2010年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（文）（北京卷）.pdf

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1、绝密 使用完毕前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） （北京卷） 本试卷分第卷和第卷两部分。第卷 1 至 2 页、第卷 3 至 5 页，共 150 分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡。 第卷 （选择题 共140 分） 一、 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 集合203, 9PxZ x MxZx= a 的概率是 （A）45(B)35（C）25(D)15若 a,b 是非零向量，且 ab ， ab ，则函数 () ( )( )f xxabxba= +

2、 是 （A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数 （C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数 （5）一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的 正视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该集合体 的俯视图为： (6)给定函数12y x= ，12log ( 1)yx=+， |1|yx= ，12xy+= ，期中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （A） （B） （C） （D） （7）某班设计了一个八边形的班徽（如图） ，它由腰长为 1， 顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 （A） 2sin 2cos 2 +； （B） sin 3cos 3 +

3、 （C） 3sin 3cos 1+ （D） 2sin cos 1 + （8）如图，正方体1111ABCD-A B C D 的棱长为 2， 动点E、F 在棱11AB上。点 Q是 CD 的中点，动点 P 在棱AD 上，若EF=1，DP=x，1A E=y(x,y 大于零)， 则三棱锥 P-EFQ 的体积： （A）与 x，y 都有关； （B）与 x，y 都无关； （C）与x 有关，与 y 无关； （D）与y有关，与 x无关； 第卷 （共110 分） 二、 填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共30分 （9）已知函数2log , 2,2,2.xxxxy=p 右图表示的是给 定 x 的值，求其对应

4、的函数值 y 的程序框图， 处应填写 ；处应填写 。 （10）在 ABC 中。若 1b= ， 3c = ，23c= ，则a= 。 （11）若点 p（m，3）到直线 4310xy +=的距离为 4，且点 p 在不等式 2x y+ 3表示的平面区域内，则 m= 。 （12）从某小学随机抽取 100 名同学，将他们身高 （单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图） 。 由图中数据可知 a= 。若要从身高在 120，130，130，140，140，150三组内的 学生中，用分层抽样的方法选取 18人参加一项活动 ，则从身高在140，150内的学生中选取的人数 应为 。 （13）已知双曲线22221x

5、yab=的离心率为 2，焦点与椭圆22125 9xy = 的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 。 （14）如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿x轴滚动。 设顶点 p（x，y）的纵坐标与横坐标的函数关系是 ()yfx= ，则 ()f x 的最小正周期为 ； ()yfx= 在其两个相邻零点间的图像与 x 轴 所围区域的面积为 。 说明： “正方形 PABC 沿x轴滚动”包含沿 x 轴正方向和沿 x轴负方向滚动。沿 x 轴正方向滚动是指以顶点 A 为中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x轴上时，再以顶点 B 为中心顺时针旋转，如此继续，类似地，正方形 PABC 可以沿着 x 轴负

6、方向滚动。 三、 解答：本大题共 6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 （15） （本小题共 13 分） 已知函数2() 2cos2 sinf xxx=+ （）求 ()3f的值； （）求 ()f x 的最大值和最小值 （16） （本小题共 13 分） 已知 |na 为等差数列，且36a = ，60a = 。 （）求 |na 的通项公式； （）若等差数列 |nb 满足18b = ，2123baaa= +，求 |nb 的前 n 项和公式 （17） （本小题共 13 分） 如图，正方形 ABCD 和四边形 ACEF 所在的平面互相垂直。 EF/AC，AB= 2 ,CE=E

7、F=1 （）求证：AF/平面BDE； （）求证：CF平面BDF; (18) （本小题共 14 分） 设定函数32() ( 0)3afx x bx cx da=+f ，且方程() 9 0fx x = 的两个根分别为1，4。 （）当 a=3 且曲线 ()yfx= 过原点时，求 ()f x 的解析式； （）若 ()f x 在 (,) + 无极值点，求 a 的取值范围。 （19） （本小题共 14 分） 已知椭圆 C的左、 右焦点坐标分别是 (2,0) ， (2,0)， 离心率是63， 直线椭圆 C 交与不同的两点 M，N，以线段为直径作圆 P,圆心为 P。 （）求椭圆 C 的方程； （）若圆 P 与

