【考研类试卷】数学-3及答案解析.doc

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1、数学-3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、问答求解(总题数：36，分数：100.00)1.下图中，若 ABC 的面积为 1，AEC、DEC、BED 的面积相等，则 AED 的面积为_ A B C D E （分数：1.00）A.B.C.D.E.2.A 是面积为 a 2 的正三角形，A 1 是以 A 的三边中点为顶点的正三角形，A 2 是以 A 1 的三边中点为顶点的正三角形，A k 是以 A k-1 的三边中点为顶点的正三角形，则 A 3 的面积是_ A B C D E （分数：1.00）A.B.C.D.E.3.如下图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等

2、的矩形，矩形 ABCD 的面积为_ （分数：1.00）A.98B.96C.280D.284E.2404.已知等腰三角形 ABC 三边的长为 a、b、c 且 a=c，若关于 x 的一元二次方程 的两根之差为（分数：1.00）A.15B.30C.45D.60E.以上结论均不正确5.如下图所示，A 是半径为 1 的圆 O 外一点，OA=2，AB 为圆 O 的切线，B 为切点，弦 BC/OA。则阴影部分的面积为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.6.D 为 ABC 中 BC 边上一点，已知点 G 1 与点 G 2 分别为 ABD 与 ACD 的重心，S ABC =36，则 S

3、 DG1G2 =_。（分数：3.00）A.1B.2C.3D.4E.57.如下图，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是 20m 的圆柱形，上半部分(顶部)是半球形，已知底面与顶部的造价是 400 元/m 2 ，侧面的造价是 300 元/m 2 ，该储物罐的造价是_万元。 （分数：3.00）A.56B.62C.75D.87E.1008.现有一个半径为 R 的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.9.在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中，共线的三点组的个数是_（分

4、数：3.00）A.57B.49C.43D.37E.3310.将一个边长为 a 的正方体，切成 64 个全等的小正方体，那么表面积增加了_（分数：3.00）A.6a2B.12a2C.18a2D.24a2E.32a211.现有一个棱长为 R 的正方体，拟用刨床将其加工成球体，则所能加工成的最大球体的体积为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.12.长方体的三个相邻面的面积分别为 2、3、6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为_（分数：3.00）A.28B.56C.14D.64E.8013.如果轴截面(经过圆柱的轴的截面)为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么

5、圆柱的体积等于_（分数：3.00）AB.2C.4D.8E.1614.若两个球的表面积之差为 48，它们的大圆(过球心的截面)周长之和为 12，则这两个球的半径之差为_（分数：3.00）A.1B.2C.3D.4E.515.已知球面上的四点 P、A、B、C，且 PA、PB、PC 的长分别为 3、4、5，这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为_ A B （分数：3.00）A.B.C.D.E.16.圆柱形容器的内壁底半径是 10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 （分数：3.00）A.75B.200C.150D.100E.24017.设 P 是圆 x 2 +y

6、2 =2 上的一点，该圆在点 P 的切线平行于直线 x+y+2=0，则点的坐标为_ A(-1，1) B(1，-1) C D （分数：3.00）A.B.C.D.E.18.已知直线 y=kx 与圆 x 2 +y 2 =2y 有两个交点 A、B。若 （分数：3.00）A.(-，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，+)E.(-，-1)(1，+)19.已知直线 ax-by+3-=0(a0，b0)过圆 x 2 +4x+y 2 -2y+1-0 的圆心，则 ab 的最大值为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.20.直线 l 与圆 x 2 +y 2 =4 相交于 A、B 两点

7、，且 A、B 两点中点的坐标为(1，1)，则直线 l 的方程为_（分数：3.00）A.y-x=1B.y-x=2C.y+x=1D.y+x=2E.2y-3x=121.若圆的方程是 x 2 +y 2 =1，则它的右半圆(在第一象限和第四象限内的部分)的方程是_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.22.若圆 C:(x+1) 2 +(y-1) 2 =1 与 x 轴交于 A 点、与 y 轴交于 B 点，则与此圆相切于劣弧 AB 中点 M(注：小于半圆的弧称为劣弧)的切线方程是_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.23.曲线|xy|+1=|x|+|y|所围成的

8、图形的面积为_ A B （分数：3.00）A.B.C.D.E.24.曲线 x 2 -2x+y 2 =0 上的点到直线 3x+4y-12=0 的最短距离是_ A B C1 D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.25.以直线 y+x=0 为对称轴且与直线 y-3x=2 对称的直线方程为_ A B （分数：3.00）A.B.C.D.E.26.点 P 0 (2，3)关于直线 x+y=0 的对称点是_（分数：3.00）A.(4，3)B.(-2，-3)C.(-3，-2)D.(-2，3)E.(-4，-3)27.圆 x 2 +(y-1) 2 =4 与 x 轴的两个交点是_ A B(-2，0)，(2，0

