2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试卷(文科）.pdf

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1、绝密启用前 试卷类型 ：A 2009 年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷) 数学(文科） 本试卷共 4页，21 小题，满分 150分。考试用时 120 分钟。 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需

2、改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。 5考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式13vSh= ，其中 s是锥体的底面积， h是锥体的高 一、选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得. 1.已知全集U=R，则正确表示集合 M= 1，0，1 和 N= x |x2+x=0 关系的韦恩（Venn）图是 2.下列n 的取值中，使ni =

3、1(i 是虚数单位）的是 A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5 3.已知平面向量 a= ,1x（） ， b=2,x x（ ） ， 则向量 +ab A 平行于 x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于 y 轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 4.若函数 ()y fx= 是函数 1xyaa a=（ 0，且 ） 的反函数，且 (2) 1f = ，则 ()f x = A x2log Bx21C x21log D22x5.已知等比数列 na 的公比为正数，且3a 9a =225a ，2a =1，则1a = A. 21B. 22C. 2 D.2 6.给定下列四个命题： 若一个

4、平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行； 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是 A和 B和 C和 D和 7.已知 ABC 中， CBA , 的对边分别为 a,b,c 若 a=c= 26 + 且 75A=o，则b= A.2 B4 23 C4 23 D 62 8.函数xexxf )3()( = 的单调递增区间是 A. )2,( B.(0,3) C.(1,4) D. ),2( + 9函数 1)4(cos22=xy 是 A最小正周

5、期为 的奇函数 B. 最小正周期为 的偶函数 C. 最小正周期为2的奇函数 D. 最小正周期为2的偶函数 10广州 2010 年亚运会火炬传递在 A、B、C、D、E 五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以 A 为起点，E 为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是 A.20.6 B.21 C.22 D.23 二、填空题：本大题共5 小题，考生作答4 小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（1113题） 11.某篮球队6 名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员i 1 2 3 4 5 6 三分球个数 1a 2a 3a 4a

6、 5a 6a 图 1 是统计该 6 名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图， 则图中判断框应填 ，输出的 s= (注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“”或“：=”) 图1 12某单位 200 名职工的年龄分布情况如图 2，现要从中抽取 40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按 1200 编号，并按编号顺序平均分为 40 组（15 号，610 号，196200 号）.若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则 40岁以下年龄段应抽取 人. 图 2 13以点（2， 1 ）为圆心且与直线 6xy+ = 相切的圆的方程是 . (二)选做题（

7、14、15 题，考生只能从中选做一题） 14 （坐标系与参数方程选做题）若直线1223x ty t= = +（t 为参数）与直线 41x ky+=垂直，则常数 k = . 15.(几何证明选讲选做题)如图 3，点 A、B、C 是圆 O 上的点，且 AB=4， 30ACB=o，则圆 O 的面积等于 . 图3 三、解答题，本大题共6 小题，满分 80 分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分 12 分） 已知向量 )2,(sin = a 与 )cos,1( =b 互相垂直，其中 )2,0( （1）求 sin 和 cos 的值 （2）若 cos53)cos(5 = ， = a

8、axfx且 1a ）的图象上一点，等比数列 na 的前 n 项和为 cnf )( ,数列 nb )0( nb 的首项为 c，且前 n 项和nS 满足nS 1nS =nS +1+nS （n 2）. （1）求数列 na 和 nb 的通项公式； （2）若数列 11+nnbb前 n 项和为nT ，问nT 20091000的最小正整数 n 是多少? 21.（本小题满分 14 分） 已知二次函数 )(xgy = 的导函数的图像与直线 2yx= 平行,且 )(xgy = 在 x=1处取得最小值 m1(m 0 ).设函数xxgxf)()( = (1)若曲线 )(xfy = 上的点 P 到点Q(0,2)的距离的

9、最小值为 2 ,求 m 的值 (2) )( Rkk 如何取值时,函数 kxxfy = )( 存在零点,并求出零点. 参考答案 一、 1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9A 10 B 二、 11. 6i ,12 6aa a+L 12 37, 20 132225(2)(1)2xy+= 146 15.16 16. 【解析】 （） abvvQ , sin 2cos 0ab = =vvg ,即 sin 2cos = 又2sin cos 1+=, 224cos cos 1+ = ,即21cos5= ,24sin5 = 又 25(0, ) sin25=,5cos5

10、 = (2) 5cos( ) 5(cos cos sin sin ) = + 5cos 2 5sin =+ 35cos= cos sin = ,22 2cos sin 1 cos = ,即21cos2 = 又 ）半焦距为 c; 则21232aca=, 解得633ac=, 22236 27 9bac = 所求椭圆 G 的方程为：22136 9xy+=. (2 )点KA 的坐标为 ( ),2K 12121126326322KAFFSFF= = =V（3）若 0k ，由226 0 12 0 21 5 12 0kk+ =+ f 可知点（6，0）在圆kC 外， 若 0k , 0nS , 11nnSS =

11、； 数列 nS 构成一个首相为 1公差为 1 的等差数列， ( )111nSn n= += ， 2nSn= 当 2n ， ()221121nnnbSS n n n= = ； 21nbn =(*nN )； （2）12 23 34 1111 1nnnTbb bb bb bb+=+L()111 113 35 57 (2 1) 2 1nn=+ +K 11111111 11 1123235257 22121nn =+ + K 11122121nnn= =+； 由10002 1 2009nnTn=+得10009n ，满足10002009nT 的最小正整数为 112. 21.【解析】 （1）设 ()2g x

12、 ax bx c=+，则 ( ) 2gx axb = + ； 又()gx 的图像与直线 2y x= 平行 22a = 1a = 又 ()gx在 1x= 取极小值， 12b = ， 2b= ()1121gabc cm =+=+=， cm= ； ()()2gxmfx xxx=+， 设( ),ooPxy 则()22 22200 0002mPQ x y x xx=+ =+ +22202022mxmx= + + 222 2 4m += 22m= ； （2）由 () ( )120myfxkx kxx=+=， 得 ()2120kx x m+= ( )* 当 1k = 时，方程 ()* 有一解2mx= ，函数 ( )yfxkx= 有一零点2mx= ； 当 1k 时，方程()* 有二解( )44 1 0mk= ，若 0m ，11km ， 函数 ( )yfxkx=有两个零点()()()2441 11 121 1mk mkxkk =；若 0m ， 11km ，函数 ()yfxkx=有两个零点()()()2441 11 121 1mk mkxkk =； 当 1k 时，方程 ()* 有一解 ( )44 1 0mk= = , 11km= , 函数()yfxkx=有一零点11xk=