2013年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学文及答案解析.docx

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1、2013年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 浙 江 卷 ） 数 学 文一 、 选 择 题 ： 本 大 题 共 10小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 50分 .1.(5分 )设 集 合 S=x|x -2， T=x|-4 x 1， 则 S T=( )A.-4， + )B.(-2， + )C.-4， 1D.(-2， 1解 析 ： 集 合 S=x|x -2=(-2， + )， T=x|-4 x 1=-4， 1， S T=(-2， 1.答 案 ： D 2.(5分 )已 知 i是 虚 数 单 位 ， 则 (2+i)(3+i)=( )A.5-5iB.7-5iC.5+5iD.

2、7+5i解 析 ： 复 数 (2+i)(3+i)=6+5i+i2=5+5i.答 案 ： C.3.(5分 )若 R， 则 “ =0” 是 “ sin cos ” 的 ( )A.充 分 不 必 要 条 件B.必 要 不 充 分 条 件C.充 分 必 要 条 件D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 解 析 ： “ =0” 可 以 得 到 “ sin cos ” ，当 “ sin cos ” 时 ， 不 一 定 得 到 “ =0” ， 如 = 等 ， “ =0” 是 “ sin cos ” 的 充 分 不 必 要 条 件 ，答 案 ： A.4.(5分 )设 m、 n 是 两 条 不 同 的 直

3、线 ， 、 是 两 个 不 同 的 平 面 ， 则 下 列 命 题 正 确 的 是 ( )A.若 m ， n ， 则 m nB.若 m ， m ， 则 C.若 m n， m ， 则 n D.若 m ， ， 则 m 解 析 ： A、 m ， n ， 则 m n， m 与 n 可 能 相 交 也 可 能 异 面 ， 所 以 A 不 正 确 ；B、 m ， m ， 则 ， 还 有 与 可 能 相 交 ， 所 以 B 不 正 确 ； C、 m n， m ， 则 n ， 满 足 直 线 与 平 面 垂 直 的 性 质 定 理 ， 故 C 正 确 .D、 m ， ， 则 m ， 也 可 能 m ， 也 可

4、 能 m =A， 所 以 D不 正 确 ；答 案 ： C.5.(5分 )已 知 某 几 何 体 的 三 视 图 (单 位 ： cm)如 图 所 示 ， 则 该 几 何 体 的 体 积 是 ( ) A.108cm3B.100cm3C.92cm3D.84cm3解 析 ： 由 三 视 图 可 知 ： 该 几 何 体 是 一 个 棱 长 分 别 为 6， 6， 3， 砍 去 一 个 三 条 侧 棱 长 分 别 为 4，4， 3 的 一 个 三 棱 锥 (长 方 体 的 一 个 角 ). 该 几 何 体 的 体 积 V=6 6 3- =100.答 案 ： B.6.(5分 )函 数 f(x)=sinxco

5、sx+ cos2x的 最 小 正 周 期 和 振 幅 分 别 是 ( )A. ， 1B. ， 2C.2 ， 1D.2 ， 2解 析 ： f(x)= sin2x+ cos2x=sin(2x+ )， -1 sin(2x+ ) 1， 振 幅 为 1， =2， T= . 答 案 ： A7.(5分 )已 知 a、 b、 c R， 函 数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4) f(1)， 则 ( )A.a 0， 4a+b=0B.a 0， 4a+b=0C.a 0， 2a+b=0D.a 0， 2a+b=0 解 析 ： 因 为 f(0)=f(4)， 即 c=16a+4b+c， 所 以 4a+b=0

6、；又 f(0) f(1)， 即 c a+b+c， 所 以 a+b 0， 即 a+(-4a) 0， 所 以 -3a 0， 故 a 0.答 案 ： A.8.(5分 )已 知 函 数 y=f(x)的 图 象 是 下 列 四 个 图 象 之 一 ， 且 其 导 函 数 y=f (x)的 图 象 如 图 所示 ， 则 该 函 数 的 图 象 是 ( ) A.B.C. D.解 析 ： 由 导 数 的 图 象 可 得 ， 导 函 数 f (x)的 值 在 -1， 0上 的 逐 渐 增 大 ，故 函 数 f(x)在 -1， 0上 增 长 速 度 逐 渐 变 大 ， 故 函 数 f(x)的 图 象 是 下 凹

