2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）文数-含答案.docx

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1、 绝密启用前 2013 年 普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数 学 （ 文史 类） 本试 题 卷共 5 页， 22 题 。 全卷 满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 统一提供的 2B铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。 2选择题的作答：每小题选出答案后，用 统一提供的 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答在试题卷、草稿纸上无效。 3填空题和解答题的作答：用 统一提供的 签字笔直接答在答题卡上对应的

2、答题区域内。答在试题卷、草稿纸上无效。 4考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1 已知全集 ， 集合 ， ，则 A B C D 2 已知 ，则双曲线 ： 与 ： 的 A实轴长相等 B虚轴长相等 C离心率相等 D焦距相等 3 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次 设命题 p 是“甲降落在指定范围”， q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为 A B C D 4四名同学根据各自的样本数据研究 变量 之

3、间的相关关系， 并 求得回归直线方程， 分 别得到以下四个结论： y 与 x 负相关 且 ； y 与 x 负相关 且 ； y 与 x 正相关 且 ； y 与 x 正相关 且 . 其中一定 不 正确 的结论 的序号 是 A B C D 1, 2, 3, 4, 5U 1,2A 2,3,4B UBA2 3,4 1,4,5 2,3,4,50 4 1C 221s in c o sxy2C 221c o s s inyx()p ()q p ()q ()p ()q p q,xy2 .3 4 7 6 .4 2 3yx 3 . 4 7 6 5 . 6 4 8yx 5 .4 3 7 8 .4 9 3yx 4 .

4、3 2 6 4 . 5 7 8yx 5 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中 因交通堵塞停留了一段时间 ，后为了赶时间加 快 速 度 行驶 . 与 以上事件吻合得最好的图象是 6 将 函数 的图象向左平移 个单位 长度 后，所得到的图象关于 y轴对称，则 m 的最小值是 A B C D 7 已知点 、 、 、 ，则向量 在 方向 上的投影为 A B C D 8 x 为实数 ， 表示不超过 的最大整数，则 函数 在 上 为 A奇函数 B偶函数 C增函数 D 周期函数 9 某 旅行社租用 、 两种型 号 的客车安排 900 名客人旅行， 、 两种车 辆 的载客量分别为36 人和 60 人 ，租金 分

5、别为 1600 元 /辆 和 2400 元 /辆 ， 旅行社 要求 租车总数 不超过 21 辆 ， 且 型车不多于 型车 7 辆 则租金最少为 A 31200 元 B 36000 元 C 36800 元 D 38400 元 10 已知函数 有两个 极值点 ，则实数 的取值范围是 A B C D 3 c o s s i n ( )y x x x R ( 0)mm12 6 3 56( 1,1)A (1, 2)B ( 2, 1)C (3, 4)D AB CD322 3152 322 3 152x x ( ) f x x x RA B A BBA( ) (ln )f x x x a x a( , 0)

6、 1(0, )2 (0,1) (0, )距学校的距离 距学校的距离 距学校的距离 A B C D 时间 时间 时间 时间 O O O O 距学校的距离 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 5 分，共 35 分 请将答案填在 答题卡对应题号 的位置上 . 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 . 11 为虚数单位，设复数 ， 在复平面内对应 的点 关于原点对称 ， 若，则 . 12 某 学 员在一次射击测试中射靶 10 次，命中环数如下： 7， 8， 7， 9， 5， 4， 9， 10， 7， 4 则（）平均命中环数为 ； （ ）命中环数的 标准差为 . 13 阅读 如图所示的程序框图， 运

7、行相应的程序 . 若 输入 的值为 2， 则 输出 的结果 . 14 已知圆 ： ，直线 ： （ ） . 设 圆上到直线 的距离等于 1 的 点 的个数为 ，则 . 15 在区间 上随机 地 取一个数 x，若 x 满足 的概率为 ， 则 . 16我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题 ： 在下雨时，用一个圆台形 的 天池盆接雨水 . 天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸 . 若 盆中 积水 深九寸，则平地降雨量是 寸 . （注： 平地降雨量等于盆中 积水体 积除以盆口面积； 一尺等于十寸） 17在平面直角坐标系中，若点 的坐标 ， 均为整数，则称点 为格点 . 若一

8、个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形 . 格点多边形的面积记为 ，其内部 的 格点数记为 ，边界上的格点数记为 . 例如图中 是格点三 角形，对应的 ， ， . （）图中格点四边形 DEFG 对应的 分别 是 ； （）已知格点多边形的面积 可表示 为 ，其中 a， b， c 为常数 . 若某 格点多边形 对应的 ， ， 则 （用数值作答） . i 1z 2z1 2 3iz 2zmiO 225xy l c o s s in 1xy 02O l k k 2,4 |xm 56m( , )Px y x y PS NL ABC1S 0N 4L,S N LS aN bL c 71N 18LS否

