2015年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数学文及答案解析.docx

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1、2015年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 四 川 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中 ， 只 有一 个 是 符 合 题 目 要 求 的 .1.设 集 合 A=x|-1 x 2， 集 合 B=x|1 x 3， 则 A B=( )A.x|-1 x 3B.x|-1 x 1C.x|1 x 2D.x|2 x 3解 析 ： 集 合 A=x|-1 x 2， 集 合 B=x|1 x 3，则 A B=x|-1 x 3.故 选 ： A. 2.设 向 量 =(2，

2、 4)与 向 量 =(x， 6)共 线 ， 则 实 数 x=( )A.2B.3C.4D.6解 析 ： 因 为 向 量 =(2， 4)与 向 量 =(x， 6)共 线 ，所 以 4x=2 6， 解 得 x=3；故 选 ： B.3.某 学 校 为 了 了 解 三 年 级 、 六 年 级 、 九 年 级 这 三 个 年 级 之 间 的 学 生 视 力 是 否 存 在 显 著 差 异 ，拟 从 这 三 个 年 级 中 按 人 数 比 例 抽 取 部 分 学 生 进 行 调 查 ， 则 最 合 理 的 抽 样 方 法 是 ( ) A.抽 签 法B.系 统 抽 样 法C.分 层 抽 样 法D.随 机 数

3、法解 析 ： 我 们 常 用 的 抽 样 方 法 有 ： 简 单 随 机 抽 样 、 分 层 抽 样 和 系 统 抽 样 ，而 事 先 已 经 了 解 到 三 年 级 、 六 年 级 、 九 年 级 这 三 个 年 级 之 间 的 学 生 视 力 是 否 存 在 显 著 差 异 ，这 种 方 式 具 有 代 表 性 ， 比 较 合 理 .故 选 ： C.4.设 a， b 为 正 实 数 ， 则 “ a b 1” 是 “ log 2a log2b 0” 的 ( )A.充 要 条 件B.充 分 不 必 要 条 件C.必 要 不 充 分 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件解 析 ： 若

4、 log2a log2b 0， 则 a b 1，故 “ a b 1” 是 “ log2a log2b 0” 的 充 要 条 件 ，故 选 ： A. 5.下 列 函 数 中 ， 最 小 正 周 期 为 且 图 象 关 于 原 点 对 称 的 函 数 是 ( )A.y=cos(2x+ )B.y=sin(2x+ )C.y=sin2x+cos2xD.y=sinx+cosx解 析 ：y=cos(2x+ )=-sin2x， 是 奇 函 数 ， 函 数 的 周 期 为 ： ， 满 足 题 意 ， 所 以 A 正 确y=sin(2x+ )=cos2x， 函 数 是 偶 函 数 ， 周 期 为 ： ， 不 满

5、足 题 意 ， 所 以 B 不 正 确 ； y=sin2x+cos2x= sin(2x+ )， 函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 ， 周 期 为 ， 所 以 C 不 正 确 ；y=sinx+cosx= sin(x+ )， 函 数 是 非 奇 非 偶 函 数 ， 周 期 为 2 ， 所 以 D不 正 确 ；故 选 ： A.6.执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图 ， 输 出 s 的 值 为 ( ) A.-B.C.-D.解 析 ： 模 拟 执 行 程 序 框 图 ， 可 得k=1 k=2不 满 足 条 件 k 4， k=3不 满 足 条 件 k 4， k=4不 满 足 条 件 k 4， k

6、=5满 足 条 件 k 4， S=sin = ，输 出 S的 值 为 .故 选 ： D.7.过 双 曲 线 x 2- =1的 右 焦 点 且 与 x轴 垂 直 的 直 线 ， 交 该 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 于 A、 B 两 点 ，则 |AB|=( )A.B.2C.6D.4解 析 ： 双 曲 线 x 2- =1的 右 焦 点 (2， 0)， 渐 近 线 方 程 为 y= ，过 双 曲 线 x2- =1的 右 焦 点 且 与 x 轴 垂 直 的 直 线 ， x=2，可 得 yA=2 ， yB=-2 ， |AB|=4 .故 选 ： D.8.某 食 品 保 鲜 时 间 y(单 位 ： 小

