2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试卷.pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 参考公式： 样本数据12, Lnx xx的标准差 锥体体积公式 22 2121()() ()nsxxxx xxn=+L =13V sh 其中 x为样本平均数 其中 S 为底面面积， h 为高 柱体体积公式 球的表面积，体积公式 VSh= 2334,4SRV R = 其中 S 为底面面积， h 为高 其中 R 为球的半径 第卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （ 1）已知集合 2, , | 4, |Axx xRBxx xZ= ，则 AB=I （ A） （ 0， 2） （ B

2、） 0， 2 （ C） |0， 2| （ D） |0， 1， 2| （ 2） a， b 为平面向量，已知 a=（ 4， 3） ， 2a+b=（ 3， 18） ，则 a， b 夹角的余弦值等于 （ A）865（ B）865 （ C）1665（ D）1665 （ 3）已知复数23(1 3 )izi+=，则 i = (A)14（ B）12（ C） 1 （ D） 2 （ 4）曲线2y21x x=+在点（ 1,0）处的切线方程为 （ A） 1yx= （ B） 1yx=+ （ C） 22yx= （ D） 22yx=+ （ 5）中心在远点，焦点在 x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（ 4,2） ，则它的离心率

3、为 （ A） 6 （ B） 5 （ C）62（ D）52（ 6）如图，质点 p 在半径为 2 的圆周上逆时针运动，其初始位置为0p （ 2 ， 2 ） ，角速度为 1，那么点 p 到 x轴距离 d 关于时间 t的函数图像大致为 (7) 设长方体的长、宽、高分别为 2a、 a、 a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 （ A） 3 a2 （ B） 6 a2 （ C） 12 a2 （ D） 24 a2（ 8）如果执行右面的框图，输入 N=5，则输出的数等于 （ A）54（ B）45（ C）65（ D）56(9)设偶函数 f(x)满足 f(x)=2x-4 (x0） ，则 () 20xf x =

4、（A） 24xx x或 （B） 0 4 xx x或 （D） 2 2 xx x或 （ 10）若 sin a = -45， a 是第一象限的角，则 sin( )4a+ = （ A） -7210（ B）7210（ C）2-10（ D）210（ 11）已知 null ABCD 的三个顶点为 A（ -1， 2） ， B（ 3， 4） ， C（ 4， -2） ，点（ x， y）在 null ABCD的内部，则 z=2x-5y 的取值范围是 （ A） （ -14， 16） （ B） （ -14， 20） （ C） （ -12， 18） （ D） （ -12， 20） （ 12）已知函数 f(x)=lg 1,

5、0 1016, 02xxxx若 a， b， c 均不相等，且 f(a)= f(b)= f(c)，则 abc的取值范围是 （ A） （ 1， 10） （ B） (5， 6) （ C） (10， 12) （ D） (20， 24) 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第（ 13）题 第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必须做答。第（ 22）题 第（ 24）题为选考题，考生根据要求做答。 二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 （ 13）圆心在原点上与直线 20xy+=相切的圆的方程为 -。 （ 14） 设函数 ()y fx= 为区间 (0,1 上的图像是连续不断的一条曲线， 且恒有 ()

6、01fx，可以用随机模拟方法计算由曲线 ()yfx= 及直线 0x = ， 1x = ， 0y = 所围成部分的面积，先产生两组 i每组 N 个，区间( 0,1 上的均匀随机数1, 2. nx xx和1, 2. ny yy，由此得到 V 个点()( ), 1, 2.x yi N 。再数出其中满足1( )( 1,2. )y fxi N = 的点数1N ，那么由随机模拟方法可得 S 的近似值为 _ (15)一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 _(填入所有可能的几何体前的编号 ) 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆柱 (16)在 ABCnull 中， D 为 BC

7、 边上一点， 3BCBD= , 2AD = , 135ADB=.若2ACAB= ,则 BD=_ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17） （本小题满分 12 分） 设等差数列 na 满足35a = ，109a = 。 （）求 na 的通项公式； （）求 na 的前 n项和nS 及使得nS 最大的序号 n的值。 （ 18） （本小题满分 12 分） 如图， 已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB CD, ACBD ,垂足为 H ， PH是四棱锥的高。 na （）证明：平面 PAC 平面 PBD ; （）若 6AB = , APB ADB = =60,求四棱锥

8、P ABCD 的体积。 请考生在第（ 22） 、 （ 23） 、 （ 24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 （ 19） （本小题满分 12 分） 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了 500位老人，结果如下： 男 女 您是否需要志愿者 需要 40 30 不需要 160 270 （）估计该地区老年人中，需要志愿提供帮助的老年人的比例； （）能否有 99的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （）根据（）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者

9、提供帮助的老年人的比例？说明理由。 附： P(Kk)k0.0503.8410.0106.6250.00110.828K2=n (ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)（ 20） （本小题满分 12 分） 设1F ,2F 分别是椭圆 E：2x +22yb=1（0b1）的左、右焦点，过1F 的直线 l 与 E 相交于 A、 B 两点，且2AF ， AB ，2BF 成等差数列。 （）求 AB （）若直线 l 的斜率为 1，求 b 的值。 （ 21）本小题满分 12 分） 设函数()()21xxf xe ax= （）若 a=12，求()xf 的单调区间； （）若当 x0 时()xf 0

