2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷及答案-湖南卷.pdf

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1、 2007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 理工农医类 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分 .考试用时 120 分钟 . 参考公式 : 如果事件 A 、 B 互斥，那么 ()()()PA B PA PB+ =+ 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 )()()( BPAPABP = 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 P ，那么 n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率是 () (1 )kk nknnPk CP P= 球的体积公式 343VR= ,球的表面积公式24SR= ，其中 R 表示球的半径 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，

2、共 50 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1复数22i1+i等于（ ） A 4i B 4i C 2i D 2i 2不等式201xx+的解集是（ ） A (1)(12 ， B 12 ， C (1)2) +， D (12 ， 3设 M N， 是两个集合，则“ MN= ”是“ MN ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 4 设 ,abnullnull是非零向量， 若函数 () ( )( )f xxabaxb=+null nullnull null的图象是一条直线， 则必有 （ ） A abnullnullB /abnullnul

3、lC |ab=null nullD |abnull null5设随机变量 服从标准正态分布 (0 1)N ， ，已知 ( 1.96) 0.025 = ，则 (| | 1.96)P ， ，的图象和函数2() loggx x= 的图象的交点个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7下列四个命题中，不正确的是（ ） A若函数 ()f x 在0x x= 处连续，则00lim ( ) lim ( )xx xxf xfx+=B函数22()4xfxx+=的不连续点是 2x = 和 2x = C若函数 ()f x ， ()gx满足 lim () () 0xfx gx =，则 lim ( ) lim (

4、 )xxf xgx=D111lim12xxx=8棱长为 1 的正方体111 1ABCD A B C D 的 8 个顶点都在球 O 的表面上， EF， 分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线 EF 被球 O 截得的线段长为（ ） A22B 1 C212+ D 2 9设12FF， 分别是椭圆22221xyab+=（ 0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在 ,P使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A202 ， B303 ， C212 ， D313 ， 10设集合 123456M = ， ， ， ， ， ， 12 kSS Snull， 都是 M 的含两个元素的子集，且

5、满足：对任意的 iiiSab= ， ， jjjSab= ， （ ij ， 1 2 3 ij k null、， ， ），都有min minjjiiii j jababba b a ，（ min x y， 表示两个数 x y， 中的较小者） ，则 k 的最大值是（ ） A 10 B 11 C 12 D 13 二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分把答案填在横线上 11圆心为 (1 1)， 且与直线 4xy+=相切的圆的方程是 12在 ABC 中，角 A BC， 所对的边分别为 abc， ，若 1a = ， b= 7 ， 3c = ，3C = ，则 B = 13函数3() 12

6、f xxx=在区间 33 ， 上的最小值是 14设集合1( ) | | 2 |2Axyy x=， ， ( ) | B xy y x b= +， ， AB ， （ 1） b 的取值范围是 ； （ 2）若 ()x yAB ， ，且 2x y+ 的最大值为 9，则 b 的值是 15将杨辉三角中的奇数换成 1，偶数换成 0，得到如图 1 所示的 0-1 三角数表从上往下数，第 1 次全行的数都为 1 的是第 1 行，第 2 次全行的数都为 1 的是第 3 行，第 n 次全行的数都为 1 的是第 行；第 61 行中 1 的个数是 第 1 行 1 1 第 2 行 1 0 1 第 3 行 1 1 1 1 第

7、 4 行 1 0 0 0 1 第 5 行 1 1 0 0 1 1 图 1 三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 12 分） 已知函数2() cos12fx x=+，1() 1 sin22gx x=+ （ I）设0x x= 是函数 ()y fx= 图象的一条对称轴，求0()gx 的值 （ II）求函数 () () ()hx f x gx= + 的单调递增区间 17 （本小题满分 12 分） 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财

8、会培训的有 60%，参加过计算机培训的有 75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响 （ I）任选 1 名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （ II）任选 3 名下岗人员，记 为 3 人中参加过培训的人数，求 的分布列和期望 18 （本小题满分 12 分） 如图 2， EF， 分别是矩形 ABCD 的边 AB CD， 的中点， G 是 EF 上的一点，将 GAB ，GCD 分别沿 ABCD， 翻折成1GAB ，2GCD ，并连结12GG ，使得平面1GAB 平面 ABCD ，12GG AD/ ，且12GG AD ，2()f y 在514， 内是增函数 故当

9、1y = ，即 1AE = （ km）时总造价2()f y 最小，且最小总造价为6716a万元 （ III）解法一：不存在这样的点 D， E 事实上，在 AB 上任取不同的两点 D， E为使总造价最小， E 显然不能位于 D 与 B 之间故可设 E位于 D与 A 之间，且 BD=1(km)x ，1(km)AE y= ，12302xy+，总造价为 S 万元，则2211111134xySx y a=+类似于（ I） 、 （ II）讨论知，2 111216xx ，2 113322yy + ，当且仅当114x = ，11y = 同时成立时，上述两个不等式等号同时成立，此时1(km)4BD= ， 1(k

