2009年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）文科数学试卷.pdf

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1、绝密启用前 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，第卷 1至 2 页，第卷 3至 4 页，共150 分。 考生注意： 1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2. 第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。第卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。在试题卷上作答，答案无效。 3. 考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。 参考

2、公式 如果事件 ,A B互斥，那么 球的表面积公式 ()()()PA B PA PB+= +24SR= 如果事件 ,AB，相互独立，那么 其中 R表示球的半径 ()()()P AB PA PB= 球的体积公式 如果事件 A在一次试验中发生的概率是 p ，那么 343VR=n次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率 其中 R表示球的半径 () (1 )kk nknnPk Cp p= 第卷 一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1下列命题是真命题的为 A若11x y= ,则 x y= B若21x = ,则 1x = C若 x

3、 y= ,则 x y= D若 x y)的两个焦点, 若12FF， ， (0,2 )Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A32B 2 C52D3 8公差不为零的等差数列 na 的前 n项和为nS .若4a 是37aa与 的等比中项, 832S = ,则10S 等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 9如图，在四面体 ABCD中，截面 PQMN 是正方形，则在下列命题中，错误的为 PQMNABCDyxO(, )Pxy(,0)QxA . AC BD B . AC 截面 PQMN C . AC BD= D . 异面直线 PM 与 BD所成的角为 45o10甲、乙、丙、丁 4 个

4、足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4 个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为 A16B14C13D1211如图所示，一质点 (, )Pxy在 xOy平面上沿曲线运动，速度大小不 变， 其在 x轴上的投影点 (,0)Qx 的运动速度 ()VVt= 的图象大致为 A B C D 12若存在过点 (1, 0) 的直线与曲线3y x= 和21594yax x= +都相切，则 a等于 A 1 或25-64B 1 或214C74 或25-64D74 或 7 第卷 注意事项： 第卷2 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题上作答，答案无效。

5、二.填空题：本大题共4小题，每小题 4分，共16 分。请把答案填在答题卡上 13已知向量 (3,1)a=r， (1, 3)b=r， (,2)ck=r，若 ()ac b r rr则 k = 14体积为 8 的一个正方体，其全面积与球 O的表面积相等，则球 O的体积等于 15若不等式24(1)xkx +的解集为区间 ,ab，且 1ba = ,则 k = 16设直线系 :cos ( 2)sin 1(0 2)Mx y + = ,对于下列四个命题： A存在一个圆与所有直线相交 B存在一个圆与所有直线不相交 O()Vtt O()VttO()VttO()VttC存在一个圆与所有直线相切 D M 中的直线所能

6、围成的正三角形面积都相等 其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号） 三. 解答题：本大题共6小题，共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17 （本小题满分 12 分） 设函数329() 62f xx x xa= + （1）对于任意实数 x， ()f xm 恒成立，求 m的最大值； （2）若方程 () 0fx= 有且仅有一个实根，求 a的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审 假设评审结果为“支持”或“不支持”的概率都是12.若某人获得两个“支持” ，则给予 10 万元的创业资助； 若只获得一

7、个 “支持” ， 则给予 5 万元的资助； 若未获得 “支持” ，则不予资助 求： (1) 该公司的资助总额为零的概率； （2）该公司的资助总额超过 15 万元的概率 19 （本小题满分 12 分） 在 ABC中， ,ABC所对的边分别为 ,abc，6A= ， (1 3 ) 2cb+ = （1）求 C； （2）若 13CB CA=+uuuruur，求 a,b， c 20 （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是矩形，PA平面 ABCD， 4PA AD=， 2AB= 以 BD的中点 O为球心、 BD为直径的球面交 PD于点 M （1）求证：平面 ABM 平面

8、PCD； （2）求直线 PC与平面 ABM 所成的角； （3）求点 O到平面 ABM 的距离 21 （本小题满分 12 分） 数列 na 的通项22 2(cos sin )33nnnan =，其前 n 项和为nS (1) 求nS ; (2) 3,4nnnSbn=求数列nb 的前 n项和nT . 22 （本小题满分 14 分） 如图，已知圆 :G222(2)x yr+=是椭圆22116xy+ = 的内接 ABC 的内切圆, 其中A为椭圆的左顶点 （1）求圆 G 的半径 r; （2） 过点 (0,1)M 作圆 G 的两条切线交椭圆于 EF，两点，证明：直线 EF 与圆 G 相切 OAPBCMDxy

