2010年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)数学试卷(文科).pdf

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1、绝密启用前 2010 年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) 数 学(文科) 本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，第卷第 1 至第 2 页，第卷第3 至第4 页。全卷满分 l50 分，考试时间 l20 分钟。 参考公式： S表示底面积，h表示底面上的高 如果事件A与B 互斥，那么 棱柱体积V=Sh P(A+B)=P(A)+P(B） 棱锥体积V=13Sh 第 卷( 选择题 共 50分 ) 一选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 (1)若A= |10xx+ ，B= |30xx 0 ,b0,a+b=2，则下列不等式对

2、一切满足条件的 a， b 恒成立的是 . (写出所有正确命题的编号 ) ab1； a+b2； a2+b22； a3+b33; 211+ba答案：, 解析：,化简后相同，令a=b=1排除、易知 ，再利用22a+b22ab+ 易知正确 三、解答题：本大题共 6 小题共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答写在答题卡上的指定区域内 . (16) ABC 的面积是 30，内角 A,B,C,所对边长分别为 a， b， c， cosA=1213. (1)求 ABACuuuv uuuv(2)若 c-b=1，求 a 的值 . （本小题满分 12 分）本题考查同角三角形函数基本关系，三角形面积公式

3、，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力 . 解：由 cosA=1213，得 sinA= )21312( 1 =513. 又12bc sinA=30， bc=156. （ 1） AB ACuuuvuuuv=bc cosA=1561213=144. （ 2） a2=b2+c2-2bc cosA=(c-b)2+2bc(1-cosA)=1+2156(1-1213)=25， a=5 （ 17）椭圆 E 经过点 A（ 2,3） ，对称轴为坐标轴，焦点 F1， F2在 x 轴上，离心率21=e. (1)求椭圆 E 的方程； (2)求 F1AF2的角平分线所在直线的方程 . （本小题满分 12

4、分）本题考查椭圆的定义，椭圆的标准方程及简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式等基础知识，考查解析几何的基本思想和综合运算能力 . 解： （ 1）设椭圆 E 的方程为22221xyab+ = 由 e=12，得ca=12， b2=a2-c2 =3c2. 2222143xycc+= 将 A（ 2,3）代入，有22131cc+ = ，解得： c=2, 椭圆 E 的方程为22116 12xy+= （）由( )知 F1（ -2,0） ， F2（ 2,0） ，所以直线 AF1的方程为 y=34(X+2)， 即 3x-4y+6=0. 直线 AF2的方程为 x=2. 由椭圆 E 的图形知

5、， F1AF2的角平分线所在直线的斜率为正数 . 设 P（ x， y）为 F1AF2的角平分线所在直线上任一点， 则有34625xyx|+=| 若 3x-4y+6=5x-10，得 x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去 . 于是 3x-4y+6=-5x+10，即 2x-y-1=0. 所以 F1AF2的角平分线所在直线的方程为 2x-y-1=0. 空气污染指数 18、 （本小题满分 13 分） 某市 2010 年 4 月 1 日 4 月 30 日对空气 污染指数的检测数据如下（主要污染物为可吸入颗粒物） : 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,1

6、03,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45, ( ) 完成频率分布表； （）作出频率分布直方图； （）根据国家标准，污 染指数在 050 之间时 ，空气质量为优：在 51100 之间时，为良；在 101150 之间时，为轻微污染；在 151200 之间时，为轻度污染。 请你依据所给数据和上述标准，对 该市的空气质量给出一个简短评价 . （本小题满分 13 分）本题考查频数，频数及频率分布直方图，考查运用统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识 . 解：( ) 频率分布表： （）频率分布直方图： （）答对下述两条中的一条即

