2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学.pdf

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1、 2012 年普通高等学校招生全国统一考试 数学 (理 )(北京卷 ) 本试卷共 5 页 . 150 分 .考试时长 120 分钟 .考试生务必将答案答在答题卡上 .在试卷上作答无效 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 . 第一部分 (选择题共 40 分 ) 一、 选择题共 8 小题。每小题 5 分 .共 40 分 .在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项 . 1.已知集合 A=x R 3x+20 B=x R (x+1)(x-3)0则 A B=( ) A（ ， 1） B. 1， - C. ， 3 D.（ 3， ） 2. 设不等式组 表示的平面区域为 D.在区域 D 内随机取一个点

2、 .则此点到坐标原点的距离大 于 2 的概率是 （ ） A. B. C. D. 3.设 a， b R.“ a=O”是复数 a+bi 是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要 条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图 . ACB=90。 CD AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与BC 交于点 E.则 ( ) A. CE CB=AD DB B. CE CB=AD AB C. AD AB=CD D.CE EB=CD 6.从 0， 2 中选一个数字 .从 1.3.5 中选两

3、个数字 ,组成无重复数字的三位数 .其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示 ， 该三梭锥的表面积是 （ ） A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示 .从目前记录的结果看，前 m 年的年平均产量最高。 m 值为（ ） A.5 B.7 C.9 D.11 第二部分 (非选择题共 110 分 ) 二 .填空题 共 6 小 题 。每小题 5 分。共 30 分 . 9.直线 (t 为参数 )与曲线 (“为多 数 )的交点个数为 10.已知 等差数列 为其

4、前 n 项和 .若 = ， = ，则 = 11.在 ABC 中，若 =2， b+c=7, =- ，则 b= 12.在直角坐标系 xOy 中 .直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该撇物线相交于 A、 B 两点 .其中点A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60.则 OAF 的面积为 13.己知正方形 ABCD 的边长为 l， 点 E 是 AB 边上的动点 .则 . 的值为 14.已知 f(x)=m(x-2m)（ x+m+3） ,g(x)= -2，若同时满足条件： x R， f(x) 0 或 g(x) 0 x ( , 4),f(x)g(x) 0 则 m 的取值范围是 三、解答题公

5、6 小题，共 80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15（本小题共 13 分） 已知函数 。 （ 1） 求 f（ x）的定义域及最小正周期； （ 2） 求 f（ x）的单调递增区间。 16. （本小题共 14 分） 如图 1，在 Rt ABC 中， C=90 ， BC=3， AC=6， D， E 分别是 AC， AB 上的点，且 DEBC， DE=2，将 ADE沿 DE 折起到 A1DE 的位置， 使 A1C CD,如图 2. （ 1） 求证： A1C平面 BCDE； （ 2） 若 M是 A1D的中点，求 CM与平面 A1BE所成角的大小； （ 3） 线段 BC 上是否存在点 P

6、，使平面 A1DP与平面 A1BE 垂直？ 说明理由 17（本小题共 13 分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）； （ 1） 试估计厨余垃圾投放正确的概率； （ 2） 试估计 生活 垃圾投放 错误 的概率； （ 3） 假设厨余垃 圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾 ” 箱的投放量分别为 a，b， c，其中 a 0， a+b+c=600.当数据 a， b， c的方差 s2最大时，写出 a， b，

7、 c的值（结论不要求证明），并求此时 s2的值。 （求： ，其中 为数据 x1， x2， xn 的平均数） 18（本小题共 13 分） 已知函数 f（ x） =ax2+1（ a0） ,g(x)=x3+bx (1) 若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点（ 1， c）处具有公共切线，求 a、 b 的值； (2) 当 a2=4b 时，求函数 f(x)+g(x)的单调区间，并求其在区间（ - ， -1）上 的最大值， 19（本小题共 14 分） 已知曲线 C:(5-m)x2+(m-2)y2=8(m R) （ 1） 若曲线 C是焦点在 x轴点上的椭圆，求 m的取值范围 ； （ 2） 设

8、m=4，曲线 c 与 y轴的交点为 A， B（点 A位于点 B 的上方），直线 y=kx+4与曲线 c交于不同的两点 M、 N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证： A， G， N三点共线。 20 （本小题共 13 分） 设 A 是由 m n 个实数组成的 m 行 n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于 1，且所有数的和为零，记 s(m， n)为所有这样的数表构成的集合。 对于 A S(m,n),记 ri(A)为 A的第 行各数之和（ 1 m） ， Cj(A)为 A的第 j列各数之和（ 1 j n） ： 记 K(A)为 r1(A) , R2(A) , , Rm(A) , C1(A) , C2(A) , , Cn(A) 中的最小值。 （ 1） 对如下数表 A，求 K（ A）的值； 1 1 -0.8 0.1 -0.3 -1 （ 2）设数表 A S（ 2,3）形如 1 1 c a b -1 求 K（ A）的最大值； （ 3）给定正整数 t，对于所有的 A S（ 2,2t+1），求 K（ A）的最大值。