2014年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学理及答案解析.docx

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1、2014年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 （ 上 海 卷 ） 数 学 理一 、 填 空 题 (每 题 4 分 ， 共 14题 ， 满 分 56分 )1.函 数 y=1-2cos2(2x)的 最 小 正 周 期 是 .解 析 ： y=1-2cos2(2x)=-2cos2(2x)-1=-cos4x， 函 数 的 最 小 正 周 期 为 T= =答 案 ：2.若 复 数 z=1+2i， 其 中 i是 虚 数 单 位 ， 则 (z+ ) = . 解 析 ： 复 数 z=1+2i， 其 中 i 是 虚 数 单 位 ，则 (z+ ) = =(1+2i)(1-2i)+1=1-4i2

2、+1=2+4=6.答 案 ： 63.若 抛 物 线 y2=2px的 焦 点 与 椭 圆 + =1 的 右 焦 点 重 合 ， 则 该 抛 物 线 的 准 线 方 程为 .解 析 ： 由 题 意 椭 圆 + =1， 故 它 的 右 焦 点 坐 标 是 (2， 0)， 又 y2=2px(p 0)的 焦 点 与 椭 圆 + =1的 右 焦 点 重 合 ， 故 p=4， 抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x=-2.答 案 ： x=-24.设 f(x)= ， 若 f(2)=4， 则 a 的 取 值 范 围 为 .解 析 ： 当 a 2 时 ， f(2)=2 4， 不 合 题 意 ；当 a=2时 ， f

3、(2)=2 2=4， 符 合 题 意 ；当 a 2 时 ， f(2)=22=4， 符 合 题 意 ； a 2，答 案 ： (- ， 2.5.若 实 数 x， y 满 足 xy=1， 则 x2+2y2的 最 小 值 为 .解 析 ： xy=1， y= ， x2+2y2=x2+ 2 =2 ， 当 且 仅 当 x2= ， 即 x= 时 取 等 号 ，答 案 ： 26.若 圆 锥 的 侧 面 积 是 底 面 积 的 3 倍 ， 则 其 母 线 与 底 面 角 的 大 小 为 (结 果 用 反 三 角 函 数值 表 示 ).解 析 ： 设 圆 锥 母 线 与 轴 所 成 角 为 ， 圆 锥 的 侧 面

4、积 是 底 面 积 的 3倍 ， = =3，即 圆 锥 的 母 线 是 圆 锥 底 面 半 径 的 3倍 ，故 圆 锥 的 轴 截 面 如 下 图 所 示 ： 则 cos = = ， =arccos ，答 案 ： arccos7.已 知 曲 线 C 的 极 坐 标 方 程 为 (3cos -4sin )=1， 则 C 与 极 轴 的 交 点 到 极 点 的 距 离是 .解 析 ： 由 题 意 ， =0， 可 得 (3cos0-4sin0)=1， C与 极 轴 的 交 点 到 极 点 的 距 离 是 = .答 案 ： .8.设 无 穷 等 比 数 列 a n的 公 比 为 q， 若 a1= (a

5、3+a4+ an)， 则 q= .解 析 ： 无 穷 等 比 数 列 an的 公 比 为 q，a1= (a3+a4+ an)= ( -a1-a1q)= ， q2+q-1=0， 解 得 q= 或 q= (舍 ).答 案 ： .9.若 f(x)= - ， 则 满 足 f(x) 0 的 x 的 取 值 范 围 是 . 解 析 ： f(x)= - ， 若 满 足 f(x) 0， 即 ， ， y= 是 增 函 数 ， 的 解 集 为 ： (0， 1).答 案 ： (0， 1).10.为 强 化 安 全 意 识 ， 某 商 场 拟 在 未 来 的 连 续 10 天 中 随 机 选 择 3天 进 行 紧 急

6、 疏 散 演 练 ， 则 选择 的 3天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是 (结 果 用 最 简 分 数 表 示 ).解 析 ： 在 未 来 的 连 续 10 天 中 随 机 选 择 3 天 共 有 种 情 况 ，其 中 选 择 的 3 天 恰 好 为 连 续 3天 的 情 况 有 8种 ， 选 择 的 3天 恰 好 为 连 续 3 天 的 概 率 是 ， 答 案 ： .11.已 知 互 异 的 复 数 a， b满 足 ab 0， 集 合 a， b=a2， b2， 则 a+b= .解 析 ： 根 据 集 合 相 等 的 条 件 可 知 ， 若 a， b=a2， b2， 则 或 ，由