7、可： （ i）该市一个月中空气污染指数有 2 天处于优的水平，占当月天数的115. 有 26天处于良好的水平，占当月天数的1315. 处于优或良的天数共有 28 天，占当月天分 组 频 数 频 率 41,51) 2 230 51,61) 1 130 61,71) 4 430 71,81) 6 630 81,91) 10 1030 91,101) 5 530 101,111) 2 230103004151 61 71 81 91 101 111 频率 组距 数的1415. 说明该市空气质量基本良好 . （ ii）轻微污染有 2 天，占当月天数的115. 污染指数在 80 以上的接近轻微污染的天数

8、有 15 天，加上处于轻微污染的天数，共有 17 天，占当月天数的1730，超过 50%. 说明该市空气质量有待进一步改善 . (19) (本小题满分 13 分 ) 如图， 在多面体 ABCDEF 中， 四边形 ABCD 是正方形， AB=2EF=2， EFAB,EFFB,BFC=90，BF=FC,H为BC的中点， ( )求证： FH平面EDB; （）求证： AC平面EDB; （）求四面体 B DEF 的体积； （本小题满分 13 分）本题考查空间线面平行，线面垂直，面面垂直，体积的计算等基础知识，同时考查空间想象能力与推理论证能力 . ( ) 证：设 AC 与 BD 交于点 G，则 G 为

9、AC 的中点 . 连 EG， GH，由于 H 为 BC的中点，故 GHAB且 GH=12AB 又 EFAB且 EF=12AB EFGH. 且 EF=GH 四边形EFHG为平行四边形. EGFH，而EG 平面EDB，FH平面EDB. （）证：由四边形 ABCD 为正方形，有 ABBC. 又EFAB， EFBC. 而 EFFB， EF平面BFC， EFFH. ABFH.又BF=FC H为BC的中点， FHBC. FH平面ABCD. FHAC. 又FHEG， ACEG. 又 ACBD，EGBD=G， AC平面EDB. （）解： EFFB，BFC=90， BF平面CDEF. BF为四面体B-DEF的高

10、. 又BC=AB=2, BF=FC= 2 11 1.1.2.232 3BDEFV= （ 20） （本小题满分 12 分） 设函数 f（ x） = sinx-cosx+x+1, 0x2 ,求函数f(x)的单调区间与极值. （本小题满分 12 分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查综合运用数学知识解决问题的能力 . 解：由f(x)=sinx-cosx+x+1，0x2 , 知 ( )f x =cosx+sinx+1， 于是 ( )f x =1+ 2 sin(x+ 4). 令 ( )f x =0，从而sin(x+ 4)=-22，得x= ，或x=32 . 当 x 变化时， (

11、 )f x ，f(x)变化情况如下表： X (0, ) （ ，32 ） 32 （32 ，2 ）( )f x + 0 - 0 + f(x) 单调递增 +2 单调递减 32 单调递增 因此，由上表知f(x)的单调递增区间是（0, ）与（32 ，2 ） ，单调递减区间是（ ，32 ） ，极小值为f（32 ）=32 ，极大值为f（ ）= +2. （21） （本小题满分 13 分) 设1c，2c.,nc,是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且都与直线y=33x相切， 对每一个正整数n,圆nc都与圆1nc +相互外切， 以nr表示nc的半径，已知 nr为递增数列. ()证明： nr为等比数

12、列； （）设1r=1，求数列nnr的前n项和. （本小题满分 13 分）本题考查等比数列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考查抽象能力以及推理论证能力 . 解：()将直线y=33x的倾斜角记为 ， 则有tan = 33，sin =12. 设Cn的圆心为（n ， 0） ，则由题意知nn= sin =12，得n = 2n ；同理112nn+=，题意知1112n nnn n+=+=将n = 2n 代入，解得 rn+1=3rn. 故 rn为公比q=3的等比数列. （）由于 r1=1， q=3，故 rn=3n-1，从而nnr=n13n， 记 Sn=1212nn+ ， 则有 Sn=1+23-1+33-2+n13n. 3Sn=13-1+23-2+(n-1) 13n+n 3n. -，得 3Sn2=1+3-1 +3-2+13n-n 3n =1323n- n 3n=32(n+32) 3n Sn=9412(n+32)13n.