2013年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学理及答案解析.docx

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1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 安 徽 卷 ） 数 学 理一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有 一 个 符 合 题目 要 求1.(5分 )设 i 是 虚 数 单 位 ， 是 复 数 z 的 共 轭 复 数 ， 若 (z )i+2=2z， 则 z=( )A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i解 析 ： 设 z=a+bi(a， b R)， 则 ，由 ， 得 (a+bi)(a-bi)i=2(a+bi)， 整 理 得 2+(a 2+b2)i=2a+2bi.则

2、 ， 解 得 .所 以 z=1+i.答 案 ： A.2.(5分 )如 图 所 示 ， 程 序 框 图 (算 法 流 程 图 )的 输 出 结 果 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 分 析 程 序 中 各 变 量 、 各 语 句 的 作 用 ， 再 根 据 流 程 图 所 示 的 顺 序 ， 可 知 ：该 程 序 的 作 用 是 计 算 并 输 出 S= + + 的 值 S= + + = .答 案 ： D. 3.(5分 )在 下 列 命 题 中 ， 不 是 公 理 的 是 ( ) A.平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 平 行B.过 不 在 同 一 直 线 上 的 三 个

3、点 ， 有 且 只 有 一 个 平 面C.如 果 一 条 直 线 上 的 两 点 在 同 一 个 平 面 内 ， 那 么 这 条 直 线 上 所 有 点 都 在 此 平 面 内D.如 果 两 个 不 重 合 的 平 面 有 一 个 公 共 点 ， 那 么 它 们 有 且 只 有 一 条 过 该 点 的 公 共 直 线解 析 ： B， C， D经 过 人 类 长 期 反 复 的 实 践 检 验 是 真 实 的 ， 不 需 要 由 其 他 判 断 加 以 证 明 的 命 题和 原 理 故 是 公 理 ； 而 A 平 行 于 同 一 个 平 面 的 两 个 平 面 平 行 是 定 理 不 是 公 理

4、 .答 案 ： A.4.(5分 )“ a 0” 是 ” 函 数 f(x)=|(ax-1)x|在 区 间 (0， + )内 单 调 递 增 ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： 当 “ a 0” 时 ， x (0， + )， f(x)=|(ax-1)x|=-a(x- )x， 结 合 二 次 函 数 图 象 可 知函 数 f(x)=|(ax-1)x|在 区 间 (0， + )内 单 调 递 增 . 若 a 0， 如 取 a=1， 则 函 数 f(x)=|(ax-1)x|=|(x-1

5、)x|， 当 x (0， + )时f(x)= ， 如 图 所 示 ， 它 在 区 间 (0， + )内 有 增 有 减 ，从 而 得 到 函 数 f(x)=|(ax-1)x|在 区 间 (0， + )内 单 调 递 增 得 出 a 0.” a 0” 是 ” 函 数 f(x)=|(ax-1)x|在 区 间 (0， + )内 单 调 递 增 ” 的 充 要 条 件 .答 案 ： C.5.(5分 )某 班 级 有 50名 学 生 ， 其 中 有 30名 男 生 和 20名 女 生 ， 随 机 询 问 了 该 班 五 名 男 生 和五 名 女 生 在 某 次 数 学 测 验 中 的 成 绩 ， 五 名

6、 男 生 的 成 绩 分 别 为 86， 94， 88， 92， 90， 五 名 女生 的 成 绩 分 别 为 88， 93， 93， 88， 93， 下 列 说 法 正 确 的 是 ( )A.这 种 抽 样 方 法 是 一 种 分 层 抽 样B.这 种 抽 样 方 法 是 一 种 系 统 抽 样 C.这 五 名 男 生 成 绩 的 方 差 大 于 这 五 名 女 生 成 绩 的 方 差D.该 班 男 生 成 绩 的 平 均 数 大 于 该 班 女 生 成 绩 的 平 均 数解 析 ： 根 据 抽 样 方 法 可 知 ， 这 种 抽 样 方 法 是 一 种 简 单 随 机 抽 样 .五 名 男

7、 生 这 组 数 据 的 平 均 数 =(86+94+88+92+90) 5=90， 方 差 = (86-90)2+(94-90)2+(88-90)2+(92-90)2+(90-90)2=8.五 名 女 生 这 组 数 据 的 平 均 数 =(88+93+93+88+93) 5=91，方 差 = (88-91)2+(93-91)2+(93-91)2+(88-91)2+(93-91)2=6.故 这 五 名 男 生 成 绩 的 方 差 大 于 这 五 名 女 生 成 绩 的 方 差 .答 案 ： C.6.(5分 )已 知 一 元 二 次 不 等 式 f(x) 0的 解 集 为 x|x -1或 x