9、) C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.28.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是_（分数：3.00）A.1B.-1C.-2 或-1D.-2 或 1E.以上都不是29.已知直线 l 1 :ax-y+2a+1=0 和 l 2 :2x-(a-1)y+2=0(aR)，则 l 1 l 2 的充要条件是 a=_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.30.若直线 ax+by+c=O，经过第一、二、三象限，则_（分数：3.00）A.ab0 且 bc0B.ab0 且 bc0C.ab0 且 bc0D.ab0 且 bc0E.以上都不是

10、31.过点 M(1，-2)的直线与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点，若 M 恰为线段 PQ 的中点，则直线 PQ 的方程为_（分数：3.00）A.2x+y=0B.2x-y-4=0C.x+2y+3=0D.x-2y-5=0E.以上都不是32.正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上，另外两顶点在 y=x 2 上，则正方形面积的最小值为_（分数：3.00）A.20B.40C.60D.80E.10033.若实数 x、y 满足(x+5) 2 +(y-12) 2 =14 2 ，则 x 2 +y 2 的最小值为_ A2 B1 C D （分数：3.00）A.B.C.D.E.34.若直线 l

11、与直线 y=1，x=7 分别交于点 P、Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，-1)，则直线 l 的斜率为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E.35.过点 P(1，2)，在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程为_（分数：3.00）A.y=2xB.x+y-3=0C.y=2x 或 x+y-3=0D.y=3x 或 x-y+3=0E.以上都不是36.过点(-1，-2)的直线 l 被圆 C:x 2 +y 2 -2x-2y+1=0 截得的弦长为 （分数：3.00）A.x-y-1=0B.17x-7y+3=0C.x-y+1=0D.17x-7y-3=0E.x-y-1=0 或 17x-7y+

12、3=0数学-3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、问答求解(总题数：36，分数：100.00)1.下图中，若 ABC 的面积为 1，AEC、DEC、BED 的面积相等，则 AED 的面积为_ A B C D E （分数：1.00）A.B. C.D.E.解析：考点 三角形的面积 解析 因为 ，S ABC =1，所以 ，又因为 S BED =S CED ，所以 ，因此 2.A 是面积为 a 2 的正三角形，A 1 是以 A 的三边中点为顶点的正三角形，A 2 是以 A 1 的三边中点为顶点的正三角形，A k 是以 A k-1 的三边中点为顶点的正三角形，则 A 3 的面积是_

13、 A B C D E （分数：1.00）A.B.C.D.E. 解析：考点 三角形的面积 解析 每次面积为原来的 ，所以 A 3 的面积 3.如下图，周长为 68 的矩形 ABCD 被分成 7 个全等的矩形，矩形 ABCD 的面积为_ （分数：1.00）A.98B.96C.280 D.284E.240解析：考点 矩形的周长、面积 解析 设小矩形的长和宽分别为 x、y 则有 解得 4.已知等腰三角形 ABC 三边的长为 a、b、c 且 a=c，若关于 x 的一元二次方程 的两根之差为（分数：1.00）A.15B.30 C.45D.60E.以上结论均不正确解析：考点 一元二次方程的根结合三角形 解析

14、 设方程的两个根为 x 1 、x 2 则 解得 又因为 a=c，可解得底角为 30。 记住关于一元二次方程 ax 2 +bx+c=0 的结论 5.如下图所示，A 是半径为 1 的圆 O 外一点，OA=2，AB 为圆 O 的切线，B 为切点，弦 BC/OA。则阴影部分的面积为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C. D.E.解析：考点 等积变换 解析 连接 OB、OC，因为 BC/OA，所以 S ABC =S OBC ，故阴影面积等于扇形的面积。因OA=2，OB=1，ABO=90为，所以BOA=60，又因为 BC/OA，所以OBC=60，BOC=60，所以 6.D 为 ABC 中

15、BC 边上一点，已知点 G 1 与点 G 2 分别为 ABD 与 ACD 的重心，S ABC =36，则 S DG1G2 =_。（分数：3.00）A.1B.2C.3D.4 E.5解析：考点 三角形重心的性质、相似三角形的面积问题 解析 不妨设 D 为 BC 边上的中点，如下图所示延长 DG 1 、DG 2 交 AB、AC 于点 E、F。 由三角形重心的性质可知， 故 DG 1 G 2 DEF，连接 EF，则 EF 为 ABC 的中位线，故ABCDEF，则 而 因此 7.如下图，一个储物罐的下半部分是底面直径与高均是 20m 的圆柱形，上半部分(顶部)是半球形，已知底面与顶部的造价是 400 元