9、 A A m 1ii 输入 m 1, 1, 0A B i 开始 结束 是 ?AB 输出 i 第 13 题图 B B i第 17 题图 三、解答题：本大题共 5 小题，共 65 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 18（本小题满分 12 分 ） 在 中，角 ， ， 对应的边分别是 ， ， . 已知 . （ ） 求角 A 的大小； （ ） 若 的面积 ， ， 求 的值 . 19（本小题满分 13 分 ） 已知 是等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列， 且 . （）求 数列 的 通项公式 ； （） 是否存在 正整数 ， 使得 ？若存在 ， 求出符合条件的所有 的 集合； 若不存在，

10、说明理由 20（本小题满分 13 分 ） 如图，某地质队自水平地面 A， B， C三处垂直向地 下 钻探，自 A点向下钻到 A1处发现矿藏，再继续下钻到 A2处后下面已无矿，从而得到在 A 处 正 下方 的矿层厚度为 同样 可得 在 B， C 处 正 下方的矿层厚度分别为 ， ， 且 . 过 ， 的中点 ， 且与直线平行的平面截多面体 所得的截面 为该多面体的 一个 中截面 ，其面积记为 （ ）证明 ：中截面 是梯形 ； （）在 ABC 中， 记 ， BC 边上的高 为 ，面积为 . 在 估测 三角形 区域 内 正 下方的矿藏储量 （ 即 多面体 的体积 ） 时，可用近似公式 来估算 . 已知

11、 ，试判断 与 V 的大小关系，并加以证明 . ABC A B C a b c c o s 2 3 c o s ( ) 1A B C ABC 53S 5b sin sinBCnS na n 4S 2S 3S 234 18a a a nan 2013nS n1 2 1AA d1 2 2BB d 1 2 3CC d 1 2 3d d d AB AC M N 2AA1 1 1 2 2 2A B C A B C DEFG S中DEFGBC a h S ABC1 1 1 2 2 2A B C A B C V V S h估 中1 2 31 ()3V d d d S V估第 20 题图 21（本小题满分 1

12、3 分 ） 设 ， ，已知函数 . （）当 时，讨论函数 的单调性； （）当 时，称 为 、 关于 的加权平均数 . （ i） 判断 , , 是否成等比数列，并证明 ； （ ii） 、 的几何平均数记为 G. 称 为 、 的调和平均数，记为 H. 若 ，求 的取值范围 . 22（本小题满分 14 分 ） 如图，已知椭圆 与 的中心在 坐标 原点 ， 长轴 均为 且在 轴上，短 轴长分别 为 ， ， 过原点且不与 轴重合的 直线 与 ， 的 四 个交 点按 纵 坐标从 大 到 小 依次为 A， B， C， D 记 ， 和 的面积分别为 和 . （ ） 当 直线 与 轴重合 时 ， 若 ， 求 的

13、值 ； （ ）当 变化时， 是否 存在 与坐标轴不重合的 直线 l，使得 ？ 并 说明理由 0a 0b ()1ax bfx x ab ()fx0x ()fx a b x(1)f ()bf a ()bf a ( ) ( )bbffaaa b 2abab a b()H f x G x1C 2C O MN x2m 2 ( )n m n x l 1C 2Cmn BDM ABN 1S 2Sl y 12SS 12SSO x y BA第 22 题图 CD M N 参考答案 一、选择题： 1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 6 B 7 A 8 D 9 C 10 B 二、填空题： 11 12（） 7 （）

14、2 13 4 14 4 15 3 16 3 17 （ ） 3, 1, 6 （ ） 79 三、解答题： 18 （ ） 由 ，得 , 即 ，解得 或 （舍去） . 因为 ，所以 . （ ） 由 得 . 又 ，知 . 由余弦定理得 故 . 又由正弦定理得 . 19 （）设数列 的公比为 ， 则 ， . 由题意得 即 解得 故数列 的通项公式为 . 2 3ic o s 2 3 c o s ( ) 1A B C 22 c o s 3 c o s 2 0AA ( 2 c o s 1 ) ( c o s 2 ) 0AA 1cos 2A cos 2A0 A 3A1 1 3 3s i n 5 3 ,2 2 2