8、， 则 f(10 x) 0 的 解 集 为( )A.x|x -1或 x -lg2B.x| -1 x -lg2C.x|x -lg2D.x|x -lg2解 析 ： 由 题 意 可 知 f(x) 0 的 解 集 为 x|-1 x ， 故 可 得 f(10 x) 0等 价 于 -1 10 x ，由 指 数 函 数 的 值 域 为 (0， + )一 定 有 10 x -1， 而 10 x 可 化 为 10 x ， 即 10 x 10-lg2，由 指 数 函 数 的 单 调 性 可 知 ： x -lg2答 案 ： D7.(5分 )在 极 坐 标 系 中 圆 =2cos 的 垂 直 于 极 轴 的 两 条

9、切 线 方 程 分 别 为 ( )A. =0( R)和 cos =2B. = ( R)和 cos =2 C. = ( R)和 cos =1D. =0( R)和 cos =1解 析 ： 如 图 所 示 ， 在 极 坐 标 系 中 圆 =2cos 是 以 (1， 0)为 圆 心 ， 1为 半 径 的 圆 .故 圆 的 两 条 切 线 方 程 分 别 为 ( R)， cos =2. 答 案 ： B. 8.(5分 )函 数 y=f(x)的 图 象 如 图 所 示 ， 在 区 间 a， b上 可 找 到 n(n 2)个 不 同 的 数 x1， x2， ，xn， 使 得 = = ， 则 n的 取 值 范

10、围 是 ( )A.3， 4 B.2， 3， 4C.3， 4， 5D.2， 3解 析 ： 表 示 (x， f(x)点 与 原 点 连 线 的 斜 率 ， 若= = ，则 n 可 以 是 2， 如 图 所 示 ： n可 以 是 3， 如 图 所 示 ：n可 以 是 4， 如 图 所 示 ： 但 n 不 可 能 大 于 4答 案 ： B9.(5分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， O 是 坐 标 原 点 ， 两 定 点 A， B 满 足 | |=| |= =2，则 点 集 P| = + ， | |+| | 1， ， R所 表 示 的 区 域 的 面 积 是 ( )A.B.C.D.解 析 ：

11、由 两 定 点 A， B满 足 = =2， 说 明 O， A， B 三 点 构 成 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形 .不 妨 设 A( )， B( ).再 设 P(x， y).由 ， 得 ： .所 以 ， 解 得 .由 | |+| | 1. 所 以 等 价 于 或 或 或 .可 行 域 如 图 中 矩 形 ABCD 及 其 内 部 区 域 ， 则 区 域 面 积 为 .答 案 ： D.10.(5分 )若 函 数 f(x)=x3+ax2+bx+c有 极 值 点 x1， x2， 且 f(x1)=x1， 则 关 于 x的 方 程3(f(x)2+2af(x)+b=0的 不 同 实 根 个 数

12、是 ( )A.3B.4C.5D.6解 析 ： f (x)=3x 2+2ax+b， x1， x2是 方 程 3x2+2ax+b=0的 两 根 ， 不 妨 设 x2 x1，由 3(f(x)2+2af(x)+b=0， 则 有 两 个 f(x)使 等 式 成 立 ， x1=f(x1)， x2 x1=f(x1)，如 下 示 意 图 象 ： 如 图 有 三 个 交 点 ，答 案 ： A. 二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分11.(5分 )若 的 展 开 式 中 x4的 系 数 为 7， 则 实 数 a= .解 析 ： 由 通 项 公 式 Tr+1=

13、= ， 的 展 开 式 中 x 4的 系 数 为 7， ， 解 得 . 答 案 ： .12.(5分 )设 ABC的 内 角 A， B， C所 对 边 的 长 分 别 为 a， b， c， 若 b+c=2a， 3sinA=5sinB，则 角 C= .解 析 ： 3sinA=5sinB， 由 正 弦 定 理 ， 可 得 3a=5b， a= ， b+c=2a， c= ， cosC= =- ， C (0， )， C= .答 案 ： 13.(5分 )已 知 直 线 y=a交 抛 物 线 y=x2于 A， B 两 点 ， 若 该 抛 物 线 上 存 在 点 C， 使 得 ACB为直 角 ， 则 a的 取