7、 时 )与 储 藏 温 度 x(单 位 ： )满 足 函 数 关 系 y=e kx+b (e=2.718为 自 然 对 数 的 底 数 ， k， b为 常 数 ).若 该 食 品 在 0 的 保 鲜 时 间 是 192小 时 ， 在 22 的 保 鲜时 间 是 48 小 时 ， 则 该 食 品 在 33 的 保 鲜 时 间 是 ( )A.16小 时B.20小 时C.24小 时D.28小 时解 析 ： y=e kx+b (e=2.718 为 自 然 对 数 的 底 数 ， k， b 为 常 数 ).当 x=0时 ， eb=192，当 x=22时 e22k+b=48， e16k= =e11k= e

8、b=192当 x=33时 ， e33k+b=(ek)33 (eb)=( )3 192=24故 选 ： C9.设 实 数 x， y 满 足 ， 则 xy 的 最 大 值 为 ( )A.B. C.12D.16解 析 ： 作 出 不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 如 图 ； 则 动 点 P 在 BC 上 运 动 时 ， xy取 得 最 大 值 ，此 时 2x+y=10，则 xy= ，当 且 仅 当 2x=y=5，即 x= ， y=5时 ， 取 等 号 ，故 xy 的 最 大 值 为 ，故 选 ： A10.设 直 线 l 与 抛 物 线 y 2=4x相 交 于 A、 B两 点 ， 与 圆 (

9、x-5)2+y2=r2(r 0)相 切 于 点 M， 且 M 为线 段 AB的 中 点 ， 若 这 样 的 直 线 l 恰 有 4 条 ， 则 r 的 取 值 范 围 是 ( )A.(1， 3)B.(1， 4)C.(2， 3)D.(2， 4) 解 析 ： 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(x0， y0)， 则斜 率 存 在 时 ， 设 斜 率 为 k， 则 y12=4x1， y22=4x2， 利 用 点 差 法 可 得 ky0=2，因 为 直 线 与 圆 相 切 ， 所 以 ， 所 以 x0=3，即 M 的 轨 迹 是 直 线 x=3，代 入 抛 物 线 方 程 可 得 y=

10、 2 ， 所 以 交 点 与 圆 心 (5， 0)的 距 离 为 4，所 以 2 r 4 时 ， 直 线 l有 2条 ；斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 l 有 2 条 ；所 以 直 线 l恰 有 4 条 ， 2 r 4，故 选 ： D.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 25分 . 11.设 i 是 虚 数 单 位 ， 则 复 数 i- =_.解 析 ： 复 数 i- =i- =i+i=2i.故 答 案 为 ： 2i.12. lg0.01+log 216 的 值 是 _.解 析 ： lg0.01+log216=-2+4=2.故 答 案 为 ：

11、 2.13.已 知 sin +2cos =0， 则 2sin cos -cos2 的 值 是 _.解 析 ： sin +2cos =0， 即 sin =-2cos ， tan =-2，则 原 式 = ，故 答 案 为 ： -114.在 三 棱 住 ABC-A 1B1C1中 ， BAC=90 ， 其 正 视 图 和 侧 视 图 都 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， 俯 视图 是 直 角 边 长 为 1 的 等 腰 直 角 三 角 形 ， 设 M， N， P 分 别 是 AB， BC， B1C1的 中 点 ， 则 三 棱 锥P-AMN的 体 积 是 _.解 析 ： 判 断 三 视 图 对 应

12、 的 几 何 体 的 形 状 ， 画 出 图 形 ， 利 用 三 视 图 的 数 据 ， 求 解 三 棱 锥 P-AMN的 体 积 即 可 .答 案 ： 由 三 视 图 可 知 ， 可 知 几 何 体 的 图 形 如 图 ： 几 何 体 是 底 面 为 等 腰 直 角 三 角 形 直 角 边 长 为1， 高 为 1 的 直 三 棱 柱 ， 所 求 三 棱 锥 的 高 为 NP=1， 底 面 AMN的 面 积 是 底 面 三 角 形 ABC的 ，所 求 三 棱 锥 P-AMN 的 体 积 是 ： . 15.已 知 函 数 f(x)=2x， g(x)=x2+ax(其 中 a R).对 于 不 相

13、等 的 实 数 x1、 x2， 设m= ， n= .现 有 如 下 命 题 ： 对 于 任 意 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 都 有 m 0； 对 于 任 意 的 a及 任 意 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 都 有 n 0； 对 于 任 意 的 a， 存 在 不 相 等 的 实 数 x1、 x2， 使 得 m=n； 对 于 任 意 的 a， 存 在 不 相 等 的 实 数 x 1、 x2， 使 得 m=-n.其 中 的 真 命 题 有 _ (写 出 所 有 真 命 题 的 序 号 ).解 析 ： 对 于 ， 由 于 2 1， 由 指 数 函 数 的 单 调 性 可 得 f(