7、型 的 .导 函 数 f (x)的 值 在 0， 1上 的 逐 渐 减 小 ，故 函 数 f(x)在 0， 1上 增 长 速 度 逐 渐 变 小 ， 图 象 是 上 凸 型 的 ，答 案 ： B.9.(5分 )如 图 F 1、 F2是 椭 圆 C1： +y2=1 与 双 曲 线 C2的 公 共 焦 点 A、 B分 别 是 C1、 C2在 第 二 、四 象 限 的 公 共 点 ， 若 四 边 形 AF1BF2为 矩 形 ， 则 C2的 离 心 率 是 ( ) A.B.C.D.解 析 ： 设 |AF 1|=x， |AF2|=y， 点 A 为 椭 圆 C1： +y2=1 上 的 点 ， 2a=4，

8、b=1， c= ； |AF1|+|AF2|=2a=4， 即 x+y=4； 又 四 边 形 AF1BF2为 矩 形 ， + = ， 即 x2+y2=(2c)2= =12， 由 得 ： ， 解 得 x=2- ， y=2+ ， 设 双 曲 线 C 2的 实 轴 长 为 2a， 焦 距 为 2c，则 2m=|AF2|-|AF1|=y-x=2 ， 2n=2 =2 ， 双 曲 线 C2的 离 心 率 e= = = .答 案 ： D.10.(5分 )设 a， b R， 定 义 运 算 “ ” 和 “ ” 如 下 ：a b= a b=若 正 数 a、 b、 c、 d 满 足 ab 4， c+d 4， 则 (

9、)A.a b 2， c d 2B.a b 2， c d 2 C.a b 2， c d 2D.a b 2， c d 2解 析 ： a b= ， a b= ， 正 数 a、 b、 c、 d 满 足 ab 4， c+d 4， 不 妨 令 a=1， b=4， 则 a b 2 错 误 ， 故 可 排 除 A， B；再 令 c=1， d=1， 满 足 条 件 c+d 4， 但 不 满 足 c d 2， 故 可 排 除 D；答 案 ： C.二 、 填 空 题 ： 本 大 题 共 7 小 题 ， 每 小 题 4 分 ， 共 28分 .11.(4分 )已 知 函 数 f(x)= ， 若 f(a)=3， 则 实

10、数 a= . 解 析 ： 因 为 函 数 f(x)= ， 又 f(a)=3， 所 以 ， 解 得 a=10.答 案 ： 10.12.(4分 )从 三 男 三 女 6 名 学 生 中 任 选 2名 (每 名 同 学 被 选 中 的 概 率 均 相 等 )， 则 2名 都 是 女同 学 的 概 率 等 于 .解 析 ： 从 6名 学 生 中 任 选 2 名 共 有 =15种 情 况 ， 满 足 2名 都 是 女 同 学 的 共 有 =3 种 情况 ，故 所 求 的 概 率 为 ： =答 案 ： 13.(4分 )直 线 y=2x+3被 圆 x2+y2-6x-8y=0所 截 得 的 弦 长 等 于 .