10、m)AE = ， S 取得最小值6716a ，点 DE， 分别与点 DE， 重合，所以不存在这样的点 DE ， ，使沿折线 PD E O 修建公路的总造价小于（ II）中得到的最小总造价 解法二：同解法一得 2211111134xySx y a=+( ) ( )2221111111 4333 344 16x ayyyyaa= + + + +2211111423( 3 )( 3 )41y yy ya a + + + 6716a= 当且仅当114x = 且2211113( 3 )( 3 )yyyy+ + ，即11114xy= =， 同时成立时， S 取得最小值6716a，以上同解法一 20解：由条

11、件知1(20)F ， ，2(2 0)F ， ，设11()Ax y， ，22()B xy， 解法一： （ I）设 ()M xy， ，则 则1(2)FM x y=+nullnullnullnullnull， ，11 1(2)FA x y=+nullnullnullnull， ， 12 21(2) (20)FB x y FO=+ =nullnullnullnull nullnullnullnull， ， ，由1111FM FA FB FO=+nullnullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull nullnullnullnull得 121226x

12、xxyy y+=+ +=+，即12124xx xyy y+=+=，于是 AB 的中点坐标为422x y， 当 AB 不与 x 轴垂直时，121224822yyy yxx xx=，即12 12()8yyy xxx= 又因为 AB， 两点在双曲线上，所以22112xy = ，22222xy = ，两式相减得 1212 121 2()()()( )x xxx y yy y+=+，即12 12()(4)()x xx y yy = 将12 12()8yy yxxx= 代入上式，化简得22(6) 4xy = 当 AB 与 x 轴垂直时，122xx=，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程 所以点 M 的

13、轨迹方程是22(6) 4xy= （ II）假设在 x 轴上存在定点 (0)Cm， ，使 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnulli 为常数 当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 (2)( 1)ykx k= 代入222xy=有22 2 2(1 ) 4 (4 2) 0kx kx k+= 则12x x， 是上述方程的两个实根，所以212241kxxk+=，2122421kxxk+=， 于是212 12()()(2)(2)CA CB x m x m k x x= + nullnullnullnullnullnullnullnull2212 1 2(1)

14、 (2 )( )4kxxkmxxkm=+ + + 22 2222(1)(42)4(2 )411kk kkmkm+ +=222222(1 2 ) 2 4 42(1 2 )mk mmm mkk+ = += + + 因为 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull是与 k 无关的常数，所以 44 0m = ，即 1m = ，此时 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull= 1 当 AB 与 x 轴垂直时，点 AB， 的坐标可分别设为 (2 2)， ， (2 2)， ， 此时 (1 2 ) (1 2 ) 1CA CB =nullnull

15、nullnullnullnullnullnulli ， 故在 x 轴上存在定点 (1 0)C ， ，使 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnull为常数 解法二： （ I）同解法一的（ I）有12124xx xyy y+ =+=，当 AB 不与 x 轴垂直时，设直线 AB 的方程是 (2)( 1)ykx k= 代入222xy=有22 2 2(1 ) 4 (4 2) 0kx kx k+= 则12x x， 是上述方程的两个实根，所以212241kxxk+= 212 12244(4) 411kkyykxx k+= += = 由得22441kxk= 241kyk= 当

16、0k 时， 0y ，由得，4xky= ，将其代入有 2 222444( 4)(4) (4)1xyxyyx x yy= 整理得22(6) 4xy = 当 0k = 时，点 M 的坐标为 (4 0)， ，满足上述方程 当 AB 与 x 轴垂直时，122xx=，求得 (8 0)M ， ，也满足上述方程 故点 M 的轨迹方程是22(6) 4xy= （ II）假设在 x 轴上存在定点点 (0)Cm， ，使 CA CBnullnullnullnullnullnullnullnulli 为常数， 当 AB 不与 x 轴垂直时，由（ I）有212241kxxk+ =，2122421kxxk+= 以上同解法一的

17、（ II） 21解： （ I）当 2n 时，由已知得22 213nn nSS na= 因为10nnnaSS= ，所以213nnSS n+= 于是213( 1)nnSS n+= + 由得163nnaan+=+ 于是2169nnaa n+=+ 由得26nnaa+=， 所以2262nnnnaaananb eeebe+= =，即数列2(2)nnbnb+ 是常数数列 （ II）由有2112SS+=，所以212 2aa= 由有3215aa+ = ，4321aa+=，所以332aa=+ ，418 2aa= 而 表明：数列2ka 和21ka+分别是以2a ，3a 为首项， 6 为公差的等差数列， 所以226( 1)kaa k=+ ，21 36( 1)kaak+=+ ，22 46( 1)( )kaakk+= +N* ， 数列 na 是单调递增数列12aa 时， () 0gx ， ()gx在0()x +， 上为增函数， 当0x x=，从而 ( ) 0fx ，所以 ()f x 在0()x， 和0()x +， 上都是增函数 由（ II）知， aM 时，数列 na 单调递增， 取0 nx a= ，因为12nn naa a+ 所以1nnkk+= 故1nnkk+ ，即弦1()nnAA n+N* 的斜率随 n 单调递增