7、得 ， ab 0， a 0 且 b 0， 即 a=1， b=1， 此 时 集 合 1， 1不 满 足 条 件 .若 b=a 2， a=b2， 则 两 式 相 减 得 a2-b2=b-a， 互 异 的 复 数 a， b， b-a 0， 即 a+b=-1，答 案 ： -1.12.设 常 数 a 使 方 程 sinx+ cosx=a在 闭 区 间 0， 2 上 恰 有 三 个 解 x1， x2， x3， 则x1+x2+x3= .解 析 ： sinx+ cosx=2( sinx+ cosx)=2sin(x+ )=a，如 图 方 程 的 解 即 为 直 线 与 三 角 函 数 图 象 的 交 点 ， 在

8、 0， 2 上 ， 当 a= 时 ， 直 线 与 三 角 函数 图 象 恰 有 三 个 交 点 ，令 sin(x+ )= ， x+ =2k + ， 即 x=2k ， 或 x+ =2k + ， 即 x=2k + ， 此 时 x1=0， x2= ， x3=2 ， x1+x2+x3=0+ +2 = .答 案 ： 13.某 游 戏 的 得 分 为 1， 2， 3， 4， 5， 随 机 变 量 表 示 小 白 玩 该 游 戏 的 得 分 ， 若 E( )=4.2，则 小 白 得 5分 的 概 率 至 少 为 .解 析 ： 设 小 白 得 5 分 的 概 率 至 少 为 x，则 由 题 意 知 小 白 得

9、 4分 的 概 率 为 1-x， 某 游 戏 的 得 分 为 1， 2， 3， 4， 5， 随 机 变 量 表 示 小 白 玩 该 游 戏 的 得 分 ， E( )=4.2， 4(1-x)+5x=4.2， 解 得 x=0.2.答 案 ： 0.2.14.已 知 曲 线 C： x=- ， 直 线 l： x=6， 若 对 于 点 A(m， 0)， 存 在 C 上 的 点 P 和 l 上 的Q使 得 + = ， 则 m的 取 值 范 围 为 . 解 析 ： 曲 线 C： x=- ， 是 以 原 点 为 圆 心 ， 2 为 半 径 的 圆 ， 并 且 xP -2， 0，对 于 点 A(m， 0)， 存

10、在 C上 的 点 P和 l上 的 Q 使 得 + = ，说 明 A是 PQ的 中 点 ， Q 的 横 坐 标 x=6， m= 2， 3.答 案 ： 2， 3.二 、 选 择 题 (共 4 题 ， 满 分 20分 )每 题 有 且 只 有 一 个 正 确 答 案 ， 选 对 得 5 分 ， 否 则 一 律 得 零分15.设 a， b R， 则 “ a+b 4” 是 “ a 2 且 b 2” 的 ( )A.充 分 非 必 要 条 件 B.必 要 非 充 分 条 件C.充 要 条 件D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件解 析 ： 当 a=5， b=0 时 ， 满 足 a+b 4， 但 a 2

11、且 b 2 不 成 立 ， 即 充 分 性 不 成 立 ，若 a 2 且 b 2， 则 必 有 a+b 4， 即 必 要 性 成 立 ，故 “ a+b 4” 是 “ a 2 且 b 2” 的 必 要 不 充 分 条 件 ，答 案 ： B. 16.如 图 ， 四 个 棱 长 为 1 的 正 方 体 排 成 一 个 正 四 棱 柱 ， AB 是 一 条 侧 棱 ， Pi(i=1， 2， 8)是 上底 面 上 其 余 的 八 个 点 ， 则 (i=1， 2， ， 8)的 不 同 值 的 个 数 为 ( )A.1B.2C.3 D.4解 析 ： 如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，则 A(2，