11、解 析 ： 圆 x2+y2-6x-8y=0 的 圆 心 坐 标 (3， 4)， 半 径 为 5， 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ：，因 为 圆 心 距 ， 半 径 ， 半 弦 长 满 足 勾 股 定 理 ，所 以 直 线 y=2x+3被 圆 x2+y2-6x-8y=0所 截 得 的 弦 长 为 ： 2 =4 .答 案 ： 4 .14.(4分 )某 程 序 框 图 如 图 所 示 ， 则 该 程 序 运 行 后 输 出 的 值 等 于 . 解 析 ： 由 题 意 可 知 ， 该 程 序 的 作 用 是 求 解 S=1+ + + + 的 值 . 而 S=1+ + + + =1+1- + -

12、+ - + - = .答 案 ： .15.(4分 )设 z=kx+y， 其 中 实 数 x、 y 满 足 若 z 的 最 大 值 为 12， 则 实 数k= .解 析 ： 作 出 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域 ， 得 到 如 图 的 ABC及 其 内 部 ， 其 中 A(2， 0)， B(2， 3)， C(4， 4)设 z=F(x， y)=kx+y， 将 直 线 l： z=kx+y进 行 平 移 ， 可 得 当 k 0 时 ， 直 线 l 的 斜 率 -k 0，由 图 形 可 得 当 l经 过 点 B(2， 3)或 C(4， 4)时 ， z可 达 最 大 值 ，此 时 ， zma

13、x=F(2， 3)=2k+3或 zmax=F(4， 4)=4k+4但 由 于 k 0， 使 得 2k+3 12且 4k+4 12， 不 能 使 z的 最 大 值 为 12，故 此 种 情 况 不 符 合 题 意 ； 当 k 0 时 ， 直 线 l 的 斜 率 -k 0，由 图 形 可 得 当 l经 过 点 C时 ， 目 标 函 数 z 达 到 最 大 值此 时 z max=F(4， 4)=4k+4=12， 解 之 得 k=2， 符 合 题 意综 上 所 述 ， 实 数 k 的 值 为 2答 案 ： 216.(4分 )设 a， b R， 若 x 0 时 恒 有 0 x4-x3+ax+b (x2-

14、1)2， 则 ab 等 于 .解 析 ： 验 证 发 现 ，当 x=1时 ， 将 1代 入 不 等 式 有 0 a+b 0， 所 以 a+b=0，当 x=0时 ， 可 得 0 b 1， 结 合 a+b=0可 得 -1 a 0，令 f(x)=x 4-x3+ax+b， 即 f(1)=a+b=0，又 f (x)=4x3-3x2+a， f (x)=12x2-6x，令 f (x) 0， 可 得 x ， 则 f (x)=4x3-3x2+a在 0， 上 减 ， 在 ， + )上 增又 -1 a 0， 所 以 f (0)=a 0， f (1)=1+a 0. 又 x 0 时 恒 有 0 x4-x3+ax+b，

15、结 合 f(1)=a+b=0知 ， 1 必 为 函 数 f(x)=x4-x3+ax+b 的 极 小 值点 ， 也 是 最 小 值 点 .故 有 f (1)=1+a=0， 由 此 得 a=-1， b=1，故 ab=-1.答 案 ： -117.(4分 )设 、 为 单 位 向 量 ， 非 零 向 量 =x +y ， x、 y R.若 、 的 夹 角 为30 ， 则 的 最 大 值 等 于 .解 析 ： 、 为 单 位 向 量 ， 和 的 夹 角 等 于 30 ， =1 1 cos30 = . 非 零 向 量 =x +y ， | |= = = ， = = = = ，故 当 =- 时 ， 取 得 最

16、大 值 为 2，答 案 ： 2.三 、 解 答 题 ： 本 大 题 共 5 小 题 ， 共 72分 .解 答 应 写 出 文 字 说 明 、 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 .18.(14分 )在 锐 角 ABC 中 ， 内 角 A， B， C 的 对 边 分 别 为 a， b， c， 且 2asinB= b.( )求 角 A的 大 小 ；( )若 a=6， b+c=8， 求 ABC的 面 积 .解 析 ： ( )利 用 正 弦 定 理 化 简 已 知 等 式 ， 求 出 sinA 的 值 ， 由 A 为 锐 角 ， 利 用 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 求 出 A 的 度