9、AB0CMEF G 绝密启用前 秘密启用后 2009 年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷） 文科数学参考答案 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5分，共60 分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A C C B C C D B A 1. 由11x y= 得 x y= ,而由21x = 得 1x= ,由 x y= , ,x y 不一定有意义,而 x y ;当 12x 时, () 0fx ; 所以 当 1x= 时, ()f x 取极大值 5(1)2f a= ; 当 2x= 时, ()f x 取极小值 (2) 2f a= ; 故当 (2) 0f

10、 或 (1) 0f . 18解： （1）设 A表示资助总额为零这个事件，则 611()264PA=（2）设 B表示资助总额超过 15 万元这个事件，则 6661111() 15 622232PB = + + = 19解： （1）由 (1 3 ) 2cb+ = 得 1 3 sin2 2 sinbBcC=+ = 则有 55sin( ) sin cos cos sin66 6sin sinCCC = =1313cot2222C+=+ 得 cot 1C = 即4C= . （2） 由 13CB CA=+uuuvuuv推出 cos 1 3ab C =+ ；而4C= , 即得2132ab=+ , 则有 21

11、32(1 3 ) 2sin sinabcbacAC=+= =解得 2132abc=+=20解：方法（一） ： （1）证：依题设，在以为直径的球面上，则. 因为平面，则，又， 所以平面，则， 因此有平面，所以平面平面. （）设平面与交于点， 因为，所以平面，则， 由（1）知，平面，则 MN 是PN 在平面 ABM 上的射影， 所以 PNM 就是 PC与平面 ABM 所成的角， 且 PNM PCD= tan tan 2 2PDPNM PCDDC= 所求角为 arctan 2 2 （3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知，平

12、面于 M，则|DM|就是D 点到平面ABM 距离. 因为在 RtPAD 中， 4PA AD= = ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点，22DM = ，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 2 。 方法二： ONAPBCMDzxy（1）同方法一； （2）如图所示，建立空间直角坐标系，则 (0,0,0)A ， (0,0,4)P ， (2,0,0)B ， (2,4,0)C ，(0,4,0)D ， (0,2,2)M ， 设平面 ABM 的一个法向量 (, ,)nxyz=r， 由 ,nABnAMr uuur r uuuur可得：20220xyz=+ =， 令 1z = ，则 1y = ，即 (0

13、,1, 1)n=r. 设所求角为 ，则22sin3PC nPC n=uuur ruuur r ， 所求角的大小为22arcsin3. （3）设所求距离为 h，由 (1, 2, 0), (1, 2, 0)OAO=uuur，得： 2AO nhn=uuur rr 21. 解: （1）由于222cos sin cos333nn n =, 故3 123 456 32313()()( )kkkSaaaaaa aaa=+ + +L 22 22 2 222 212 45 (3 2)(31)(3)( 6) (3)kkk+ += + + + + + +L 13 31 18 5 (9 4)22 2 2kkk+=+

14、=L , 31 3 3(4 9 ),2kkkkkSSa= 232 31 31(4 9 ) (3 1) 1 3 2 1,222 6kkkkkk kSSa k = + = 故 1,3236(1)(13),316(3 4),36nnnknnSnknnnk =+=+=(*kN ) (2) 394,424nn nnS nbn+=2113 22 9 4,24 4 4n nnT+=+L 1122 94413 ,24 4n nnT+=+L 两式相减得 123219919 9941 94 19443 13 13 8 ,124 4 4 2 4 214nn nn n nnT+=+ =+ =L 故23 2181 3.

15、332 2n nnnT+= 22解: （1）设 B02,ry+（），过圆心 G 作 GD AB 于 D,BC交长轴于 H 由GD HBADAH= 得02636yrrr=+, 即066rryr+=(1) 而点 B02,ry+（）在椭圆上, 2220(2 ) 12 4 ( 2)( 6)116 16 16rrrrry+= = = (2) 由(1)、 (2)式得215 8 12 0rr+=,解得23r = 或65r = （舍去） (2) 设过点 M(0,1)与圆224(2)9xy+=相切的直线方程为: 1y kx = (3) 则221231kk+=+,即232 36 5 0kk+= (4) 解得12941 941,16 16kk+ = 将(3)代入22116xy+ = 得22(16 1) 32 0kxkx+ +=,则异于零的解为23216 1kxk=+设111(, 1)Fxkx+ ,222(, 1)Ex kx+ ，则12122232 32,16 1 16 1kkxx= =+ +则直线 FE的斜率为：22 11 1 221 123116 4EFkx kx k kkxx kk +=于是直线 FE的方程为:2112232 3231( )16 1 4 16 1kkyx+=+ +即3743yx= 则圆心 (2,0)到直线 FE的距离3722339116d= =+故结论成立.