14、值 范 围 为 1， + ) .解 析 ： 如 图 所 示 ， 可 知 A ， B ， 设 C(m， m2)， ， . 该 抛 物 线 上 存 在 点 C， 使 得 ACB为 直 角 ， = .化 为 m2-a+(m2-a)2=0. m ， m2=a-1 0， 解 得 a 1. a 的 取 值 范 围 为 1， + ).答 案 ： 1， + ).14.(5分 )如 图 ， 互 不 相 同 的 点 A 1， A2， ， An， 和 B1， B2， ， Bn， 分 别 在 角 O 的 两 条边 上 ， 所 有 AnBn相 互 平 行 ， 且 所 有 梯 形 AnBnBn+1An+1的 面 积 均

15、相 等 ， 设 OAn=an， 若 a1=1， a2=2，则 数 列 an的 通 项 公 式 是 . 解 析 ： 设 ， OA1=a1=1， OA2=a2=2， A1B1 A2B2， A1B1是 三 角 形 OA2B2的 中 位 线 ， = = ， 梯 形 A1B1B2A2的 面 积 =3S.故 梯 形 AnBnBn+1An+1的 面 积 =3S. 所 有 A nBn相 互 平 行 ， 所 有 OAnBn(n N*)都 相 似 ， ， ， ， ， ， ， ， . 数 列 是 一 个 等 差 数 列 ， 其 公 差 d=3， 故 =1+(n-1) 3=3n-2. .因 此 数 列 a n的 通

16、项 公 式 是 .答 案 ： .15.(5分 )如 图 ， 正 方 体 ABCD-A1B1C1D1的 棱 长 为 1， P 为 BC的 中 点 ， Q 为 线 段 CC1上 的 动 点 ，过 点 A， P， Q 的 平 面 截 该 正 方 体 所 得 的 截 面 记 为 S， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 (写 出 所有 正 确 命 题 的 编 号 ). 当 0 CQ 时 ， S 为 四 边 形 当 CQ= 时 ， S 为 等 腰 梯 形 当 CQ= 时 ， S 与 C 1D1的 交 点 R满 足 C1R= 当 CQ 1 时 ， S 为 六 边 形 当 CQ=1 时 ， S的 面 积 为

17、 . 解 析 ： 如 图 当 CQ= 时 ， 即 Q为 CC1中 点 ， 此 时 可 得 PQ AD1， AP=QD1= = ，故 可 得 截 面 APQD1为 等 腰 梯 形 ， 故 正 确 ；由 上 图 当 点 Q 向 C 移 动 时 ， 满 足 0 CQ ， 只 需 在 DD1上 取 点 M满 足 AM PQ，即 可 得 截 面 为 四 边 形 APQM， 故 正 确 ； 当 CQ= 时 ， 如 图 ， 延 长 DD1至 N， 使 D1N= ， 连 接 AN交 A1D1于 S， 连 接 NQ交 C1D1于 R， 连 接 SR，可 证 AN PQ， 由 NRD1 QRC1， 可 得 C1R

18、： D1R=C1Q： D1N=1： 2， 故 可 得 C1R= ， 故 正 确 ； 由 可 知 当 CQ 1 时 ， 只 需 点 Q 上 移 即 可 ， 此 时 的 截 面 形 状 仍 然 上 图 所 示 的 APQRS，显 然 为 五 边 形 ， 故 错 误 ； 当 CQ=1 时 ， Q与 C 1重 合 ， 取 A1D1的 中 点 F， 连 接 AF， 可 证 PC1 AF， 且 PC1=AF，可 知 截 面 为 APC1F 为 菱 形 ， 故 其 面 积 为 AC1 PF= = ， 故 正 确 .答 案 ： 三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 时

19、应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 骤 16.(12分 )已 知 函 数 f(x)=4cos x sin( x+ )( 0)的 最 小 正 周 期 为 .(1)求 的 值 ；(2)讨 论 f(x)在 区 间 0， 上 的 单 调 性 .解 析 ： (1)先 利 用 和 角 公 式 再 通 过 二 倍 角 公 式 ， 将 次 升 角 ， 化 为 一 个 角 的 一 个 三 角 函 数 的 形式 ， 通 过 函 数 的 周 期 ， 求 实 数 的 值 ；(2)由 于 x 是 0， 范 围 内 的 角 ， 得 到 2x+ 的 范 围 ， 然 后 通 过 正 弦 函 数 的 单