8、x 轴相切，求圆心 P的坐标； （）设 Q（x，y）是圆P 上的动点，当 变化时，求 y 的最大值。 （20） （本小题共 13 分） 已知集合12 1| (, ), 0,1, 1,2,( 2)nnSXXxx xx i nn= = ， 对于12(, , ,)nAaa a= ，12(, , ,)nnB bb b S= ，定义 A与 B 的差为 11 2 2(| |,| |, | |);nnAB a b a b a b= A 与B 之间的距离为111(,) | |idAB a b=（）当 n=5 时，设 (0,1,0,0,1), (1,1,1,0,0)AB=，求 A B ， (,)dAB； （）证

9、明： , ,nnABC S A B S 有 ，且 (,)(,)dA CB C dAB = ; () 证明： , ,(,),(,),(,)nABC S dAB dAC dBC 三个数中至少有一个是偶数 绝密 使用完毕前 2010年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文） （北京卷） 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共40分） B C D A C B A C 二、提空题（本大题共 6 小题，每小题 5 分，共30分） 2x0,所以“32()3af xxbxcxd=+在（-，+）内无极值点”等价于“2() 2 0f x ax bx c =+在（-，+）内恒成立” 。 由（*）式得 2

10、95,4baca= = 。 又2(2 ) 4 9( 1)( 9)bacaa= = 解09( 1)( 9) 0aaa= 得 1, 9a 即 a的取值范围 1, 9 （19） （共 14 分） 解： （）因为63ca= ，且 2c = ，所以223, 1abac= = 所以椭圆 C的方程为2213xy+= （）由题意知 (0, )( 1 1)pt t 由2213ytxy=+=得23(1 )x t= 所以圆 P 的半径为23(1 )t 解得32t = 所以点P的坐标是（0，32 ） （）由（）知，圆 P 的方程222()3(1)x yt t+ =。因为点 (,)Qxy在圆 P 上。所以22 23(1

11、) 3(1)yt t x t t= + 设 cos , (0, )t =，则23(1 ) cos 3sin 2sin( )6tt+= + = + 当3 = ，即12t = ，且 0x = ， y 取最大值 2. (20)(共13分) （）解： (0 1,1 1,0 1,0 0,1 0)AB=（1,0,1,0,1） (,)0111010010dAB= +=3 ()证明：设12 12 12( , , , ), ( , , , ), ( , , , )nnnAaa aBbb bCcc c S= = = 因为11,0,1ab ，所以110,1( 1,2, , )ab i n = 从而112 2(, ,

12、 )nn nA Babab ab S= 由题意知 , 0,1( 1,2,)iiiabc i n= 当 0ic = 时，ii ii iiac bc ab= 当 1ic = 时， (1 ) (1 )ii ii i i iiac bc a b ab= = 所以1(,) (,)niiidA CB C a b dAB= =()证明：设12 12 12( , , , ), ( , , , ), ( , , , )nnnAaa aBbb bCcc c S= = = (,) ,(,) ,(,)dAB kdAC ldBC h= 记 0(0,0,0)nS=由（）可知 (,)(,)(0,)(,)(,)(0,)(,) ( , )dAB dA AB A d B A kdAC dA AC A d C A ldBC dB AC A h= = = =所以 (1,2,)iibai n=中 1 的个数为 k, (1,2,)iicai n = 中1 的个数为 l 设 t是使 1ii iiba ca=成立的 i的个数。则 2hlk t= + 由此可知， ,klh三个数不可能都是奇数 即 (,),(,),(,)dABdAC dBC三个数中至少有一个是偶数。