12、 0， 0)， B(2， 0， 1)， P 1(1， 0， 1)， P2(0， 0， 1)， P3(2， 1， 1)， P4(1， 1， 1)， P5(0，1， 1)， P6(2， 2， 1)， P7(1， 2， 1)， P8(0， 2， 1)， =(-1， 0， 1)， =(-2， 0， 1)， =(0， 1， 1)， =(-1，1， 1)， =(-2， 1， 1)， =(0， 2， 1)，=(-1， 2， 1)， =(-2， 2， 1)，易 得 =1(i=1， 2， ， 8)， (i=1， 2， ， 8)的 不 同 值 的 个 数 为 1，答 案 ： A.17.已 知 P 1(a1， b1

13、)与 P2(a2， b2)是 直 线 y=kx+1(k为 常 数 )上 两 个 不 同 的 点 ， 则 关 于 x 和 y 的方 程 组 的 解 的 情 况 是 ( )A.无 论 k， P1， P2如 何 ， 总 是 无 解B.无 论 k， P1， P2如 何 ， 总 有 唯 一 解 C.存 在 k， P1， P2， 使 之 恰 有 两 解D.存 在 k， P1， P2， 使 之 有 无 穷 多 解解 析 ： P1(a1， b1)与 P2(a2， b2)是 直 线 y=kx+1(k为 常 数 )上 两 个 不 同 的 点 ， 直 线 y=kx+1的 斜率 存 在 ， k= ， 即 a1 a2，

14、 并 且 b1=ka1+1， b2=ka2+1， a2b1-a1b2=ka1a2-ka1a2+a2-a1=a2-a1， b 2- b1得 ： (a2b1-a1b2)x=b2-b1， 即 (a2-a1)x=b2-b1. 方 程 组 有 唯 一 解 .答 案 ： B.18.设 f(x)= ， 若 f(0)是 f(x)的 最 小 值 ， 则 a 的 取 值 范 围 为 ( )A.-1， 2B.-1， 0C.1， 2D.0， 2解 析 ： 当 a 0 时 ， 显 然 f(0)不 是 f(x)的 最 小 值 ， 当 a 0 时 ， f(0)=a2， 由 题 意 得 ： a2 x+ +a 2+a，解 不

15、等 式 ： a2-a-2 0， 得 -1 a 2， 0 a 2，答 案 ： D.三 、 解 答 题 (共 5 题 ， 满 分 72分 )19.(12分 )底 面 边 长 为 2的 正 三 棱 锥 P-ABC， 其 表 面 展 开 图 是 三 角 形 P 1P2P3， 如 图 ， 求 P1P2P3的 各 边 长 及 此 三 棱 锥 的 体 积 V.解 析 ： 利 用 侧 面 展 开 图 三 点 共 线 ， 判 断 P 1P2P3是 等 边 三 角 形 ， 然 后 求 出 边 长 ， 利 用 正 四 面体 的 体 积 求 出 几 何 体 的 体 积 .答 案 ： 根 据 题 意 可 得 ： P1，

16、 B， P2共 线 ， ABP1= BAP1= CBP2， ABC=60 ， ABP1= BAP1= CBP2=60 ， P1=60 ， 同 理 P2= P3=60 ， P1P2P3是 等 边 三 角 形 ， P-ABC 是 正 四 面 体 ， P1P2P3的 边 长 为 4， VP-ABC= =20.(14分 )设 常 数 a 0， 函 数 f(x)= .(1)若 a=4， 求 函 数 y=f(x)的 反 函 数 y=f-1(x)；(2)根 据 a 的 不 同 取 值 ， 讨 论 函 数 y=f(x)的 奇 偶 性 ， 并 说 明 理 由 .解 析 ： (1)根 据 反 函 数 的 定 义

17、， 即 可 求 出 ，(2)利 用 分 类 讨 论 的 思 想 ， 若 为 偶 函 数 求 出 a 的 值 ， 若 为 奇 函 数 ， 求 出 a 的 值 ， 问 题 得 以 解决 .答 案 ： (1) a=4， ， ， 调 换 x， y 的 位 置 可 得 ， x (- ， -1) (1， + ).(2)若 f(x)为 偶 函 数 ， 则 f(x)=f(-x)对 任 意 x 均 成 立 ， = ， 整 理 可 得 a(2x-2-x)=0. 2x-2-x不 恒 为 0， a=0， 此 时 f(x)=1， x R， 满 足 条 件 ；若 f(x)为 奇 函 数 ， 则 f(x)=-f(-x)对