15、4S b c A b c b c 20bc 5b 4c2 2 2 2 c o s 2 5 1 6 2 0 2 1 ,a b c b c A 21a22 2 0 3 5s i n s i n s i n s i n s i n 2 1 4 7b c b cB C A A Aa a a na q 1 0a 0q2 4 3 2234,1 8 ,S S S Sa a a 2 3 21 1 121,(1 ) 1 8 ,a q a q a qa q q q 1 3,2.aq na 13( 2)nna （）由 （ ） 有 . 若存在 ，使得 ，则 ，即 当 为偶数时， ， 上 式 不成立 ； 当 为奇数时，

16、 ， 即 ，则 . 综上，存在符合条件的正整数 ，且所有这样的 n 的集合为 . 20 （）依题意 平面 ， 平面 ， 平面 ， 所以 A1A2 B1B2 C1C2. 又 ， ， ，且 . 因此四边形 、 均是梯形 . 由 平面 ， 平面 ，且平面 平面 ， 可得 AA2 ME，即 A1A2 DE. 同理可证 A1A2 FG， 所以 DE FG. 又 、 分别为 、 的中点， 则 、 、 、 分别为 、 、 、 的中点 ， 即 、 分别为梯形 、 的中位线 . 因此 ， ， 而 ，故 ， 所以 中截面 是梯形 . （） . 证明如下： 由 平面 ， 平面 ，可得 . 而 EM A1A2，所以

17、，同理可得 . 由 是 的中位线， 可得 即为梯形 的高， 因此 ， 即 . 又 ，所以 . 于是 . 由 ，得 ， ，故 . 3 1 ( 2 ) 1 ( 2 )1 ( 2 ) n nnS n 2013nS 1 ( 2 ) 2 0 1 3n ( 2) 2012.n n ( 2) 0nn ( 2 ) 2 2 0 1 2nn 2 2012n 11nn 2 1 , , 5 n n k k k N12AA ABC 12BB ABC 12CC ABC1 2 1AA d 1 2 2BB d 1 2 3CC d 1 2 3d d d1 2 2 1AAB B 1 2 2 1AAC C2AA MEFN 2AA

18、22AABB 22AABB MEFN MEM N AB ACD E F G 11AB 22AB 22AC 11ACDE FG 1 2 2 1AAB B 1 2 2 1AAC C1 2 1 2 1 211( ) ( )22D E A A B B d d 1 2 1 2 1 311( ) ( )22F G A A C C d d 1 2 3d d d DE FG DEFGVV估12AA ABC MN ABC 12A A MNEM MN FN MNMN ABC 1122M N B C aDEFG1312 1 2 31 ( ) ( 2 )2 2 2 2 8D E F G dddd aaS S d d

19、d 中 梯 形1 2 3( 2 )8ahV S h d d d 估 中12S ah 1 2 3 1 2 31 ( ) ( )36 ahV d d d S d d d 1 2 3 1 2 3 2 1 3 1( ) ( 2 ) ( ) ( ) 6 8 2 4a h a h a hV V d d d d d d d d d d 估1 2 3d d d 210dd 310dd VV估 21 （） 的定义域为 ， . 当 时， ，函数 在 ， 上单调递增； 当 时， ，函数 在 ， 上单调递减 . （）（ i） 计算得 ， ， . 故 , 即 . 所以 成等比数列 . 因 ，即 . 由 得 . （ ii

20、） 由 （ i） 知 ， .故由 ，得 . 当 时， . 这时， 的取值范围为 ； 当 时， ，从而 ，由 在 上 单调递增与式， 得 ，即 的取值范围为 ； 当 时， ，从而 ，由 在 上 单调递减与式， 得 ，即 的取值范围为 . ()fx ( , 1) ( 1, ) 22( 1 ) ( )() ( 1 ) ( 1 )a x a x b a bfx xx ab ( ) 0fx ()fx ( , 1) ( 1, ) ab ( ) 0fx ()fx ( , 1) ( 1, ) (1) 02abf 2( ) 0b a bf a a b ( ) 0bf a ba 22( 1 ) ( ) ( ) 2

21、b a b a b bf f a b fa a b a 2(1 ) ( ) ( ) bbf f faa(1 ) , ( ) , ( )bbf f faa2abab (1) ( )bffa ( ) ( )bbffaa()bfHa ()bfGa ()H f x G( ) ( ) ( )bbf f x faaab ( ) ( ) ( )bbf f x f aaa x (0, )ab 01ba bbaa ()fx (0, )bbxaa x ,bbaaab 1ba bbaa ()fx (0, )bbxaa x ,bbaa 22 依题意可设 椭圆 和 的方程分别为 ： ， ： . 其中 ， （ ） 解 法