16、/m 2 ，侧面的造价是 300 元/m 2 ，该储物罐的造价是_万元。 （分数：3.00）A.56B.62C.75 D.87E.100解析：考点 球、圆柱的体积 解析 底面与顶部面积 8.现有一个半径为 R 的球体，拟用刨床将其加工成正方体，则能加工成的最大正方体的体积是_ A B C D E （分数：3.00）A.B. C.D.E.解析：考点 正方体的外接球 解析 已知球体为所求正方体的外接球，球的直径为正方体的体对角线，设正方体的边长为 a，球半径为 R，故有 于是所求体积 9.在正方体的 8 个顶点，12 条棱的中点，6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中，共线的三点组的个数是_

17、（分数：3.00）A.57B.49 C.43D.37E.33解析：考点 正方体中的点 解析 8 个顶点中无 3 点共线，故共线的三点组中，中间的点必须有一个是棱中点或面中心或体中心。 (1)体中心为中点：4 对顶点，6 对棱中点，3 对面中心，共 13 组； (2)面中心为中点：46=24 组； (3)棱中点为中点：12 组；共 49 个，选 B。 根据三点组的中间点来分类，可以方便计数。10.将一个边长为 a 的正方体，切成 64 个全等的小正方体，那么表面积增加了_（分数：3.00）A.6a2B.12a2C.18a2 D.24a2E.32a2解析：考点 正方体的表面积 解析 原正方体的表面

18、积是 6a 2 ，体积是 a 3 ；切完后的每个小正方体的体积是 ，边长为 表面积为 故总的表面积是 11.现有一个棱长为 R 的正方体，拟用刨床将其加工成球体，则所能加工成的最大球体的体积为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C. D.E.解析：考点 正方体的内切球 解析 所求球体为已知正方体的内切球，因此球的直径为正方体的棱长即 2R 球 =R， 体积 12.长方体的三个相邻面的面积分别为 2、3、6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为_（分数：3.00）A.28B.56C.14 D.64E.80解析：考点 长方体的外接球 解析 设长方体长、宽、高分别为

19、a、b、c，则 ab=6，ac=3，bc=2 于是 a=3，b=2，c=1，题中的球体为长方体的外接球，则长方体的体对角线为此球的直径，即 13.如果轴截面(经过圆柱的轴的截面)为正方形的圆柱的侧面积是 4，那么圆柱的体积等于_（分数：3.00）AB.2 C.4D.8E.16解析：考点 圆柱的表面积、体积 解析 设圆柱的高为 h，底面半径为 R，则由已知条件可得 h=2R 和 4=h2R，可解得 h=2，R=1，于是圆柱的体积 V=Sh=R 2 h=1 2 2=2。 本题的关键是将“轴截面为正方形”转化为圆柱的高和底面半径的关系。14.若两个球的表面积之差为 48，它们的大圆(过球心的截面)周

20、长之和为 12，则这两个球的半径之差为_（分数：3.00）A.1B.2 C.3D.4E.5解析：考点 球的表面积问题 解析 设两个球的半径分别为 R 1 、R 2 ，则有 15.已知球面上的四点 P、A、B、C，且 PA、PB、PC 的长分别为 3、4、5，这三条线段两两垂直，则这个球的表面积为_ A B （分数：3.00）A.B.C. D.E.解析：考点 球体的表面积问题 解析 如下图，将 P、A、B、C 四点放入长方体中，则长方体对角线为球的直径，即 于是球体表面积 16.圆柱形容器的内壁底半径是 10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了 （分数：3.

21、00）A.75B.200C.150D.100 E.240解析：考点 球体的表面积问题 解析 将球体视为相同体积的水，则两次水的体积的差值=球的体积，设开始时水面高为 h，球体半径为R，则 17.设 P 是圆 x 2 +y 2 =2 上的一点，该圆在点 P 的切线平行于直线 x+y+2=0，则点的坐标为_ A(-1，1) B(1，-1) C D （分数：3.00）A.B.C.D.E. 解析：考点 直线和圆的位置关系 解析 设点 P 的坐标为 P(x，y)，设过点 P 的切线为 l，l 平行于直线 x+y+2=0，故 l 的斜率也为-1，而OPl，故 OP 的斜率为 1，即 18.已知直线 y=k

