2013年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）理数-含答案.docx

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1、 2013 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷） 数学 （理工农医类） 特别提醒： （ 14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 . 一选择题：本大题共 10小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的四个备选项中，只有一个选项是符合题目要求的 1、已知集合 ，集合 ， ，则 （ A） （ B） （ C） （ D） 2、命题“对任意 ，都有 ”的否定为 （ A）对任意 ，使得 （ B）不存在 ，使得 （ C）存在 ，都有 （ D）存在 ，都有 3、 （ ）的最大值为 （ A） 9 （ B） （ C） 3 （ D） 4、以下茎叶图记录了甲

2、、乙两组各 5 名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分） . 甲组 乙组 9 0 9 2 1 5 8 7 4 2 4 已知甲组数据的中位数为 15，乙组数据的平均数为 16.8，则 、 的值分别为 （ A） 2、 5 （ B） 5、 5 （ C） 5,8 （ D） 8,8 5、某几何体的三视图如题（ 5）图所示，则该几何体的体积为 （ A） （ B） （ C） 200 （ D） 240 6、若 ，则函数 两个零点分别位于区间 （ A） 和 内 （ B） 和 内 （ C） 和 内 （ D） 和 内 7、已知圆 ： ，圆 ： ， 、 分别是圆 、上的动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为 （

3、A） （ B） （ C） （ D） 8、执行如题（ 8）图所示的程序框图，如果输出 ，那么判断框内应填入的条件是 （ A） （ B） （ C） （ D） 9、 1, 2, 3, 4U =1,2A =2,3B ()U AB1,3,4 3,4 3 4xR 2 0x xR 2 0x xR 2 0x 0xR 20 0x 0xR 20 0x (3 )( 6 )aa 63a 92 322x yx y56035803abc ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x x a x b x b x c x c x a ( , )ab ( , )bc ( , )a ( , )ab( , )bc

4、( , )c ( , )a ( , )c1C 22( 2 ) ( 3 ) 1xy 2C 22( 3 ) ( 4 ) 9xy M N 1C 2CP x PM PN5 2 4 17 1 6 2 2 173s6k 7k 8k 9k004 c o s 5 0 t a n 4 0 （ A） （ B） （ C） （ D） 10、在平面上， ， ， 若 ，则 的取值范围是 （ A） （ B） （ C） （ D） 二填空题：本大题共 6小题，考生作答 5小题，每小题 5分，共 25 分把答案填写在答题卡相应位置上 11、已知复数 （ 是虚数单位），则 12、已知 是等差数列， ，公差 ， 为其前 项和，若 、

5、 、 称等比数列，则 13、从 3 名骨科、 4 名脑外科和 5 名内科医生中选派 5 人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有 1 人的选派方法种数是 （用数字作答） 考生注意：（ 14）、（ 15）、（ 16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分 14、如题（ 14）图，在 中， ， ， ，过 作 的外接圆的切线 ， ， 与外接圆交于点 ，则 的长为 15、在直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立 2 232 32 2 112AB AB 121O B O B 12A P A B A B 12OP OA5(0, 2 57( , 22

6、 5( , 22 7( , 22512iz i i zna 1 1a 0d nS n 1a 2a 5a8SABC 090C 060A 20AB C ABCCD BD CD BD E DExOy O x是 否 开始 log ( 1)kS S k 1kk输出 S 结束 2, 1kS 极坐标系若极坐标方程为 的直线与曲线 （ 为参数） 相交于 、 两点，则 16、若关于实数 的不等式 无解，则实数 的取值范围是 三解答题：本大题共 6小题，共 75 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17、（本小题满分 13 分，（）小问 6 分，（）小问 7 分） 设 ，其中 ，曲线 在点（ 1， ）处的切

7、线与 轴相较于点（ 0,6） （）确定 的值； （）求函数 的单调区间与极值 18、（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分） 某商场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1 个篮球与 2 个白球的袋中任意摸出 1 个球，根据摸出 4 个球中红球与篮球的个数，设一、二、三等奖如下： 奖级 摸出红、蓝球个数 获奖金额 一等奖 3 红 1 蓝 200 元 二等奖 3 红 0 蓝 50 元 三等奖 2 红 1 蓝 10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 （）求一次摸球恰好摸到 1 个

8、红球的概率； （）求摸奖者在一次摸奖中获奖金额 的分布列与期望 19、（本小题满分 13 分，（）小问 5 分，（）小问 8 分） 如题（ 19）图，四棱锥 中， 底面 ， ， ， 为 的中点， （）求 的长； （）求二面角 的正弦值 20、（本小题满分 12 分，（）小问 4 分，（）小问 8 分） 在 中，内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 （）求 ； （）设 ， ，求 的值 21、（本小题满分 12 分，（）小问 4 分，（）小问 8 分） cos 4 23xtyt tA B ABx 53x x a a2( ) ( 5 ) 6 l nf x a x x aR ()y f x (1)