22、 1： 如图 1， 若 直线 与 轴重合， 即直线 的方程为 ， 则 ， ， 所以 . 在 C1 和 C2 的方程 中分别令 ， 可 得 ， ， ， 于是 . 若 ，则 ，化简得 . 由 ， 可解得 . 故 当 直线 与 轴重合 时 ， 若 ，则 . 解法 2： 如图 1， 若 直线 与 轴重合，则 ， ； ， . 所以 . 若 ，则 ，化简得 . 由 ， 可解得 . 故 当 直线 与 轴重合 时 ， 若 ，则 . （ ） 解法 1： 如图 2， 若 存在 与坐标轴不重合的 直线 l，使得 . 根据对称性， 不妨设 直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 因为 ， ，所以 . 又

23、 ， ，所以 ，即 . 由对称性可知 ，所以 ， ，于是 1C 2C1C 221xyam 2C 221xyan 0a m n 1.mnl y l 0x1 11| | | | | |22S B D O M a B D 2 11| | | | |22S A B O N a A B 12|S BDS AB0x Aym Byn Dym| | 1| | | | 1BDAByyB D m nA B y y m n 12SS 11 2 2 1 0 1 21l y 12SS 21l y| | | | | |B D O B O D m n | | | | | |A B O A O B m n 1 11| | |

24、 | | |22S B D O M a B D 2 11| | | | | |22S A B O N a A B 12| | 1| | 1S B D m nS A B m n 12SS 11 2 2 1 0 1 21l y 12SS 2112SSl ( 0)y kx k( , 0)Ma ( , 0)Na l 1d 2d1 22| 0 |11a k a kd kk2 22| 0 |11a k a kd kk12dd111 |2S BD d 221 |2S AB d 12|S BDS AB | | | |BD AB| | | |AB CD | | | | | | ( 1 ) | |B C B D

25、A B A B | | | | | | ( 1 ) | |A D B D A B A B O x y BA第 22 题解答图 1 CD M N O x y BA第 22 题解答图 2 CD M N . 将 的方程 分别与 C1， C2 的方程联立， 可 求得 ， . 根据对称性可知 ， ，于是 . 从而 由 和式可 得 . 令 ， 则 由 ，可得 ， 于是由 可解得 . 因为 ，所以 . 于是 式关于 有解，当且仅当 ， 等价于 . 由 ， 可解得 ， 即 ，由 ，解得 ， 所以 当 时，不存在 与坐标轴不重合的 直线 l，使得 ； 当 时，存在 与坐标轴不重合的 直线 l 使得 . 解 法

26、2： 如图 2， 若 存在 与坐标轴不重合的 直线 l，使得 . 根据对称性， 不妨设 直线 ： ， 点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，则 因为 ， ，所以 . 又 ， ，所以 . 因为 ，所以 . 由 点 ， 分别在 C1， C2 上，可得 ， ，两式相减可得 ， 依题意 ，所以 . 所以由上式 解得 . 因为 ， 所以 由 ，可解得 . | | 1| | 1ADBC l2 2 2Aamxa k m 2 2 2Banxa k n CBxx DAxx2 2 2 22 2 221 | | 2| | 21 | |A D ABBCk x x xA D m a k nB C x n a k mk x

27、 x 2 2 22 2 21( 1 )a k na k m 1( 1)t mn 1t 2 2 2222( 1)(1 )ntk at 0k 2 0k k 2 2 222( 1) 0(1 )ntat 22 21( 1) ( ) 0tt 1 1 1t111( 1) 1 121 1 2 12SS12 12SS12SSl ( 0)y kx k( , 0)Ma ( , 0)Na l 1d 2d1 22| 0 |11a k a kd kk2 22| 0 |11a k a kd kk12dd111 |2S BD d 221 |2S AB d 12|S BDS AB 221 | | 1 | |B D A BAB

28、ABk x x x xBDA B x xk x x 11ABxx ( , )AAA x kx ( , )BBB x kx2 2 2221AAx k xam2 2 2221BBx k xan 2 2 2 2 2 222() 0A B A Bx x k x xam 0ABxx 22ABxx 2 2 222 2 2 2()ABBAm x xk a x x 2 0k 2 2 22 2 2 2()0ABBAm x xa x x 1 ABxx 从而 ，解得 ， 所以 当 时，不存在 与坐标轴不重合的 直线 l，使得 ； 当 时，存在 与坐标轴不重合的 直线 l 使得 . 11 1 121 1 2 12SS12 12SS