22、x 与圆 x 2 +y 2 =2y 有两个交点 A、B。若 （分数：3.00）A.(-，-1)B.(-1，0)C.(0，1)D.(1，+)E.(-，-1)(1，+) 解析：考点 直线和圆的位置关系 解析 如下图所示： 由题可知，圆的标准方程为 x 2 +(y-1) 2 =1，则圆心为 C(0，1)，半径为 r=1，圆心到直线 y=kx 的距离 由 可知， 即 19.已知直线 ax-by+3-=0(a0，b0)过圆 x 2 +4x+y 2 -2y+1-0 的圆心，则 ab 的最大值为_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D. E.解析：考点 解析几何与不等式相结合 解析 直线过圆

23、心(-2，1)，于是-2a-b+3=0，即 2a+b=3，根据均值不等式， 即 20.直线 l 与圆 x 2 +y 2 =4 相交于 A、B 两点，且 A、B 两点中点的坐标为(1，1)，则直线 l 的方程为_（分数：3.00）A.y-x=1B.y-x=2C.y+x=1D.y+x=2 E.2y-3x=1解析：考点 直线与圆的相交问题 解析 A、B 中点(1，1)也应该在直线 l 上，代入选项验证得 D。 直线和圆相交，交点的中点也应在直线上，因此使用代入排除法即可。21.若圆的方程是 x 2 +y 2 =1，则它的右半圆(在第一象限和第四象限内的部分)的方程是_ A B C D E （分数：3

24、.00）A.B. C.D.E.解析：考点 圆的方程 解析 由 x 2 +y 2 =1 得 右半圆为 x0，则 22.若圆 C:(x+1) 2 +(y-1) 2 =1 与 x 轴交于 A 点、与 y 轴交于 B 点，则与此圆相切于劣弧 AB 中点 M(注：小于半圆的弧称为劣弧)的切线方程是_ A B C D E （分数：3.00）A. B.C.D.E.解析：考点 直线和圆的位置关系 解析 如下图所示： 易知点 O、M、C 三点共线，连接 OC；设所求切线为 l，圆心 C(-1，1)到原点 O 的距离为 故 由于 OCl，且直线 OC 斜率为-1，因此切线 l 斜率为 1，即倾斜角为 45，由 可

25、知切线 l在 y 轴上的截距是 且斜率为 1，故直线方程为 23.曲线|xy|+1=|x|+|y|所围成的图形的面积为_ A B （分数：3.00）A.B.C.D.E. 解析：考点 直线相交所围成的图形的面积 解析 移项提取公因式(|x|-1)(|y|-1)=0，即 x=1，y=1，如下图所示： 24.曲线 x 2 -2x+y 2 =0 上的点到直线 3x+4y-12=0 的最短距离是_ A B C1 D E （分数：3.00）A.B. C.D.E.解析：考点 距离最值问题 解析 如下图所示： 将曲线方程化为(x-1) 2 +y 2 =1，知此曲线为圆，且圆心为(1，0)，半径 r=1。圆心到

26、直线 3x+4y-12=0 的距离 所以最短距离为 25.以直线 y+x=0 为对称轴且与直线 y-3x=2 对称的直线方程为_ A B （分数：3.00）A. B.C.D.E.解析：考点 直线关于直线的对称问题 解析 根据直线对称的原理，令 x=-y，y=-x，则原方程变为-x+3y=2，故所求方程为 26.点 P 0 (2，3)关于直线 x+y=0 的对称点是_（分数：3.00）A.(4，3)B.(-2，-3)C.(-3，-2) D.(-2，3)E.(-4，-3)解析：考点 点关于直线的对称问题 解析 将点 P 0 (2，3)的横纵坐标互换并变为原来的相反数(即令 x=-y，y=-x)，就

27、得到了点 P 0 关于直线 y+x=0 的对称点(-3，-2)。 熟练掌握点关于直线 y+x=0 的对称点的求法。27.圆 x 2 +(y-1) 2 =4 与 x 轴的两个交点是_ A B(-2，0)，(2，0) C D E （分数：3.00）A.B.C.D. E.解析：考点 直线和圆相交的问题 解析 与 x 轴交点的纵坐标为 0，即 y=0，代入 x 2 +1=4， 28.直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是_（分数：3.00）A.1B.-1C.-2 或-1D.-2 或 1 E.以上都不是解析：考点 直线的截距式 解析 当 a=0 时，直线 l 的

