导 公 式 变 形 ， 再 利 用 正 弦 定 理 得 到 a+b=3c， 与 a+b+c=8联 立 求 出 a+b的 值 ， 利 用 三 角形 的 面 积 公 式 列 出 关 系 式 ， 代 入 S= sinC 求 出 ab 的 值 ， 联 立 即 可 求 出 a 与 b 的 值 .答 案 ： ( ) a=2， b= ， 且 a+b+c=8， c=8-(a+b)= ， 由 余 弦 定 理 得 ： cosC=

22、= =- ；( )由 sinAcos2 +sinBcos2 =2sinC 可 得 ： sinA +sinB =2sinC，整 理 得 ： sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC， sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC， sinA+sinB=3sinC，利 用 正 弦 定 理 化 简 得 ： a+b=3c， a+b+c=8， a+b=6 ， S= absinC= sinC， ab=9 ，联 立 解 得 ： a=b=3. 19.(12分 )已 知 函 数 f(x)= + -lnx- ， 其 中 a R， 且 曲 线 y=f(x)在 点 (1，

23、f(1)处 的 切线 垂 直 于 直 线 y= x.( )求 a 的 值 ；( )求 函 数 f(x)的 单 调 区 间 与 极 值 .解 析 ： ( )由 曲 线 y=f(x)在 点 (1， f(1)处 的 切 线 垂 直 于 直 线 y= x可 得 f (1)=-2， 可 求出 a 的 值 ； ( )根 据 (I)可 得 函 数 的 解 析 式 和 导 函 数 的 解 析 式 ， 分 析 导 函 数 的 符 号 ， 进 而 可 得 函 数 f(x)的 单 调 区 间 与 极 值 .答 案 ： ( ) f(x)= + -lnx- ， f (x)= - - ， 曲 线 y=f(x)在 点 (1

24、， f(1)处 的 切 线 垂 直 于 直 线 y= x. f (1)= -a-1=-2， 解 得 ： a= ，( )由 ( )知 ： f(x)= + -lnx- ， f (x)= - - = (x 0)，令 f (x)=0， 解 得 x=5， 或 x=-1（ 舍 ） ， 当 x (0， 5)时 ， f (x) 0， 当 x (5， + )时 ， f (x) 0，故 函 数 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 (5， + )； 单 调 递 减 区 间 为 (0， 5)；当 x=5时 ， 函 数 取 极 小 值 -ln5. 20.(12分 )如 图 ， 四 棱 锥 P-ABCD 中 ， 底

25、面 是 以 O为 中 心 的 菱 形 ， PO 底 面 ABCD， AB=2， BAD= ， M为 BC上 一 点 ， 且 BM= .( )证 明 ： BC 平 面 POM；( )若 MP AP， 求 四 棱 锥 P-ABMO的 体 积 . 解 析 ： ( )连 接 OB， 根 据 底 面 是 以 O 为 中 心 的 菱 形 ， PO 底 面 ABCD， AB=2， BAD= ， M为 BC 上 一 点 ， 且 BM= ， 结 合 菱 形 的 性 质 ， 余 弦 定 理 ， 勾 股 定 理 ， 可 得 OM BC及 PO BC，进 而 由 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 到 BC 平

26、面 POM；( )设 PO=a， 利 用 勾 股 定 理 和 余 弦 定 理 解 三 角 形 求 出 PO的 值 ， 及 四 棱 锥 P-ABMO的 底 面 积 S，代 入 棱 锥 体 积 公 式 ， 可 得 答 案 .答 案 ： ( ) 底 面 是 以 O为 中 心 的 菱 形 ， PO 底 面 ABCD，故 O 为 底 面 ABCD的 中 心 ， 连 接 OB， 则 AO OB， AB=2， BAD= ， OB=AB sin BAO=2sin( )=1， 又 BM= ， OBM= ， 在 OBM中 ， OM2=OB2+BM2-2OB BM cos OBM= ，即 OB2=OM2+BM2，