9、f ya()fxX ()EXP ABCD PA ABCD 2BC CD 4AC3A C B A C D F PC AF PBPAB AF DABC A B C a b c 2 2 22a b a b c C32c o s c o s 5AB2c o s ( ) c o s ( ) 2c o s 5AB tan 如题（ 21）图，椭圆的中心为原点 ，长轴在 轴上，离心率 ，过左焦点 作 轴的垂线交椭圆于 、 两点， （）求该椭圆的标准方程； （）取垂直于 轴的直线与椭圆相较于不同的两点 、 ， 过 、 作圆心为 的圆，使椭圆上的其余点均在圆 外 若 ，求圆 的标准方程 22、 （本小题满分 12

10、 分，（）小问 4 分，（）小问 8 分） 对正整数 ，记 ， ， ， （）求集合 中元素的个数； （）若 的子集 中任意两个元素之和 不是 整数的平方，则称 为“稀疏集”求 的最大值，使 能分成两个不相交的稀疏集的并 O x 22e 1F xA A 4AA x P PP P Q QPQ PQ Qn 1,2,nI n nnmP m IknkI7PnP A A nnP 参考答案 一、选择题： 1、 D 2. D 3、 B 4、 C 5、 C 6、 A 7、 A 8、 B 9、 C 10、 D 二、填空题： 11、 ； 12、 64； 13、 590； 14、 5； 15、 16； 16、 ； 三

11、、解答题： 17、解：（ I）因 ，故 . 令 ，得 ， ，所以曲线 在点 处的切线方程为,由点 (0,6)在切线上可得 ，故 . （ II）由（ I）知 ， . 令 ，解得 . 当 或 时， ，故 在 上为增函数； 当 时， ，故 在 上为减函数 . 由 此 可 知 在 处 取 得 极 大 值 ，在 处 取 得 极 小 值. 18、解：设 表示摸到 个红球， 表示摸到 个蓝球，则 与 独立 . （ I）恰好摸到 1 个红球的概率为 . （ II） X 的所以可能值为： 0,10,50,200，且 . 综上知 X 的分布列为 从而有 (元 ) 19、解：（ I）如图，连接 BD 交 AC 于

12、,因为 BC=CD,即 BCD 为等腰三角形，又 AC 平分 BCD,故AC BD.以 为坐标原点， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系 ，则 ，而 AC=4， 5 ( ,82( ) ( 5 ) 6 l nf x a x x 6( ) 2 ( 5 )f x a xx 1x (1) 16fa (1) 6 8fa ()y f x (1, (1)f1 6 6 8 ( 1 )y a a x 6 1 6 8 6aa 12a21( ) ( 5 ) 6 l n ( 0 )2f x x x x 6 ( 2 ) ( 3 )( ) 5 xxf x x xx ( ) 0fx 122, 3xx0

13、2x 3x ( ) 0fx ()fx (0, 2), (3, )23x ( ) 0fx ()fx (2,3)()fx 2x 9( 2 ) 6 ln 22f 3x(3 ) 2 6 ln 3f iA i jB j ( 0 ,1, 2 , 3)iAi ( 0,1)jBj12341 3718()35CCPAC333 1 3 1 3711( 2 0 0 ) ( ) ( ) ( )3 1 0 5CP X P A B P A P BC 333 0 3 0 3722( 5 0 ) ( ) ( ) ( )3 1 0 5CP X P A B P A P BC 21342 1 2 1 371 1 2 4( 1 0

14、) ( ) ( ) ( )3 1 0 5 3 5CCP X P A B P A P BC 1 2 4 6( 0 ) 1 1 0 5 1 0 5 3 5 7PX 0 1 0 5 0 2 0 06 4 2 17 3 5 1 0 5 1 0 5XP6 4 2 1( ) 0 1 0 5 0 2 0 0 47 3 5 1 0 5 1 0 5EX OO ,OB OC AP x y zO xyz c o s 13O C C D 得 ，又 ， 故 ， ,C(0， 1， 0)， . 因 PA底面 ABCD,可设 ，由 F 为 PC 边中点， ,又 ， ， 因 AF PB,故 ，即 ， （舍去 ），所以 . （

15、II）由（ I）知 , , .设平面 FAD 的法向量为,平面 FAB 的法向量为 . 由 , ,得 ,因此可取 . 由 , ,得 ,故 可取 . 从而法向量 的夹角的余弦值为 . 故 二面角 的正弦值为 . 20、 解：（ I）因为 ，由余弦定理有 ，故 . （ II） 由题意得， 因此 ， , 1 因为 ， ,所以 因为 ,即 解得 ，由 1 得 ，解得 或. 21、解： （ I）由题意知点 A 在椭圆上，则 .从而 . 3A O A C O C s i n 33O D C D (0, 3, 0)A ( 3, 0, 0)B ( 3 , 0, 0)D (0, 3, )Pz(0, 1, )2z

