2010年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷（文科）.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科） 考生注意： 1.答卷前，考生务必在 答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 2.本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟。 一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分。 1.已知集合 1, 3,A m= ， 3, 4B = ， 1, 2, 3, 4AB=U则 m= 。 2.不等式204xx+的解集是 。 3.行列式cos sin66sin cos66 的值是 。 4.若复数 12z

2、i= （ i为虚数单位） ，则 zz z += 。 5.将一个总体分为 A、 B 、 C 三 层，其个体数之比为 5:3:2。若用分层抽样方法抽取容量为100 的样本，则应从 C 中抽取 个个体。 6.已知四棱椎 P ABCD 的底面是边长为 6 的正方形， 侧棱 PA底面 ABCD， 且 8PA= ，则该四棱椎的体积是 。 7.圆22:2440Cx y x y+=的圆心到直线 3440xy+ +=的距离 d = 。 8.动点 P 到点 (2,0)F 的距离与它到直线 20x+ = 的距离相等，则点 P 的轨迹方程为 。 9.函数3() log( 3)fx x=+的反函数的图像与 y 轴的交点

3、坐标是 。 10. 从一副混合后的扑克牌（ 52 张）中随机抽取 2 张，则“抽出的 2 张均为红桃”的概率为 （ 结果用最简分数表示） 。 11. 2010 年上海世博会园区每天 9:00 开园， 20:00 停止入园。 在右边的框图中， S表示上海世博会官方网站在每个整点报道的入园总人数， a表示整点报道前 1 个小时内入园人数，则空白的执行框内应填入 。 12.在 n行 m列矩阵123 2 1234 1 1345 1 212 3 2 1nn nnnnnnnn 中， 记位于第 i行第 j列的数为(, 1,2 , )ijaij n=。当 9n= 时，11 22 33 99aaa a+ +=

4、。 13.在平面直角坐标系中， 双曲线 的中心在原点， 它的一个焦点坐标为 (5,0)， 1 (2,1)e =r、2 (2, 1)e =r分别是两条渐近线的方向向量。任取双曲线 上的点 P ，若12OP ae be=+uuuruur uuur（ a、 bR ） ，则 a、 b满足的一个等式是 。 14.将直线1:10lxy+=、2:0lnxyn+ =、3:0lxnyn+ =（*nN ， 2n ）围成的三角形面积记为nS ，则 limnnS= 。 二选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案。考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否

5、则一律得零分。 15.满足线性约束条件23,23,0,0xyxyxy+的目标函数 zxy= + 的最大值是 答 （ ） （ A） 1. （ B）32. （ C） 2. （ D） 3. 16.“()24x kkZ=+”是“ tan 1x= ”成立的 答 （ ） （ A）充分不必要条件 . （ B）必要不充分条件 . （ C）充要条件 . （ D）既不充分也不必要条件 . 17.若0x 是方程式 lg 2xx+=的解，则0x 属于区间 答 （ ） （ A） （ 0， 1） （ B） （ 1， 1.25） （ C） （ 1.25， 1.75） （ D） （ 1.75， 2） 18.若 ABC 的三个

6、内角满足 sin:sin:sin 5:11:13ABC= ，则 ABC （A）一定是锐角三角形. （B）一定是直角三角形. （C）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。 19.（本题满分 12 分） 已知 02x成立的最小正整数 n. 22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分 5 分，第 3小题满分8分。 若实数 x、 y 、 m满足 x mym， (0, )A b 、 (0, )B b 和 (,0)Qa

7、为 的三个顶点. （1）若点 M 满足1()2AMAQAB=+uuuur uuur uuur，求点 M 的坐标； （2）设直线11:lykxp= + 交椭圆 于 C 、 D 两点，交直线22:lykx= 于点 E .若2122bkka=，证明： E为 CD的中点； （3）设点 P在椭圆 内且不在 x轴上，如何构作过 PQ中点 F 的直线 l，使得 l与椭圆 的两个交点1P、2P 满足12PP PP PQ=uuur uuur uuur？令 10a = ， 5b= ，点 P的坐标是（-8，-1） ，若椭圆 上的点1P、2P 满足12PP PP PQ=uuur uuur uuur，求点1P、2P 的

8、坐标. 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科）参考答案 一、填空题 1、 2；2；（ -4， 2）；3、 0.5；4、 6-2i; 5、 20；6、 96；7、 3；8、y2=8x;9、(0,-2);10、35111、ssa=+； 12、 45； 13、14ab= ； 14、12二、选择题 15、 C； 16、 A 17、 C；18、 C； 三、解答题 19、 22log(cos tan 1 2sin ) log 2 cos( ) log(1 sin 2 )4log(sin cos ) log(cos sin ) log(1 sin 2 )log(sin cos )

9、log(1 sin 2 ) log1 0x xx x xxx xx xxx x+ + +=+=+=20、 (1)圆柱体的高为 1.2 2r ，故222(1.22) (3 2.4)Sr r r r r =+ =+ 当 0.4r = 时，2max1.5080 1.51( )Sm= ； （ 2）略； 21、解： (1)由*585,nnSna nN= （ 1） 可得：11 115 85aS a= ，即114a = 。 同时 11(1)5 85nnSn a+=+ （ 2） 从而由 (2) (1) 可得：1115( )nnnaaa+= 即：*151(1),6nnaanN+= ，从而 1na 为等比数列，首

10、项1115a = a，公比为56，通项公式为15115*()6nna= ，从而1515*( ) 16nna=+ （ 2）1nnSS+ 即10na+ ，515*( ) 1 06n+，51()615n，从而min15n = 。 22、 （ 1）解：由题意可得2(1)030x +=所以 同理 ，于是待证不等式直接去掉绝对值符号即可，变形为22 33()2()2a b ab ab ab a b ab ab+ + ，因为 ab ，且都是整数，所以该式显然成立。 （ 3）根据定义知道 sinx0，那么 sinx0 时， f(x)=1-sinx， sinx0 时， f(x)=1-sinx； x (-+2k,

11、 2k)(k Z)时， sinx0 时，f(x)=1+sinx， 1sin , (2 ,(2 1) )1sin , (2 1) ,(2 2) )() 1 sin ,xx k kxx k kf xk + +=()f x 为偶函数，最小正周期为 ，最小值为 0，在1(,( ),2kk kZ+ 上单调递减，在1( ) ,( 1) ),2kkkZ+上单调递增。 23、 （ 1）解：3( , ), (0, 2 ), ( , )22aAQabAB b AM b= = = 。 （ 2）证：设11 2 2(, ),(, )Cx y Dx y ，则由 221122222211xyabxyab+ =+ =可得12

12、12 121 222()()()( )0xxxx yyyyab+ +=， 又12112y ykx x=， 故可得21221121yy bx xak+=+而由题意知22211bkak= ，所以12212yykxx+=+，即1221222yykxx+=+即线段 CD的中点1212(, )22x xyy+在直线2y kx= 上，也即直线1l 与2l 的交点 E为线段CD的中点。 （ 3）椭圆方程为 221, (10, 0)100 25xyQ+= ，从而线段 PQ的中点为 (1, 0.5)Q ， 若12PP PP PQ+=，则12PPQP 为平行四边形，从而线段 PQ与线段12PP 互相平分，故直线l的斜率存在，可设为 k ，直线 l为 (1)0.5ykx= 。 设111 2 2 2(, ), (, )Pxy Px y ，则由2211221100 251100 25xyxy+ =+ =可得1212 121 2()()()( )0100 25xxxx yyyy+ += 可得1212 121212 1 211 111244 40.522xxyy xxkyyxx yy+= = =+所以直线 l方程为112yx= 。