27、即 OM BM， OM BC，又 PO 底 面 ABCD， BC底 面 ABCD， PO BC，又 OM PO=O， OM， PO平 面 POM， BC 平 面 POM.( )由 ( )可 得 ： OA=AB cos BAO=2cos( )= ，设 PO=a， 由 PO 底 面 ABCD可 得 ： POA为 直 角 三 角 形 ， 故 PA 2=PO2+OA2=a2+3，由 POM也 为 直 角 三 角 形 得 ： PM2=PO2+OM2=a2+ ， 连 接 AM，在 ABM中 ， AM 2=AB2+BM2-2ABBMcos ABM= = ，由 MP AP 可 知 ： APM为 直 角 三 角

28、 形 ，则 AM2=PA2+PM2， 即 a2+3+a2+ = ， 解 得 a= ， 即 PO= ，此 时 四 棱 锥 P-ABMO 的 底 面 积 S=S AOB+S BOM= AO OB+ BM OM= ， 四 棱 锥 P-ABMO 的 体 积 V= S PO= .21.(12分 )如 图 ， 设 椭 圆 + =1(a b 0)的 左 右 焦 点 分 别 为 F 1， F2， 点 D 在 椭 圆 上 ，DF1 F1F2， =2 ， DF1F2的 面 积 为 .( )求 该 椭 圆 的 标 准 方 程 ； ( )是 否 存 在 圆 心 在 y 轴 上 的 圆 ， 使 圆 在 x 轴 的 上

29、方 与 椭 圆 有 两 个 交 点 ， 且 圆 在 这 两 个 交 点处 的 两 条 切 线 互 相 垂 直 并 分 别 过 不 同 的 焦 点 ？ 若 存 在 ， 求 出 圆 的 方 程 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理由 . 解 析 ： ( )设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 依 题 意 ， 可 求 得 c=1， 易 求 得 |DF1|= = ，|DF2|= ， 从 而 可 得 2a=2 ， 于 是 可 求 得 椭 圆 的 标 准 方 程 ；( )设 圆 心 在 y 轴 上 的 圆 C 与 椭 圆 +y2=1相 交 ， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是 两

30、个 交 点 ， 依 题意 ， 利 用 圆 和 椭 圆 的 对 称 性 ， 易 知 x 2=-x1， y1=y2， |P1P2|=2|x1|， 由 F1P1 F2P2， 得 x1=- 或x1=0， 分 类 讨 论 即 可 求 得 圆 心 及 半 径 ， 从 而 可 得 圆 的 方 程 .答 案 ： ( )设 F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 其 中 c2=a2-b2，由 =2 ， 得 |DF1|= = c，从 而 = |DF 1|F1F2|= c2= ， 故 c=1.从 而 |DF1|= ， 由 DF1 F1F2， 得 = + = ，因 此 |DF2|= ， 所 以 2a=|DF1|+|

31、DF2|=2 ， 故 a= ， b2=a2-c2=1，因 此 ， 所 求 椭 圆 的 标 准 方 程 为 +y2=1；( )设 圆 心 在 y轴 上 的 圆 C 与 椭 圆 +y 2=1 相 交 ， P1(x1， y1)， P2(x2， y2)是 两 个 交 点 ， y1 0， y2 0， F1P1， F2P2是 圆 C 的 切 线 ， 且 F1P1 F2P2， 由 圆 和 椭 圆 的 对 称 性 ， 易 知 x2=-x1，y1=y2， |P1P2|=2|x1|，由 ( )知 F1(-1， 0)， F2(1， 0)， 所 以 =(x1+1， y1)， =(-x1-1， y1)， 再 由 F1P

32、1 F2P2，得 - + =0，由 椭 圆 方 程 得 1- = ， 即 3 +4x 1=0， 解 得 x1=- 或 x1=0. 当 x1=0时 ， P1， P2重 合 ， 此 时 题 设 要 求 的 圆 不 存 在 ；当 x1=- 时 ， 过 P1， P2， 分 别 与 F1P1， F2P2垂 直 的 直 线 的 交 点 即 为 圆 心 C， 设 C(0， y0)由 F1P1， F2P2是 圆 C的 切 线 ， 知 CP1 F1P1， 得 =-1， 而 |y1|=|x1+1|= ，故 y 0= ，故 圆 C的 半 径 |CP1|= = .综 上 ， 存 在 满 足 题 设 条 件 的 圆 ， 其 方 程 为 x2+ = .