28、方程为 y=2，不满足题意；当 a0 时，分别令方程中的 y 和 x 等于 0，得到直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距分别为 和 a+2，因此 29.已知直线 l 1 :ax-y+2a+1=0 和 l 2 :2x-(a-1)y+2=0(aR)，则 l 1 l 2 的充要条件是 a=_ A B C D E （分数：3.00）A.B.C.D.E. 解析：考点 直线相互垂直的判定 解析 当 a=1 时，直线 l 1 的斜率是 1，直线 l 2 的斜率不存在，故此时两直线不垂直；当 a1 时，直线 l 1 的斜率是 a，直线 l 2 的斜率是 解得 两直线互相垂直 30.若直线 ax+by+c=O

29、，经过第一、二、三象限，则_（分数：3.00）A.ab0 且 bc0B.ab0 且 bc0C.ab0 且 bc0 D.ab0 且 bc0E.以上都不是解析：考点 直线过象限问题 解析 当 b=0 时，直线方程为 不满足题意；当 b0 时，直线方程为 若直线过一、二、三象限，应有斜率 且直线在 y 轴上的截距 31.过点 M(1，-2)的直线与 x 轴、y 轴分别交于 P、Q 两点，若 M 恰为线段 PQ 的中点，则直线 PQ 的方程为_（分数：3.00）A.2x+y=0B.2x-y-4=0 C.x+2y+3=0D.x-2y-5=0E.以上都不是解析：考点 直线与坐标轴相交问题 解析 设 P(x

30、 0 ，0)、Q(0，y 0 )，由于 M(1，-2)为线段 PQ 中点，由线段中点的坐标公式，可知 因此直线 PQ 的截距式方程为 32.正方形 ABCD 的一条边在直线 y=2x-17 上，另外两顶点在 y=x 2 上，则正方形面积的最小值为_（分数：3.00）A.20B.40C.60D.80 E.100解析：考点 直线与抛物线相交问题 解析 设正方形的边 AB 在直线 y=2x-17 上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为 C(x 1 ，y 1 )、D(x 2 ，y 2 )，CD 所在直线 l 的方程为 y=2x+b，将直线 l 的方程与抛物线方程联立，得 x 2 =2x+b， 令正方形边长

31、为 a，则 a 2 =(x 1 -x 2 ) 2 +(y 1 -y 2 ) 2 =5(x 1 -x 2 ) 2 =20(b+1)，在 y=2x-17 上任取一点(6，-5)，它到直线 y=2x+b 的距离为 、联立解得 b 1 =3，b 2 =63，故 a 2 =80 或a=1280，因此面积最小为 33.若实数 x、y 满足(x+5) 2 +(y-12) 2 =14 2 ，则 x 2 +y 2 的最小值为_ A2 B1 C D （分数：3.00）A.B. C.D.E.解析：考点 动点到定点距离的最值 解析 如下图所示： 由题意知圆心坐标为 C(-5，12)，圆的半径为 14，到原点的距离 3

32、4.若直线 l 与直线 y=1，x=7 分别交于点 P、Q，且线段 PQ 的中点坐标为(1，-1)，则直线 l 的斜率为_ A B C D E （分数：3.00）A.B. C.D.E.解析：考点 线段的中点坐标公式 解析 依题意，设点 P(a，1)、Q(7，b)，根据线段中点的坐标公式，有 解得 可知直线 l 的斜率为 35.过点 P(1，2)，在 x 轴、y 轴上截距相等的直线方程为_（分数：3.00）A.y=2xB.x+y-3=0C.y=2x 或 x+y-3=0 D.y=3x 或 x-y+3=0E.以上都不是解析：考点 直线在坐标轴上的截距问题 解析 设所求直线 l 在 x 轴，y 轴上的

33、截距均为 a o 若 a=0，即 l 过点(0，0)和(1，2)，l 方程为 y=2x；若 a0，设 l 方程为 x+y=a，则 a=1+2=3，l 方程为 x+y-3=0。 直线在坐标轴上的截距问题是考查重点，需要多加注意。36.过点(-1，-2)的直线 l 被圆 C:x 2 +y 2 -2x-2y+1=0 截得的弦长为 （分数：3.00）A.x-y-1=0B.17x-7y+3=0C.x-y+1=0D.17x-7y-3=0E.x-y-1=0 或 17x-7y+3=0 解析：考点 直线与圆相交的问题 解析 根据题意，画出图象，如下图所示： 可知该直线与圆相交时，斜率一定存在，不妨设为 k，则直线 l 的方程为 y+2=k(x+1)，即 kx-y+k-2=0，圆的方程为 x-1) 2 +(y-1) 2 =1，圆心 C(1，1)，半径 r=1，所以圆心到直线的距离 解得 k=1 或