14、x)在 R 上 递 增 ， 即 有 m 0， 则 正确 ；对 于 ， 由 二 次 函 数 的 单 调 性 可 得 g(x)在 (- ， - )递 减 ， 在 ( ， + )递 减 ， 则 n 0 不 恒成 立 ，则 错 误 ；对 于 ， 由 m=n， 可 得 f(x 1)-f(x2)=g(x1)-g(x2)， 考 查 函 数 h(x)=x2+ax-2x，h (x)=2x+a-2xln2， 当 a - ， h (x)小 于 0， h(x)单 调 递 减 ， 则 错 误 ；对 于 ， 由 m=-n， 可 得 f(x1)-f(x2)=-g(x1)-g(x2)， 考 查 函 数 h(x)=x2+ax+

15、2x，h (x)=2x+a+2xln2， 对 于 任 意 的 a， h (x)不 恒 大 于 0 或 小 于 0， 则 正 确 .故 答 案 为 ： .三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 6 小 题 ， 共 75分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .16.设 数 列 a n(n=1， 2， 3 )的 前 n 项 和 Sn， 满 足 Sn=2an-a1， 且 a1， a2+1， a3成 等 差 数 列 .(1)求 数 列 an的 通 项 公 式 ；(2)设 数 列 的 前 n 项 和 为 Tn， 求 Tn.解 析 ： (1)由 条 件 Sn满 足

16、 Sn=2an-a1， 求 得 数 列 an为 等 比 数 列 ， 且 公 比 q=2； 再 根 据 a1， a2+1，a3成 等 差 数 列 ， 求 得 首 项 的 值 ， 可 得 数 列 an的 通 项 公 式 .(2)由 于 ， 利 用 等 比 数 列 的 前 n项 和 公 式 求 得 数 列 的 前 n 项 和 T n.答 案 ： (1)由 已 知 Sn=2an-a1， 有 an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n 2)，即 an=2an-1(n 2)，从 而 a2=2a1， a3=2a2=4a1.又 因 为 a1， a2+1， a3成 等 差 数 列 ， 即 a1+a3=2(a2

17、+1)所 以 a1+4a1=2(2a1+1)，解 得 ： a1=2.所 以 ， 数 列 an是 首 项 为 2， 公 比 为 2 的 等 比 数 列 .故 a n=2n.(2)由 (1)得 ，所 以 T n= .17.一 辆 小 客 车 上 有 5 名 座 位 ， 其 座 号 为 1， 2， 3， 4， 5， 乘 客 P1， P2， P3， P4， P5的 座 位 号分 别 为 1， 2， 3， 4， 5.他 们 按 照 座 位 号 顺 序 先 后 上 车 ， 乘 客 P1因 身 体 原 因 没 有 坐 自 己 1号座 位 ， 这 时 司 机 要 求 余 下 的 乘 客 按 以 下 规 则 就

18、 坐 ： 如 果 自 己 的 座 位 空 着 ， 就 只 能 坐 自 己 的 座位 .如 果 自 己 的 座 位 已 有 乘 客 就 坐 ， 就 在 这 5 个 座 位 的 剩 余 空 位 中 选 择 座 位 .(1)若 乘 客 P1坐 到 了 3 号 座 位 ， 其 他 乘 客 按 规 则 就 座 ， 则 此 时 共 有 4 种 坐 法 .下 表 给 出 其 中两 种 坐 法 ， 请 填 入 余 下 两 种 坐 法 (将 乘 客 就 坐 的 座 位 号 填 入 表 中 空 格 处 ) (2)若 乘 客 P1坐 到 了 2 号 座 位 ， 其 他 乘 客 按 规 则 就 坐 ， 求 乘 客 P

19、5坐 到 5号 座 位 的 概 率 .解 析 ： (1)根 据 题 意 ， 可 以 完 成 表 格 ；(2)列 表 ， 确 定 所 有 可 能 的 坐 法 ， 再 求 出 乘 客 P1坐 到 5号 座 位 的 概 率 .答 案 ： (1)余 下 两 种 坐 法 ：(2)若 乘 客 P 1坐 到 了 2 号 座 位 ， 其 他 乘 客 按 规 则 就 坐 ， 则所 有 可 能 的 坐 法 可 用 下 表 表 示 为 于 是 ， 所 有 可 能 的 坐 法 共 8 种 ，设 “ 乘 客 P5坐 到 5 号 座 位 ” 为 事 件 A， 则 事 件 A中 的 基 本 事 件 的 个 数 为 4， 所