17、数 ；( )由 余 弦 定 理 列 出 关 系 式 ， 再 利 用 完 全 平 方 公 式 变 形 ， 将 a， b+c 及 cosA的 值 代 入 求 出bc的 值 ， 再 由 sinA的 值 ， 利 用 三 角 形 面 积 公 式 即 可 求 出 三 角 形 ABC的 面 积 .答 案 ： ( )由 2asinB= b， 利 用 正 弦 定 理 得 ： 2sinAsinB= sinB， sinB 0， sinA= ， 又 A为 锐 角 ， 则 A= ；( )由 余 弦 定 理 得 ： a2=b2+c2-2bc cosA， 即 36=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc=64-3bc， b

18、c= ， 又 sinA= ， 则 S ABC= bcsinA= .19.(14分 )在 公 差 为 d 的 等 差 数 列 an中 ， 已 知 a1=10， 且 a1， 2a2+2， 5a3成 等 比 数 列 .( )求 d， an；( )若 d 0， 求 |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|.解 析 ： ( )直 接 由 已 知 条 件 a1=10， 且 a1， 2a2+2， 5a3成 等 比 数 列 列 式 求 出 公 差 ， 则 通 项 公式 a n可 求 ；( )利 用 ( )中 的 结 论 ， 得 到 等 差 数 列 an的 前 11 项 大 于 等 于 0， 后 面 的 项

19、小 于 0， 所 以 分类 讨 论 求 d 0 时 |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|的 和 . 答 案 ： ( )由 题 意 得 ， 即 ，整 理 得 d2-3d-4=0.解 得 d=-1 或 d=4.当 d=-1时 ， an=a1+(n-1)d=10-(n-1)=-n+11.当 d=4时 ， an=a1+(n-1)d=10+4(n-1)=4n+6.所 以 an=-n+11 或 an=4n+6；( )设 数 列 an的 前 n 项 和 为 Sn， 因 为 d 0， 由 ( )得 d=-1， an=-n+11.则 当 n 11时 ， .当 n 12 时 ， |a 1|+|a2|+|a3

20、|+ +|an|=-Sn+2S11= .综 上 所 述 ， |a1|+|a2|+|a3|+ +|an|= .20.(15分 )如 图 ， 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA 面 ABCD， AB=BC=2， AD=CD= ， PA= ， ABC=120 ， G为 线 段 PC上 的 点 . ( )证 明 ： BD 平 面 PAC；( )若 G 是 PC 的 中 点 ， 求 DG与 PAC所 成 的 角 的 正 切 值 ；( )若 G 满 足 PC 面 BGD， 求 的 值 .解 析 ： ( )由 PA 面 ABCD， 可 得 PA BD； 设 AC与 BD的 交 点 为 O， 则 由 条

21、 件 可 得 BD是 AC的 中 垂 线 ， 故 O为 AC的 中 点 ， 且 BD AC.再 利 用 直 线 和 平 面 垂 直 的 判 定 定 理 证 得 BD 面 PAC.( )由 三 角 形 的 中 位 线 性 质 以 及 条 件 证 明 DGO为 DG与 平 面 PAC所 成 的 角 ， 求 出 GO和 AC的 值 ， 可 得 OC、 OD 的 值 ， 再 利 用 直 角 三 角 形 中 的 边 角 关 系 求 得 tan DGO的 值 .( )先 证 PC OG， 且 PC= = .由 COG CAP， 可 得 ， 解 得 GC 的 值 ，可 得 PG=PC-GC 的 值 ， 从

22、而 求 得 的 值 .答 案 ： ( ) 在 四 棱 锥 P-ABCD中 ， PA 面 ABCD， PA BD. AB=BC=2， AD=CD= ， 设 AC与 BD的 交 点 为 O， 则 BD是 AC的 中 垂 线 ， 故 O 为 AC 的 中 点 ，且 BD AC.而 PA AC=A， BD 面 PAC.( )若 G 是 PC 的 中 点 ， O 为 AC 的 中 点 ， 则 GO 平 行 且 等 于 PA， 故 由 PA 面 ABCD， 可 得 GO面 ABCD， GO OD， 故 OD 平 面 PAC， 故 DGO为 DG与 平 面 PAC 所 成 的 角 .由 题 意 可 得 ，