10、，求 a 的取值范围 （ 22） （本小题满分 10 分）选修 4 1：几何证明选讲 如图：已知圆上的弧null nullAC BD= ，过 C 点的圆的切线与 BA 的延长线交于 E 点，证明： （） ACE = BCD 。 （）2BC =BE x CD。 （ 23） （本小题满分 10 分）选修 4 4：坐标系与参数方程 已知直线1C ： t 为参数。图2C ： 为参数 （）当 a=3时，求1C 与2C 的交点坐标： （）过坐标原点 O 做1C 的垂线，垂足为 A、P 为 OA 的中点，当 a 变化时，求 P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。 （24） （本小题满分 10分）选修 45

11、：不等式选讲 设函数 ()x= 24x + 1。 （）画出函数 y= ()x的图像： （）若不等式 ()xax 的解集非空，求 n的取值范围 X=1+tcosa y=tsina X= cos y= sin 2010 年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案 一：选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 （ 1） D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C (7) B (8) D (9) B (10) A (11)B (12)C 二：填空题：本大题共 4 小题，每小题五分，共 20 分。 （ 13） x

12、2+y2=2 (14)1NN(15) (16)2+ 5 三，解答题：接答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （ 17）解： （ 1）由 am = a1 +（ n-1） d 及 a1=5， aw=-9 得 112599adad+=+=解得192ad=数列 am的通项公式为 an=11-2n。 .6分 (2)由 (1) 知 Sm=na1+(1)2nnd=10n-n2。 因为 Sm=-(n-5)2+25. 所以 n=5 时， Sm取得最大值。 12分 (18)解： (1)因为 PH 是四棱锥 P-ABCD 的高。 所以 ACPH,又 ACBD,PH,BD 都在平 PHD 内 ,且 PHIBD=H.

13、 所以 AC平面 PBD. 故平面 PAC 平面 PBD. .6分 (2)因为 ABCD 为等腰梯形， ABnullCD,ACBD,AB= 6 . 所以 HA=HB= 3 . 因为 APB=ADR=600 所以 PA=PB= 6 ,HD=HC=1. 可得 PH= 3 . 等腰梯形 ABCD 的面积为 S=12AC x BD = 2+ 3 . .9分 所以四棱锥的体积为 V=13x（ 2+ 3） x 3 =3233+.12 分 （ 19）解： （ 1）调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助 ,因此该地区老年人中需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500= . 4 分 (2

14、) 22500 (40 270 30 160)9.967200 300 70 430k=由于 9.967 6.635 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关 . 8 分 （ 3）由于（ 2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异 ,因此在调查时 ,先确定该地区老年人中男 ,女的比例，再把老年人分成男 ,女两层并采用分层抽样方法比采用简单反随即抽样方法更好 . 12 分 （ 20）解： （ 1）由椭圆定义知22F+ F| | |+| |=4 又 2AB=AF F AB224|+|,|=3得

15、（ 2） L 的方程式为 y=x+c,其中21cb= 设11 11(),B()Ax x，y ，y ,则 A， B 两点坐标满足方程组 222y=x+cx1yb+= 化简得22 2(1 ) 2 1 2 0.bx cx b+= 则212 122221,.11cbxx xxbb+= =+因为直线 AB 的斜率为 1，所以21xx|= 2| | 即 21423x x=| . 则224212 12 22 2 28 4(1 ) 4(1 2 ) 8()49(11bbbxx xx=+ = =+解得 22b = . （ 21）解： （）12a = 时，21() ( 1)2xf xxe x=， ( ) 1 ( 1

16、)( 1)xx xfx e xe x e x= + = + 。当(),1x 时 ( )fx0;当 ()1, 0x 时， ( ) 0fx 。故()f x 在 (),1 ， ( )0,+ 单调增加，在（ -1， 0）单调减少。 （） () ( 1 )af xxx ax=。令 () 1agx x ax= ，则 ( )xgx e a= 。若 1a ，则当()0,x+时， ( )gx0， ()gx为减函数， 而 (0) 0g = ， 从而当 x 0 时 ()gx 0， 即 ()f x 0. 若 a 1， 则当 ()0,lnx a 时， ( )gx0， ()gx为减函数， 而 (0) 0g = ， 从而当

17、 ()0,lnx a时 ()gx0，即 ()f x 0. 综合得 a的取值范围为( ,1（ 22）解 : （）因为null nullAC BD= , 所以 BCD ABC=. 又因为 EC 与圆相切于点 C ，故 ACE ABC= 所以 ACE BCD=. 5 分 （）因为 ECB CDB=, EBC BCD=, 所以 BDC ECBnullnullnull,故BCCDBEBC= . 即 2BCBECD=. 10 分 （ 23）解： （ I）当3 =时， C1的普通方程为 3( 1)yx= ， C2的普通方程为221xy+=. 联立方程组223( 1),1,yxxx y=+=解得 C1与 C2

18、的交点为（ 1,0） ，13(, )22 （ II） C1的普通方程为sin cos sin 0xy =. A 点坐标为2(sin , cos sin )aaa ，故当 a变化时， P 点轨迹的参数方程为 21sin21sin cos2xayaa=（ a为参数） P 点轨迹的普通方程为2211()416xy+= 故 P 点是圆心为1(,0)4，半径为14的圆 （24）解： （）由于()xf =25,23,2.xxxx+ 2.则函数()xyf= 的图像如图所示。5 分 （）由函数()xyf= 与函数 y ax= 的图像可知，当且仅当 2a 时，函数()xyf= 与函数y ax= 的图像有交点。故不等式()xf ax 的解集非空时， a 的取值范围为()1,2 ,2 +。 10 分