2013年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理数-含答案.docx

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1、绝 密 启 用 前2013 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 陕 西 卷 ）理 科 数 学注 意 事 项 :1. 本 试 卷 分 为 两 部 分 , 第 一 部 分 为 选 择 题 , 第 二 部 分 为 非 选 择 题 .2. 考 生 领 到 试 卷 后 , 须 按 规 定 在 试 卷 上 填 写 姓 名 、 准 考 证 号 ， 并 在 答 题 卡 上 填 涂 对 应 的 试 卷 类 型信 息 .3. 所 有 解 答 必 须 填 写 在 答 题 卡 上 指 定 区 域 内 . 考 试 结 束 后 , 将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 .第 一 部

2、分 (共 50 分 ) 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设 全 集 为 R, 函 数 2( ) 1f x x 的 定 义 域 为 M, 则 C MR 为(A) 1,1 (B)( 1,1)(C) , 1 1, )( (D) , 1) (1, )( 2. 根 据 下 列 算 法 语 句 , 当 输 入 x 为 60时 , 输 出 y 的 值 为(A)25(B)30(C)31(D)613. 设 a, b 为 向 量 , 则 “| | | | |a ab b ”是 “a/b”的 (A) 充 分 不 必 要 条 件 (B) 必 要

3、 不 充 分 条 件(C) 充 分 必 要 条 件 (D) 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件4. 某 单 位 有 840名 职 工 , 现 采 用 系 统 抽 样 方 法 抽 取 42人 做 问 卷 调 查 , 将 840人 按 1,2,840随 机 编号 , 则 抽 取 的 42人 中 , 编 号 落 入 区 间 481,720的 人 数 为(A)11 (B)12 (C)13 (D)145. 如 图 , 在 矩 形 区 域 ABCD 的 A, C 两 点 处 各 有 一 个 通 信 基 站 , 假 设 其 信 号 覆 盖 范 围 分 别 是 扇 形 区 域ADE 和 扇 形 区 域 C

4、BF(该 矩 形 区 域 内 无 其 他 信 号 来 源 , 基 站 工 作 正 常 ). 若 在 该 矩 形 区 域 内 随 机 地 选 一地 点 , 则 该 地 点 无 信 号 的 概 率 是(A)1 4 (B) 12 (C) 2 2 (D) 4 6. 设 z1, z2是 复 数 , 则 下 列 命 题 中 的 假 命 题 是(A) 若 1 2| | 0zz , 则 1 2z z (B) 若 1 2z z , 则 1 2z z(C) 若 1 2z z , 则 21 1 2 z zz z (D) 若 1 2z z , 则 212 2z z7. 设 ABC 的 内 角 A, B, C 所 对

5、的 边 分 别 为 a, b, c, 若 cos cos sinb C c B a A , 则 ABC 的 形 状 为(A) 锐 角 三 角 形 (B) 直 角 三 角 形 (C) 钝 角 三 角 形 (D) 不 确 定 输 入 xIf x 50Theny=0.5* xElsc y=25+0.6*(x-50)End If输 出 y. 8. 设 函 数 61 , 00.,( ) ,x xf x xx x , 则 当 x0时 , ( )f f x 表 达 式 的 展 开 式 中 常 数 项 为(A) 20 (B)20 (C) 15 (D)159. 在 如 图 所 示 的 锐 角 三 角 形 空 地

6、 中 , 欲 建 一 个 面 积 不 小 于 300m2的 内 接 矩 形 花 园 (阴 影 部 分 ), 则 其 边长 x(单 位 :m)的 取 值 范 围 是(A)15,20 (B)12,25(C)10,30 (D)20,3010. 设 x表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 , 则 对 任 意 实 数 x, y, 有(A) x x (B)2x 2x(C)x yx y (D)x yx y 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双 曲 线 2 2 116x ym 的 离 心 率 为 54 , 则 m 等 于 .12. 某 几 何

7、 体 的 三 视 图 如 图 所 示 , 则 其 体 积 为 .13. 若 点 (x, y)位 于 曲 线 | 1|y x 与 y 2所 围 成 的 封 闭 区 域 , 则 2x y的 最小 值 为 .14. 观 察 下 列 等 式 :21 12 21 2 3 2 2 21 2 63 2 2 2 21 2 43 10 照 此 规 律 , 第 n 个 等 式 可 为 .15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分)A.(不 等 式 选 做 题 ) 已 知 a, b, m, n 均 为 正 数 , 且 a b 1, mn 2, 则 (am bn)(bm an)的

8、 最 小 值 为 .B.(几 何 证 明 选 做 题 ) 如 图 , 弦 AB与 CD相 交 于 O 内 一 点 E过 E 作 BC 的 平 行 线 与 AD 的 延 长 线 相 交 于 点 P. 已 知 PD 2DA 2, 则 PE .C.(坐 标 系 与 参 数 方 程 选 做 题 ) 如 图 , 以 过 原 点 的 直 线 的 倾 斜 角 为 参 数 , 则圆 2 2 0y xx 的 参 数 方 程 为 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题， 共75分）16.(本 小 题 满 分 12分 )已 知 向 量 1(cos , ), ( 3sin ,cos2 )