23、GO= PA= . ABC中 ， 由 余 弦 定 理 可 得 AC 2=AB2+BC2-2AB BC cos ABC=4+4-2 2 2 cos120 =12， AC=2 ， OC= . 直 角 三 角 形 COD中 ， OD= =2， 直 角 三 角 形 GOD 中 ， tan DGO= = .( )若 G 满 足 PC 面 BGD， OG平 面 BGD， PC OG， 且 PC= = .由 COG CAP， 可 得 ， 即 ， 解 得 GC= ， PG=PC-GC= - = ， = = . 21.(15分 )已 知 a R， 函 数 f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax( )若 a=

24、1， 求 曲 线 y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 方 程 ；( )若 |a| 1， 求 f(x)在 闭 区 间 0， |2a|上 的 最 小 值 .解 析 ： ( )求 导 函 数 ， 确 定 切 线 的 斜 率 ， 求 出 切 点 的 坐 标 ， 即 可 求 曲 线 y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 方 程 ；( )分 类 讨 论 ， 利 用 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性 ， 从 而 可 得 极 值 ， 即 可 得 到 最 值 .答 案 ： ( )当 a=1时 ， f (x)=6x2-12x+6， 所 以 f (2)=6 f(2)=4， 曲 线

25、 y=f(x)在 点 (2， f(2)处 的 切 线 方 程 为 y=6x-8；( )记 g(a)为 f(x)在 闭 区 间 0， |2a|上 的 最 小 值 .f (x)=6x 2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a)令 f (x)=0， 得 到 x1=1， x2=a当 a 1 时 ，比 较 f(0)=0和 f(a)=a 2(3-a)的 大 小 可 得 g(a)= ；当 a -1 时 ， g(a)=3a-1， f(x)在 闭 区 间 0， |2a|上 的 最 小 值 为 g(a)= .22.(14分 )已 知 抛 物 线 C的 顶 点 为 O(0， 0)， 焦 点 F(0， 1) (

26、 )求 抛 物 线 C的 方 程 ；( )过 F 作 直 线 交 抛 物 线 于 A、 B 两 点 .若 直 线 OA、 OB分 别 交 直 线 l： y=x-2于 M、 N 两 点 ，求 |MN|的 最 小 值 .解 析 ： (I)由 抛 物 线 的 几 何 性 质 及 题 设 条 件 焦 点 F(0， 1)可 直 接 求 得 p， 确 定 出 抛 物 线 的 开 口方 向 ， 写 出 它 的 标 准 方 程 ；(II)由 题 意 ， 可 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直 线 AB的 方 程 为 y=kx+1， 将 直 线 方 程 与 (I)中 所 求得 方 程 联 立 ， 再

27、 结 合 弦 长 公 式 用 所 引 入 的 参 数 表 示 出 |MN|， 根 据 所 得 的 形 式 作 出 判 断 ， 即 可求 得 最 小 值 .答 案 ： (I)由 题 意 可 设 抛 物 线 C 的 方 程 为 x 2=2py(p 0)则 =1， 解 得 p=2， 故 抛 物 线 C 的 方程 为 x2=4y.(II)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 直 线 AB的 方 程 为 y=kx+1，由 消 去 y， 整 理 得 x2-4kx-4=0，所 以 x 1+x2=4k， x1x2=-4， 从 而 有 |x1-x2|= =4 ，由 解 得 点 M 的 横 坐 标 为 xM= = = ，同 理 可 得 点 N 的 横 坐 标 为 x N= ， 所 以|MN|= |xM-xN|= | - |=8 | |= ，令 4k-3=t， t 不 为 0， 则 k= ，当 t 0 时 ， |MN|=2 2 ，当 t 0 时 ， |MN|=2 =2 ， 综 上 所 述 ， 当 t=- 时 ， |MN|的 最 小 值 是 .