20、 调 性 求 出 f(x)在 区 间 0， 上 的 单 调 性 .答 案 ：(1)f(x)=4cos xsin( x+ )=2 sin x cos x+2 cos 2 x= (sin2 x+cos2 x)+ =2sin(2 x+ )+ ，所 以 T= = ， =1.(2)由 (1)知 ， f(x)=2sin(2x+ )+ ，因 为 0 x ， 所 以 2x+ ，当 2x+ 时 ， 即 0 x 时 ， f(x)是 增 函 数 ， 当 2x+ 时 ， 即 x 时 ， f(x)是 减 函 数 ，所 以 f(x)在 区 间 0， 上 单 调 增 ， 在 区 间 ， 上 单 调 减 .17.(12分 )

21、设 函 数 f(x)=ax-(1+a2)x2， 其 中 a 0， 区 间 I=x|f(x) 0( )求 I 的 长 度 (注 ： 区 间 (a， )的 长 度 定 义 为 - )；( )给 定 常 数 k (0， 1)， 当 1-k a 1+k时 ， 求 I长 度 的 最 小 值 .解 析 ： ( )解 不 等 式 f(x) 0可 得 区 间 I， 由 区 间 长 度 定 义 可 得 I的 长 度 ；( )由 ( )构 造 函 数 d(a)= ， 利 用 导 数 可 判 断 d(a)的 单 调 性 ， 由 单 调 性 可 判 断 d(a)的 最 小 值 必 定 在 a=1-k 或 a=1+k

22、处 取 得 ， 通 过 作 商 比 较 可 得 答 案 .答 案 ： ( )因 为 方 程 ax-(1+a 2)x2=0(a 0)有 两 个 实 根 x1=0， 0，故 f(x) 0的 解 集 为 x|x1 x x2， 因 此 区 间 I=(0， )， 区 间 长 度 为 ；( )设 d(a)= ， 则 d (a)= ，令 d (a)=0， 得 a=1， 由 于 0 k 1， 故 当 1-k a 1时 ， d (a) 0， d(a)单 调 递 增 ； 当 1 a 1+k时 ， d (a) 0， d(a)单 调 递减 ， 因 此 当 1-k a 1+k时 ， d(a)的 最 小 值 必 定 在

23、a=1-k或 a=1+k处 取 得 ，而 = 1， 故 d(1-k) d(1+k)，因 此 当 a=1-k 时 ， d(a)在 区 间 1-k， 1+k上 取 得 最 小 值 ， 即 I 长 度 的 最 小 值 为. 18.(12分 )设 椭 圆 E： 的 焦 点 在 x 轴 上(1)若 椭 圆 E 的 焦 距 为 1， 求 椭 圆 E的 方 程 ；(2)设 F1， F2分 别 是 椭 圆 E 的 左 、 右 焦 点 ， P 为 椭 圆 E 上 第 一 象 限 内 的 点 ， 直 线 F2P 交 y 轴 于点 Q， 并 且 F1P F1Q， 证 明 ： 当 a 变 化 时 ， 点 P 在 某

24、定 直 线 上 .解 析 ： (1)利 用 椭 圆 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质 即 可 得 出 ， 解 出 即可 ；(2)设 P(x 0， y0)， F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 其 中 .利 用 斜 率 的 计 算 公 式 和 点 斜 式即 可 得 出 直 线 F1P的 斜 率 = ， 直 线 F2P 的 方 程 为 .即 可 得 出Q .得 到 直 线 F1Q的 斜 率 = .利 用 F1Q F1P， 可 得= .化 为 .与 椭 圆 的 方 程 联 立 即 可解 出 点 P 的 坐 标 .答 案 ： (1) 椭 圆 E 的 焦 距 为 1， ， 解 得 . 故 椭

25、 圆 E 的 方 程 为 .(2)设 P(x0， y0)， F1(-c， 0)， F2(c， 0)， 其 中 .由 题 设 可 知 ： x0 c.则 直 线 F1P 的 斜 率 = ， 直 线 F2P 的 斜 率 = . 故 直 线 F2P的 方 程 为 .令 x=0， 解 得 .即 点 Q .因 此 直 线 F1Q 的 斜 率 = . F1Q F1P， = .化 为 . 联 立 ， 及 x0 0， y0 0， 解 得 ， .即 点 P 在 定 直 线 x+y=1 上 .19.(13分 )如 图 ， 圆 锥 顶 点 为 P， 底 面 圆 心 为 O， 其 母 线 与 底 面 所 成 的 角 为