18、任 意 x均 成 立 ， =- ， 整 理 可 得 a 2-1=0， a= 1， a 0， a=1， 此 时 f(x)= ， 满 足 条 件 ；综 上 所 述 ， a=0时 ， f(x)是 偶 函 数 ， a=1 时 ， f(x)是 奇 函 数 .21.(14分 )如 图 ， 某 公 司 要 在 A、 B两 地 连 线 上 的 定 点 C 处 建 造 广 告 牌 CD， 其 中 D 为 顶 端 ，AC长 35米 ， CB长 80米 ， 设 点 A、 B 在 同 一 水 平 面 上 ， 从 A 和 B 看 D 的 仰 角 分 别 为 和 . (1)设 计 中 CD 是 铅 垂 方 向 ， 若 要

19、 求 2 ， 问 CD 的 长 至 多 为 多 少 (结 果 精 确 到 0.01米 )？(2)施 工 完 成 后 ， CD与 铅 垂 方 向 有 偏 差 ， 现 在 实 测 得 =38.12 ， =18.45 ， 求 CD 的 长 (结果 精 确 到 0.01 米 ).解 析 ： (1)设 CD的 长 为 x， 利 用 三 角 函 数 的 关 系 式 建 立 不 等 式 关 系 即 可 得 到 结 论 .(2)利 用 正 弦 定 理 ， 建 立 方 程 关 系 ， 即 可 得 到 结 论 .答 案 ： (1)设 CD的 长 为 x米 ， 则 tan = ， tan = ， 0 ， tan t

20、an2 ， tan ， 即 = ， 解 得 0 28.28，即 CD 的 长 至 多 为 28.28 米 .(2)设 DB=a， DA=b， CD=m， 则 ADB=180 - - =123.43 ，由 正 弦 定 理 得 ，即 a= ， m= 26.93， 答 ： CD的 长 为 26.93 米 .22.(16分 )在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 对 于 直 线 l： ax+by+c=0和 点 P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，记 =(ax1+by1+c)(ax2+by2+c)， 若 0， 则 称 点 P1， P2被 直 线 l分 隔 ， 若 曲 线 C 与 直 线

21、 l 没有 公 共 点 ， 且 曲 线 C上 存 在 点 P1、 P2被 直 线 l 分 隔 ， 则 称 直 线 l 为 曲 线 C 的 一 条 分 隔 线 .(1)求 证 ： 点 A(1， 2)， B(-1， 0)被 直 线 x+y-1=0分 隔 ；(2)若 直 线 y=kx是 曲 线 x2-4y2=1 的 分 隔 线 ， 求 实 数 k的 取 值 范 围 ；(3)动 点 M 到 点 Q(0， 2)的 距 离 与 到 y轴 的 距 离 之 积 为 1， 设 点 M 的 轨 迹 为 曲 线 E， 求 证 ： 通过 原 点 的 直 线 中 ， 有 且 仅 有 一 条 直 线 是 E 的 分 隔

22、线 .解 析 ： (1)把 A、 B 两 点 的 坐 标 代 入 =(ax 1+by1+c)(ax2+by2+c)， 再 根 据 0， 得 出 结 论 .(2)联 立 直 线 y=kx与 曲 线 x2-4y2=1可 得 (1-4k2)x2=1， 根 据 此 方 程 无 解 ， 可 得 1-4k2 0， 从而 求 得 k 的 范 围 .(3)设 点 M(x， y)， 与 条 件 求 得 曲 线 E的 方 程 为 x2+(y-2)2x2=1 .由 于 y轴 为 x=0， 显 然 与方 程 联 立 无 解 .把 P1、 P2的 坐 标 代 入 x=0， 由 =1 (-1)=-1 0， 可 得 x=0