20、 以 P(A)= = .答 ： 乘 客 P5坐 到 5 号 座 位 的 概 率 是 .18.一 个 正 方 体 的 平 面 展 开 图 及 该 正 方 体 的 直 观 图 的 示 意 图 如 图 所 示 . (1)请 按 字 母 F， G， H 标 记 在 正 方 体 相 应 地 顶 点 处 (不 需 要 说 明 理 由 )(2)判 断 平 面 BEG与 平 面 ACH 的 位 置 关 系 .并 说 明 你 的 结 论 .(3)证 明 ： 直 线 DF 平 面 BEG.解 析 ： (1)直 接 标 出 点 F， G， H 的 位 置 .(2)先 证 BCHE为 平 行 四 边 形 ， 可 知

21、BE 平 面 ACH， 同 理 可 证 BG 平 面 ACH， 即 可 证 明 平 面BEG 平 面 ACH.(3)连 接 FH， 由 DH EG， 又 DH EG， EG FH， 可 证 EG 平 面 BFHD， 从 而 可 证 DF EG， 同 理DF BG， 即 可 证 明 DF 平 面 BEG.答 案 ： (1)点 F， G， H 的 位 置 如 图 所 示 . (2)平 面 BEG 平 面 ACH， 证 明 如 下 ： ABCD-EFGH 为 正 方 体 ， BC FG， BC=EH，又 FG EH， FG=EH， BC EH， BC=EH， BCHE为 平 行 四 边 形 . BE

22、 CH，又 CH平 面 ACH， BE平 面 ACH， BE 平 面 ACH，同 理 BG 平 面 ACH，又 BE BG=B， 平 面 BEG 平 面 ACH.(3)连 接 FH， ABCD-EFGH 为 正 方 体 ， DH EG，又 EG平 面 EFGH， DH EG，又 EG FH， EG FH=O， EG 平 面 BFHD，又 DF平 面 BFHD， DF EG，同 理 DF BG，又 EG BG=G， DF 平 面 BEG.19.已 知 A、 B、 C 为 ABC的 内 角 ， tanA， tanB 是 关 于 方 程 x 2+ px-p+1=0(p R)两 个 实 根 .(1)求

23、 C 的 大 小(2)若 AB=3， AC= ， 求 p 的 值 .解 析 ： (1)由 判 别 式 =3p2+4p-4 0， 可 得 p -2， 或 p ， 由 韦 达 定 理 ， 有 tanA+tanB=- p，tanAtanB=1-p， 由 两 角 和 的 正 切 函 数 公 式 可 求 tanC=-tan(A+B)= ， 结 合 C的 范 围 即 可 求 C的 值 .(2)由 正 弦 定 理 可 求 sinB= = ， 解 得 B， A， 由 两 角 和 的 正 切 函 数 公 式 可 求tanA=tan75 ， 从 而 可 求 p=- (tanA+tanB)的 值 .答 案 ： (1

24、)由 已 知 ， 方 程 x 2+ px-p+1=0的 判 别 式 ： =( p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4 0，所 以 p -2， 或 p .由 韦 达 定 理 ， 有 tanA+tanB=- p， tanAtanB=1-p.所 以 ， 1-tanAtanB=1-(1-p)=p 0，从 而 tan(A+B)= .所 以 tanC=-tan(A+B)= ， 所 以 C=60 .(2)由 正 弦 定 理 ， 可 得 sinB= ，解 得 B=45 ， 或 B=135 (舍 去 ).于 是 ， A=180 -B-C=75 .则 tanA=tan75 =tan(45 +30 )= .所 以

25、 p=- (tanA+tanB)=- (2+ )=-1- . 20.如 图 ， 椭 圆 E： =1(a b 0)的 离 心 率 是 ， 点 P(0， 1)在 短 轴 CD上 ， 且 =-1(1)求 椭 圆 E 的 方 程 .(2)设 O 为 坐 标 原 点 ， 过 点 P 的 动 直 线 与 椭 圆 交 于 A、 B 两 点 .是 否 存 在 常 数 ， 使 得 + 为 定 值 ？ 若 存 在 ， 求 的 值 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 .解 析 ： (1)通 过 e= 、 =-1， 计 算 即 得 a=2、 b= ， 进 而 可 得 结 论 .(2)分 情 况 对 直 线 A