16、F (0, 2, )2zAF ( 3 , 3 , )P B z0AF PB 2602z 23z 23 | | 2 3PA( 3 , 3 , 0 )AD ( 3 , 3, 0 )AB ( 0 , 2 , 3 )AF 1 1 1 1( , , )x y zn 2 2 2 2( , , )x y zn1 0ADn 1 0AFn 11113 3 02 3 0xyyz 1 (3, 3 , 2 )n2 0ABn 2 0AFn 22223 3 02 3 0xyyz 2 (3, 3 , 2 )n12,nn 1212121c o s , |8nnnn | n | | nB AF D 3782 2 22a b a

17、 b c 2 2 2 22c o s2 2 2a b c a bC a b a b 34C 2( s i n s i n c o s c o s ) ( s i n s i n c o s c o s ) 2c o s 5A A B B 2( t a n s i n c o s ) ( t a n s i n c o s ) 5A A B B 2 2t a n s i n s i n t a n ( s i n c o s c o s s i n ) c o s c o s 5A B A B A B A B 2 2t a n s i n s i n t a n s i n ( ) c o s

18、c o s 5A B A B A B 34C 4AB 2s i n ( ) 2ABc o s ( ) c o s c o s s i n s i nA B A B A B 3 2 2s i n s i n52AB3 2 2 2s i n s i n 5 2 1 0AB 2t a n 5 t a n 4 0 tan 1tan 4( ,2)c 22( ) 2 1cab 2 24 1e b 由 得 ，从而 .故该椭圆的标准方程为 . （ II）由椭圆的对称性，可设 .又设 是椭圆上任意一点，则 . 设 ，由题意， P 是椭圆上到 Q 的距离最小的点，因此，上式当 时取最小值，又因，所以上式当 时取最

19、小值，从而 ，且 . 因为 ,且 ，所以 ， 即 .由椭圆方程及 得 ， 解得 ， .从而 . 故这样的圆有两个，其标准方程分别为 ， . 22、解： （）当 时， 中有 3 个数与 中的 3 个数重复，因此 中元素的个数为 7 7-3=46. （）先证：当 时， 不能分成两个不相交的稀疏集的并 .若不然，设 A,B 为不相交的稀疏集，使 A B= .不妨设 1 A，则因 1+3= ，故 3A，即 3 B.同理 6 A,10 B，又推得 15 A，但 1+15= ，这与 A 为稀疏集矛盾 . 再证 符合要求 .当 时， 可 分成两个稀疏集的并，事实上，只要取 =1， 2， 4， 6， 9， 1

20、1， 13， =3， 5， 7， 8， 10， 12， 14，则 ， 为稀疏集，且 = . 当 时，集 中除整数外剩下的数组成集 ，可分解为下面两稀疏集的并： ， . 当 时，集 中除正整数外剩下的数组成集 ，可分解为下面两稀疏集的并： ， . 最后，集 中的数的分母均为无理数，它与 中的任何其他数之和都不是整数，因此，令 , .则 A 和 B 是不相交的稀疏集，且 A B= . 综上，所求 的最大值为 14.(注：对 的分拆方法不是唯一的 ) 22e 224 81b e 222 161ba e 22116 8xy0( ,0)Qx ( , )M x y2 2 20| | ( )Q M x x

21、y 222002 8 ( 1 )16xx x x x 22001 ( 2 ) 8 ( 4 , 4 )2 x x x x 11( , )P x y 1xx1 ( 4, 4)x 02xx 102xx 220| | 8QP xPQ P Q 11( , )P x y 1 0 1 1 0 1( , ) ( , ) 0Q P Q P x x y x x y 221 0 1( ) 0x x y 102xx 22 111 8 (1 ) 04 1 6xx 1463x 102623xx 220 16| | 8 3Q P x 222 6 1 6()33xy 222 6 1 6()33xy 4k7 | m mIk 7

22、I 7P15n nPnnPI22414P 1k 1 4 1 4 | m m I Ik 1A 1B 1A 1B 1A 1B14I4k14 | m mIk 1 3 5 1 3 , , , , 2 2 2 22 1 5 9 1 1 , , , 2 2 2 2A 2 3 7 1 3 , , 2 2 2B 9k14 | m mIk 1 2 4 5 1 3 1 4 , , , , , , 3 3 3 3 3 33 1 4 5 1 0 1 3 , , , , 3 3 3 3 3A 3 2 7 8 1 1 1 4 , , , , 3 3 3 3 3B 1 4 1 4 | , , 1 , 4 , 9 mC m I k I kk 且 14P1 2 3A A A A C 1 2 3B B B B14Pn 14P