23、是 一 条 分 隔 线 .答 案 ： (1)把 点 (1， 2)、 (-1， 0)分 别 代 入 x+y-1 可 得 (1+2-1)(-1-1)=-4 0， 点 (1， 2)、 (-1， 0)被 直 线 x+y-1=0分 隔 .(2)联 立 直 线 y=kx与 曲 线 x 2-4y2=1可 得 (1-4k2)x2=1， 根 据 题 意 ， 此 方 程 无 解 ， 故 有 1-4k2 0， k - ， 或 k .(3)设 点 M(x， y)， 则 |x|=1， 故 曲 线 E 的 方 程 为 x2+(y-2)2x2=1 .y轴 为 x=0， 显 然 与 方 程 联 立 无 解 .又 P 1(1，

24、 2)、 P2(-1， 2)为 E 上 的 两 个 点 ， 且 代 入 x=0， 有 =1 (-1)=-1 0，故 x=0是 一 条 分 隔 线 .若 过 原 点 的 直 线 不 是 y 轴 ， 设 为 y=kx， 代 入 x2+(y-2)2x2=1， 可 得 x2+(kx-2)2x2=1，令 f(x)=x2+(kx-2)2x2-1， f(0)f(2) 0， f(x)=0有 实 数 解 ， 即 y=kx与 E 有 公 共 点 ， y=kx不 是 E 的 分 隔 线 . 通 过 原 点 的 直 线 中 ， 有 且 仅 有 一 条 直 线 是 E的 分 隔 线 . 23.(16分 )已 知 数 列

25、 an满 足 an an+1 3an， n N*， a1=1.(1)若 a2=2， a3=x， a4=9， 求 x的 取 值 范 围 ；(2)设 an是 公 比 为 q的 等 比 数 列 ， Sn=a1+a2+ an， 若 Sn Sn+1 3Sn， n N*， 求 q 的 取 值 范围 .(3)若 a1， a2， ak成 等 差 数 列 ， 且 a1+a2+ ak=1000， 求 正 整 数 k 的 最 大 值 ， 以 及 k 取 最 大值 时 相 应 数 列 a 1， a2， ak的 公 差 .解 析 ： (1)依 题 意 ： ， 又 将 已 知 代 入 求 出 x 的 范 围 ；(2)先

26、求 出 通 项 ： ， 由 求 出 ， 对 q 分 类 讨 论 求 出 Sn分 别 代 入 不 等 式 Sn Sn+1 3Sn， 得 到 关 于 q 的 不 等 式 组 ， 解 不 等 式 组 求 出 q 的 范 围 .(3)依 题 意 得 到 关 于 k 的 不 等 式 ， 得 出 k 的 最 大 值 ， 并 得 出 k 取 最 大 值 时 a 1， a2， ak的 公差 .答 案 ： (1)依 题 意 ： ， ； 又 ， 3 x 27，综 上 可 得 ： 3 x 6，(2)由 已 知 得 ， ， ， ，当 q=1时 ， S n=n， Sn Sn+1 3Sn， 即 ， 成 立 .当 1 q

27、3时 ， ， Sn Sn+1 3Sn， 即 ， 不 等 式 q 1， 故 3q n+1-qn-2=qn(3q-1)-2 2qn-2 0 对 于 不 等 式 qn+1-3qn+2 0， 令 n=1，得 q2-3q+2 0， 解 得 1 q 2， 又 当 1 q 2， q-3 0， qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2 q(q-3)+2=(q-1)(q-2) 0 成 立 ， 1 q 2，当 时 ， ， Sn Sn+1 3Sn， 即 ， 此 不 等 式 即 ，3q-1 0， q-3 0，3q n+1-qn-2=qn(3q-1)-2 2qn-2 0，qn+1-3qn+2=qn(q-3)+2 q(q-3)+2=(q-1)(q-2) 0， 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ，上 ， q的 取 值 范 围 为 ： . (3)设 a1， a2， ak的 公 差 为 d.由 ， 且 a1=1，得即当 n=1时 ， - d 2；当 n=2， 3， ， k-1时 ， 由 ， 得 d ， 所 以 d ，所 以 1000=k ， 即 k 2-2000k+1000 0，得 k 1999.所 以 k 的 最 大 值 为 1999， k=1999时 ， a1， a2， ak的 公 差 为 - .