26、B 斜 率 的 存 在 性 进 行 讨 论 ： 当 直 线 AB 的 斜 率 存 在 时 ， 联 立 直 线 AB 与 椭圆 方 程 ， 利 用 韦 达 定 理 计 算 可 得 当 =1 时 + =-3； 当 直 线 AB的 斜 率 不 存在 时 ， + =-3.答 案 ： (1)根 据 题 意 ， 可 得 C(0， -b)， D(0， b)，又 P(0， 1)， 且 =-1， ， 解 得 a=2， b= ， 椭 圆 E 的 方 程 为 ： + =1；(2)结 论 ： 存 在 常 数 =1， 使 得 + 为 定 值 -3.理 由 如 下 ：对 直 线 AB 斜 率 的 存 在 性 进 行 讨

27、论 ： 当 直 线 AB的 斜 率 存 在 时 ， 设 直 线 AB的 方 程 为 y=kx+1，A(x 1， y1)， B(x2， y2)，联 立 ， 消 去 y并 整 理 得 ： (1+2k2)x2+4kx-2=0， =(4k)2+8(1+2k2) 0， x 1+x2= ， x1x2= ，从 而 + =x1x2+y1y2+ x1x2+(y1-1)(y2-1)=(1+ )(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=- - -2. 当 =1 时 ， - - -2=-3， 此 时 + =-3为 定 值 ； 当 直 线 AB的 斜 率 不 存 在 时 ， 直 线 AB即 为 直 线 CD，此 时

28、+ = + =-2-1=-3；故 存 在 常 数 =1， 使 得 + 为 定 值 -3.21.已 知 函 数 f(x)=-2xlnx+x 2-2ax+a2， 其 中 a 0.(1)设 g(x)是 f(x)的 导 函 数 ， 讨 论 g(x)的 单 调 性 .(2)证 明 ： 存 在 a (0， 1)， 使 得 f(x) 0 恒 成 立 ， 且 f(x)=0在 区 间 (1， + )内 有 唯 一 解 .解 析 ： (1)函 数 f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2， 其 中 a 0.可 得 ： x 0.g(x)=f (x)=2(x-1-lnx-a)，可 得 g (x)= ， 分 别 解

29、出 g (x) 0， g (x) 0， 即 可 得 出 单 调 性 . (2)由 f (x)=2(x-1-lnx-a)=0， 可 得 a=x-1-lnx， 代 入 f(x)可 得 ： u(x)=(1+lnx)2-2xlnx，利 用 函 数 零 点 存 在 定 理 可 得 ： 存 在 x0 (1， e)， 使 得 u(x0)=0， 令 a0=x0-1-lnx0=v(x0)， 再 利用 导 数 研 究 其 单 调 性 即 可 得 出 .答 案 ： (1)解 ： 函 数 f(x)=-2xlnx+x2-2ax+a2， 其 中 a 0.可 得 ： x 0.g(x)=f (x)=2(x-1-lnx-a)，

30、 g (x)= ，当 0 x 1时 ， g (x) 0， 函 数 g(x)单 调 递 减 ；当 1 x 时 ， g (x) 0， 函 数 g(x)单 调 递 增 .(2)证 明 ： 由 f (x)=2(x-1-lnx-a)=0， 解 得 a=x-1-lnx，令 u(x)=-2xlnx+x 2-2(x-1-lnx)x+(x-1-lnx)2=(1+lnx)2-2xlnx，则 u(1)=1 0， u(e)=2(2-e) 0， 存 在 x0 (1， e)， 使 得 u(x0)=0，令 a0=x0-1-lnx0=v(x0)， 其 中 v(x)=x-1-lnx(x 1)，由 v (x)=1- 0， 可 得

31、 ： 函 数 v(x)在 区 间 (1， + )上 单 调 递 增 . 0=v(1) a 0=v(x0) v(e)=e-2 1， 即 a0 (0， 1)， 当 a=a0时 ， 有 f (x0)=0， f(x0)=u(x0)=0.再 由 (I)可 知 ： f (x)在 区 间 (1， + )上 单 调 递 增 ，当 x (1， x0)时 ， f (x) 0， f(x) f(x0)=0；当 x (x0， + )时 ， f (x) 0， f(x) f(x0)=0；又 当 x (0， 1， f(x)= -2xlnx 0.故 当 x (0， + )时 ， f(x) 0 恒 成 立 .综 上 所 述 ： 存 在 a (0， 1)， 使 得 f(x) 0恒 成 立 ， 且 f(x)=0在 区 间 (1， + )内 有 唯 一 解 .