9、,2x x x x a b R, 设 函 数 ( ) f x a b .( ) 求 f (x)的 最 小 正 周 期 ； ( ) 求 f (x) 在 0,2 上 的 最 大 值 和 最 小 值 .17.(本 小 题 满 分 12分 )设 na 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 .( ) 推 导 na 的 前 n 项 和 公 式 ;( ) 设 q1, 证 明 数 列 1na 不 是 等 比 数 列 . 18.(本 小 题 满 分 12分 )如 图 , 四 棱 柱 ABCD A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 正 方 形 , O 为 底 面 中 心 , A1O 平 面 ABCD,1

10、2AB AA .( ) 证 明 : A 1C 平 面 BB1D1D;( ) 求 平 面 OCB1与 平 面 BB1D1D 的 夹 角 的 大 小 .19.(本 小 题 满 分 12分 )在 一 场 娱 乐 晚 会 上 , 有 5 位 民 间 歌 手 (1 至 5 号 )登 台 演 唱 , 由 现 场 数 百 名 观 众 投 票 选 出 最 受 欢 迎 歌 手 .各 位 观 众 须 彼 此 独 立 地 在 选 票 上 选 3名 歌 手 , 其 中 观 众 甲 是 1号 歌 手 的 歌 迷 , 他 必 选 1号 , 不 选 2号 , 另在 3至 5号 中 随 机 选 2名 . 观 众 乙 和 丙

11、对 5位 歌 手 的 演 唱 没 有 偏 爱 , 因 此 在 1至 5号 中 随 机 选 3名 歌 手 .( ) 求 观 众 甲 选 中 3号 歌 手 且 观 众 乙 未 选 中 3号 歌 手 的 概 率 ;( ) X 表 示 3号 歌 手 得 到 观 众 甲 、 乙 、 丙 的 票 数 之 和 , 求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 . 20.(本 小 题 满 分 13分 )已 知 动 圆 过 定 点 A(4,0), 且 在 y 轴 上 截 得 的 弦 MN 的 长 为 8.( ) 求 动 圆 圆 心 的 轨 迹 C 的 方 程 ;( ) 已 知 点 B( 1,0), 设 不 垂 直

12、 于 x 轴 的 直 线 l 与 轨 迹 C 交 于 不 同 的 两 点 P, Q, 若 x 轴 是 PBQ 的角 平 分 线 , 证 明 直 线 l 过 定 点 .21.(本 小 题 满 分 14分 )已 知 函 数 ( ) e ,xf x x R.( ) 若 直 线 y kx 1与 f (x)的 反 函 数 的 图 像 相 切 , 求 实 数 k 的 值 ;( ) 设 x0, 讨 论 曲 线 y f (x) 与 曲 线 2( 0)y mx m 公 共 点 的 个 数 . ( ) 设 a0,（ III） 2 22 22 20 444 em y mxem y mxem y mx 若 ， 曲 线

13、 y=(x)与 没 有 公 共 点 ；若 时 ， 曲 线 y=(x)与 有 一 个 公 共 点 ；若 时 ， 曲 线 y=(x)与 有 两 个 公 共 点 . 2 ( ) ( ) ( ) ( )III .2( ) ( ) ( ) ( )2 2212 221 ( ).(*)2 12 1( 0),2 11 2 2 ( 1) a b b ab a ab a b ab ax xx f a f b f b f ab af a f b f b f a e e e eb a b ab a e e b a ee e e eb a b aex xe ee （ ） 解 法 一 ： 可 以 证 明 事 实 上 ，令

14、 （ x） =则 （ x） = 2 22 2( 1) 4 ( 1) 0( 0 ).2( 1) 2( 1)x x xx xe e e xe e 仅 当 时 等 号 成 立 0,0 x （ x） 在 上 单 调 递 增 ，时 ， （ x） （ 0） =0.令 x=b-a,即 得 （ *） 式 ， 结 论 得 证 . ( ) ( ) ( ) ( )22 2 22( )( ) ( ) 2 2 ,2( )( ) 2 2( 0),( ) 1 2 , 2 0( 0 )b a b ab a b a b aa b a b a x xx x x x x x x xf a f b f b f ab ae e e eb abe be ae ae e eb ae b a e b a eb a x xe x e xx e xe ex x x e e xe e xe x 解 法 二设 函 数则令 h = ,则 h = 仅 当 时 等 号 成 立 ，( )0 ( ) (0) 0, ( )0 ( ) (0) 0., ( ) ( ) 2 2 0,0,2 ( ) ( ) ( ) ( ), .2 b a b ab a b axx x xx xx b a b a e b a ee e e eb af a f b f b f ab a 单 调 递 增 ，当 时 , 单 调 递 增 .当 时 ,令 则 得因 此