26、 22.5 ， AB和 CD是 底 面 圆 O上 的 两 条 平 行 的 弦 ， 轴 OP 与 平 面 PCD所 成 的 角 为 60 ，(1)证 明 ： 平 面 PAB 与 平 面 PCD的 交 线 平 行 于 底 面 ；(2)求 cos COD. 解 析 ： (1)利 用 线 面 平 行 的 判 定 与 性 质 ， 可 证 平 面 PAB与 平 面 PCD 的 交 线 平 行 于 底 面 ；(2)先 作 出 OP 与 平 面 PCD所 成 的 角 ， 再 求 出 OC， OF， 求 出 cos COF， 利 用 二 倍 角 公 式 ， 即可 求 得 cos COD.答 案 ： (1)设 平

27、 面 PAB与 平 面 PCD 的 交 线 为 l， AB CD， AB平 面 PCD， AB 平 面 PCD， AB面 PAB， 平 面 PAB与 平 面 PCD的 交 线 为 l， AB l， AB 在 底 面 上 ， l 在 底 面 外 ， l与 底 面 平 行 ；(2)设 CD 的 中 点 为 F， 连 接 OF， PF，由 圆 的 性 质 ， COD=2 COF， OF CD， OP 底 面 ， CD底 面 ， OP CD， OP OF=O， CD 平 面 OPF， CD平 面 PCD， 平 面 OPF 平 面 PCD， 直 线 OP 在 平 面 PCD上 的 射 影 为 直 线 P

28、F， OPF 为 OP与 平 面 PCD所 成 的 角 ，由 题 设 ， OPF=60 ， 设 OP=h， 则 OF=OPtan OPF= ， OCP=22.5 ， ， tan45 = =1， tan22.5 = ， OC= = ，在 Rt OCF中 ， cos COF= = = ， cos COD=cos(2 COF)=2cos 2 COF-1=17-12 .20.(13分 )设 函 数 fn(x)=-1+x+ + + + (x R， n N+)， 证 明 ：(1)对 每 个 n N +， 存 在 唯 一 的 x ， 1， 满 足 fn(xn)=0；(2)对 于 任 意 p N+， 由 (1

29、)中 xn构 成 数 列 xn满 足 0 xn-xn+p .解 析 ： (1)由 题 意 可 得 f (x) 0， 函 数 f(x)在 (0， + )上 是 增 函 数 .求 得 fn(1) 0， fn( ) 0， 再 根 据 函 数 的 零 点 的 判 定 定 理 ， 可 得 要 证 的 结 论 成 立 .(2)由 题 意 可 得 f n+1(xn) fn(xn)=fn+1(xn+1)=0， 由 fn+1(x) 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 可 得 xn+1 xn， 故 xn-xn+p 0.用 fn(x)的 解 析 式 减 去 fn+p (xn+p)的 解 析 式 ， 变 形 可

30、 得xn-xn+p= + ， 再 进 行 放 大 ， 并 裂 项 求 和 ， 可 得 它 小 于 ， 综 上 可得 要 证 的 结 论 成 立 .答 案 ： (1)对 每 个 n N +， 当 x 0 时 ， 由 函 数 fn(x)=-1+x+ )，可 得 f (x)=1+ + + 0 ， 故 函 数 f(x)在 (0， + )上 是 增 函 数 .由 于 f1(x1)=0， 当 n 2 时 ， fn(1)= + + + 0， 即 fn(1) 0.又 f n( )=-1+ + + + + + - + =- + =- 0，根 据 函 数 的 零 点 的 判 定 定 理 ， 可 得 存 在 唯 一

31、 的 x n ， 满 足 fn(xn)=0. (2)对 于 任 意 p N+， 由 (1)中 xn构 成 数 列 xn， 当 x 0时 ， fn+1(x)=fn(x)+ fn(x)， fn+1(xn) fn(xn)=fn+1(xn+1)=0.由 fn+1(x) 在 (0， + )上 单 调 递 增 ， 可 得 xn+1 xn， 即 xn-xn+1 0， 故 数 列 xn为 减 数 列 ， 即对 任 意 的 n、 p N+， xn-xn+p 0.由 于 f n(xn)=-1+xn+ + + + =0 ，fn+p (xn+p)=-1+xn+p+ + + + + + + + ，用 减 去 并 移 项

