2010年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学试卷.pdf

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1、绝密启用并使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理 科 数 学 本试卷分第 I 卷和第 II 卷两部分，共 4 页。满分 150 分。考试用时 120 分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项： 1答卷前，考生务必用 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 3第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的位置，不能写在试卷上；如需改动

2、，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 参考公式： 锥体的体积公式： ShV31= 。其中 S 是锥体的底面积， h是锥体的高。 如果事伯 A、 B 互斥，那么 P（ A+B） =P（ A） +P（ B） ； 如果事件 A、 B 独立，那么 )()()( BPAPABP = 第卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知全集 U=R，集合 2|1| = xxM ，则 =MCU（

3、 A） 31| P ，则 = )22( P （ A） 0.477 （ B） 0.628 （ C） 0.954 （ D） 0.977 （ 6）样本中共有五个个体，其值分别为 3,2,1,0,a ，若该样本的平均值为 1，则样本方差为 （ A）56（ B）56（ C） 2 （ D） 2 （ 7）由曲线32, xyxy = 围成的封闭图形面积为 （ A）121（ B）41（ C）31（ D）127（ 8）某台小型晚会由 6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有 （ A） 36 种 （ B） 42 种 （

4、 C） 48 种 （ D） 54 种 （ 9）设 na 是等比数列，则“321aaa 13,02恒成立， 则 a的取值范围是 。 （ 15）在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 cba , ， 若 2cossin,2,2 = BBba ，则角 A 的大小 为 。 （ 16）已知圆 C 过点（ 1， 0） ，且圆心在 x轴的正半轴上，直线 1: = xyl 被圆 C 所截得的弦长为 22 ，则过圆心且与直线 l垂直的直线的方程为 。 三、解答题：本大题共6小题，共74分。 （ 17） （本小题满分 12 分） 已知函数 )0)(2sin(21coscossin2sin21)(2 =

5、+ babyax的离心率 为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点21,FF 为顶点的三角形的周长为 )12(4 + ，一等轴双曲线 的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于项点 的任一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为 A、 B 和 C、 D. （）求椭圆和双曲线的标准方程； （）设直线1PF 、2PF 的斜率分别为1k 、2k ，证明： 121=kk ； （）是否存在常数 ，使得 CDABCDAB =+ 恒成立？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由 . （ 22） （本小题满分 14 分） 已知函数 )(111)( Raxaaxnxxf = . （）当21a 时，讨论 )

6、(xf 的单调性； （）设41.42)(2=+= abxxxg 当 时，若对任意 )2,0(1x ，存在 2,12x ，使)()(21xgxf ，求实数 b的取值范围 . 参考答案 评分说明： 1本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步

7、应得的累加分数。 4只给整数分数，选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分 60 分。 （ 1） C （ 2） B （ 3） D （ 4） D （ 5） C （ 6） D （ 7） A （ 8） B （ 9） C （ 10） A （ 11） A （ 12） B 二、填空题：本题考 查基础知识和基本运算，每小题 4 分，满分 16 分。 （ 13）54 （ 14）1, )5+ （ 15）6（ 16） 30xy+ = 三、解答题 （ 17）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力，满分 12 分。 解： （

8、）因为211( ) sin 2 sin cos cos sin( )(0 )222fx x x =+， 因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以 2m = 因此双曲线的标准方程为22144xy= （）设11 2 2 0 0(, ),(, ),(, )Ax y Bx y Px y 则0012,22yykkxx=+ 因为点 P 在双曲线224xy=上， 所以22004.xy= 因此00 012200 0122 4yy ykkxx x=+ 即121.kk = （）由于 PF1的方程为1(2)ykx=+，将其代入椭圆方程得 222 2111(2 1) 8 8 8 0kxkxk+= 由违达定理得2211

9、12 12888,21 21kkxx xx+= =+所以22112 12|1 ( )4ABkxxx=+ + 222 1118881( )421 21kkk=+ +212114221kk+=+同理可得22221|42 .21kCDk+=+则221222122121111()| 1142kkAB CD kk+ += + +又121kk = 所以22 2211 11212121 21 2111 2 32()()1| 8 8421kk kkAB CDk+= + = + =+故32| |8AB CD AB CD+= 因此，存在328 = ， 使 |ABCD ABCD+= 恒成立。 （ 22）本小题主要考

10、查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力，考查分类讨论思想、数形结合思想、等价变换思想，以及综合运用知识解决新情境、新问题的能力。 解： （）因为1() ln 1afx x axx=+ 所以22211 1() (0, )aaxxafx a xx xx+ =+ = + 令2() 1 , (0, )hx ax x ax=+ （ 1）当 0,() 1, (0, )ahxxx=+时 所以，当 (0,1) ,() 0, () 0xhxfx 函数f(x) 单调递 （ 2）当 0a 时,由f(x)=0 即210ax x a+=，解得1211, 1xxa= = 当12a = 时，12,() 0xxhx=恒成

11、立， 此时 () 0fx ，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当110,102aa时 (0,1)x 时， ( ) 0, ( ) 0, ( )hx f x f x此时 函数 单调递增； 1(1,),()0xhxa+ 时 ，此时 () 0fx ，此时 () 0fx ，函数 ()f x 单调递增。 综上所述： 当 0a 时，函数 ()f x 在（，）上单调递减； 函数 ()f x 在（，）上单调递增； 当12a = 时，函数 ()f x 在（ 0， +）上单调递减； 当102a 函数 ()f x 单调递增，所以 ()f x 在（ 0， 2）上的最小值为1(1)2f = 由于“对任意1(0,2)x ，存在21, 2x ，使12() ()f xgx ”等价于 “ ()gx在 1， 2上的最小值不大于 ()f x 在（ 0， 2）上的最小值12 ” （ *） 又22() ( ) 4 , 1,2gx x b b x= + ，所以 当 1b ，此时与（ *）矛盾； 当 1, 2b 时，因为2min() 4 0,gx b= ，同样与（ *）矛盾； 当 (2, )b+时，因为min() (2) 8 4gx g b= = 解不等式1842b，可得17.8b 综上， b的取值范围是17, ).8+