2010年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学试卷(理工农医类).pdf

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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试 (湖北卷 ) 数学 (理工农医类 ) 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分、在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。 1若 i 为虚数单位，图中复平面内点 Z 表示复数 Z，则表示复数1zi+的点是 A E B.F C.G D.H 2设集合 ()22, | 1416xyAxy=+=， ( , ) | 3 xBxyy=，则A B 的子集的个数是 A 4 B 3 C 2 D 1 3.在 ABC 中， a=15,b=10,A=60，则 cos B = A 223B 223C 63D 634.投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子

2、各一次，记“硬币正面向上”为事件 A,“骰子向上的点数是 3”为事件 B,则事件 A， B 中至少有一件发生的概率是 A 512B 12C 712D 345已知 ABC 和点 M 满足 0MA MB MC +=+ .若存在实数 m 使得 AB AC AMm += 成立，则 m= A 2 B 3 C 4 D 5 6将参加夏令营的 600 名学生编号为： 001， 002， 600，采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号码为 003这 600 名学生分住在三个营区，从 001 到 300在第营区，从 301 到495 住在第营区，从 496 到600 在第营区，三个营区被抽中

3、的人数一次为 A 26, 16, 8 B 25， 17， 8 C 25， 16， 9 D 24， 17， 9 7、如图，在半径为 r 的园内作内接正六边形，再作正六边形的内切圆，又在此内切圆内作内接正六边形，如此无限继续下去，设ns 为前 n 个圆的面积之和，则 limnns = A 22r B. 832r C.42r D.62r 8、现安排甲、乙、丙、丁、戌 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加。甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙丁戌都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 A 152 B.126 C.90 D.54

4、9.若直线 y=x+b 与曲线234y xx= 有公共点，则 b 的取值范围是 A. 1,1 2 2+B. 122,122+C. 122,3D. 12,310.记实数1x ，2x ， nx 中的最大数为 max 12, ,.nx xx，最小数为 min 12, ,.nx xx。已知 ABC 的三边长位 a,b,c （ abc ），定义它的亲倾斜度为max , , .min , , ,abc abclbca bca=则“ l =1”是“ ABC 为等边三角形”的 A.必要而不充分的条件 B.充分而不必要的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分

5、，共 25 分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上，一题两空的题，其答案按先后次序填写。填错位置，书写不清，模凌两可均不得分。 11、在（ x+ 43y ）20的展开式中，系数为有理数的项共有 _项。 12.已知 2zxy=，式中变量 x ， y 满足约束条件,1,2,yxxyx+ ，则 z 的最大值为 _. 13.圆柱形容器内部盛有高度为 8cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示） ，则球的半径是 cm。 14某射手射击所得环数 的分布列如下： 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知 的期望 E =8.9，则 y 的值为

6、. 15.设 a0,b0,称2abab+为 a， b 的调和平均数。如图， C 为线段 AB 上的点，且 AC=a， CB=b， O 为 AB 中点，以 AB 为直径做半圆。过点C 作 AB 的垂线交半圆于 D。连结 OD， AD， BD。过点 C 作 OD 的垂线，垂足为 E。则图中线段 OD 的长度是 a， b 的算术平均数，线段 的长度是 a,b 的几何平均数，线段 的长度是 a,b 的调和平均数。 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16 （本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)=11cos( )cos( ), ( ) sin 2

7、33 24xxgx x += （）求函数 f(x)的最小正周期； （）求函数 h（ x） =f(x) g(x)的最大值，并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合。 17 （本小题满分 12 分） 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建筑物要建造可使用 20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能源消耗费用 C（单位：万元）与隔热层厚度 x（单位： cm）满足关系： C（ x）= (0 10),35kxx+若不建隔热层，每年能源消耗费用为 8 万元。设 f（ x）为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和。 （）求 k 的值

8、及 f(x)的表达式。 （）隔热层修建多厚时，总费用 f(x)达到最小，并求最小值。 18 (本小题满分 12 分 ) 如图， 在四面体 ABOC 中 , , , 120OC OA OC OB AOB=。, 且 1OA OB OC= （）设为 P 为 AC 的中点， 证明： 在 AB 上存在一点 Q，使 PQ OA ，并计算ABAQ的值； （）求二面角 OACB 的平面角的余弦值。 19(本小题满分 12 分 ) 已知一条曲线 C 在 y 轴右边， C 上每一点到点 F（ 1,0）的距离减去它到 y 轴距离的差都是1. ( )求曲线 C 的方程； （）是否存在正数 m，对于过点 M（ m， 0

9、）且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线，都有 0FA FB0）的图象在点（1 （1）处的切线方程为 = -1.() abcfx lnx a 用 表示出 ， ；（ ）若 （ ） 在1，+ ）上恒成立，求 的取值范围；（） 11 1 n1ln23 2nn+ 证明： （ +1）+ （ 1）（ +1）2010 年高考试题数学理 （湖北卷）答案与解析 1 【答案】 D 【解析】观察图形可知 3z i=+,则3211ziiii+= =+，即对应点 H（ 2， 1） ，故 D 正确 . 2 【答案】 A 【解析】画出椭圆221416xy+=和指数函数 3xy = 图象，可知其有两个不同交点，记为A1

10、、 A2，则 A BI 的子集应为 1212,A AAA 共四种，故选 A. 3 【答案】 D 【解析】根据正弦定理sin sinabA B= 可得15 10sin 60 sin B=o解得3sin3B = ，又因为 ba + + +2ln( 1)2( 1)kkk+=+由（）知：当12a 时，有 () ln ( 1)fx xx 令12a = ，有11() ( ) ln ( 1)2fx x xxx= 令21kxk+=+，得：12 1 2( ) ln ln( 2) ln( 1)21 2 1kk kkkkk k+ + =+ +ln( 1) ln( 2)2( 1) 2( 2)kkkk+ + + + +

11、11 1 11 . ln( 2)23 1 2( 1)kkkk k+ + + +就是说， 当 1nk= + 时，不等式也成立。 根据（ 1）和（ 2） ，可知不等式对任何 nN 都成立。 1122132 32 121143 43 43nnnnn nba a + = = （）用反证法证明 假设数列 nb 存在三项 ,rstbbb()rst，则只有可能有 2rstbbb=+ 成立 32112 12 12243 43 43s rt =+ 两边同乘 3t t2t-r，化简得 3t-r+22t-r=2*2t-r3t-s由于 rst 若 11axa，故 () lnf xx 在 )1, + 上恒不成立。 （ ii）12a 时，1 ala 若 () lnf xx ，故当 1x 时， () lnf xx 综上所述，所求 a 的取值范围为1,2 +