32、 ， 利 用 0 xn+p 1， 可 得x n-xn+p= + = .综 上 可 得 ， 对 于 任 意 p N+， 由 (1)中 xn构 成 数 列 xn满 足 0 xn-xn+p .21.(13分 )某 高 校 数 学 系 计 划 在 周 六 和 周 日 各 举 行 一 次 主 题 不 同 的 心 理 测 试 活 动 ， 分 别 由 李老 师 和 张 老 师 负 责 ， 已 知 该 系 共 有 n 位 学 生 ， 每 次 活 动 均 需 该 系 k位 学 生 参 加 (n和 k都 是固 定 的 正 整 数 )， 假 设 李 老 师 和 张 老 师 分 别 将 各 自 活 动 通 知 的 信

33、 息 独 立 、 随 机 地 发 给 该 系 k位 学 生 ， 且 所 发 信 息 都 能 收 到 ， 记 该 系 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 学 生 人 数 为X. (I)求 该 系 学 生 甲 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所 发 活 动 通 知 信 息 的 概 率 ；(II)求 使 P(X=m)取 得 最 大 值 的 整 数 m.解 析 ： (I)由 题 设 ， 两 位 老 师 发 送 信 息 是 独 立 的 ， 要 计 算 该 系 学 生 甲 收 到 李 老 师 或 张 老 师 所发 活 动 通 知 信 息 的 概 率 可 先 计 算

34、其 对 立 事 件 ， 该 生 没 有 接 到 任 一 位 老 师 发 送 的 信 息 的 概 率 ，利 用 概 率 的 性 质 求 解 ；(II)由 题 意 ， 要 先 研 究 随 机 变 量 X 的 取 值 范 围 ， 由 于 k n 故 要 分 两 类 k=n 与 k n 进 行 研 究 ，k=n时 易 求 ， k n 时 ， 要 研 究 出 同 时 接 受 到 两 位 老 师 信 息 的 人 数 ， 然 后 再 研 究 事 件 所 包 含 的基 本 事 件 数 ， 表 示 出 P(X=m)， 再 根 据 其 形 式 研 究 它 取 得 最 大 值 的 整 数 m 即 可 .答 案 ：

35、(I)因 为 事 件 A： “ 学 生 甲 收 到 李 老 师 所 发 信 息 ” 与 事 件 B： “ 学 生 甲 收 到 张 老 师 所 发信 息 ” 是 相 互 独 立 事 件 ， 所 以 与 相 互 独 立 ， 由 于 P(A)=P(B)= = ， 故 P( )=P( )=1- ， 因 此 学 生 甲 收 到 活 动 信 息 的 概 率 是 1-(1- )2=(II)当 k=n时 ， m 只 能 取 n， 此 时 有 P(X=m)=P(X=n)=1 当 k n 时 ， 整 数 m 满 足 k m t， 其 中 t是 2k和 m 中 的 较 小 者 ， 由 于 “ 李 老 师 与 张 老

36、 师 各自 独 立 、 随 机 地 发 送 活 动 信 息 给 k 位 ” 所 包 含 的 基 本 事 件 总 数 为 ( )2， 当 X=m时 ， 同 时 收到 两 位 老 师 所 发 信 息 的 学 生 人 数 为 2k-m， 仅 收 到 李 老 师 或 张 老 师 转 发 信 息 的 学 生 人 数 为 m-k，由 乘 法 原 理 知 ： 事 件 X=m所 包 含 的 基 本 事 件 数 为P(X=M)= =当 k m t时 ， P(X=M) P(X=M+1)(m-k+1) 2 (n-m)(2k-m)m 2k-假 如 k 2k- t成 立 ， 则 当 (k+1)2能 被 n+2整 除 时 ，k 2k- 2k+1- t， 故 P(X=M)在 m=2k- 和m=2k+1- 处 达 到 最 大 值 ； 当 (k+1)2不 能 被 n+2整 除 时 ， P(X=M)在 m=2k- 处 达 到 最 大 值 (注 ： x表 示 不 超过 x 的 最 大 整 数 )，下 面 证 明 k 2k- t因 为 1 k n， 所 以 2k- -k= = 0而 2k- -n= 0， 故 2k- n， 显 然 2k- 2k 因 此 k 2k- t.