【考研类试卷】考研数学一（高等数学）-试卷15及答案解析.doc

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1、考研数学一（高等数学）-试卷 15 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：24，分数：48.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设 f(x)在 xa 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.不一定可导D.不连续3.设 为 f(x)arctanx 在0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设 f(x)在 xa 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D.5.设 f(x)

2、在 x0 处二阶可导，f(0)0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点6.设 f(x)在 xa 处的左右导数都存在，则 f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一定不可导C.不一定连续D.连续7.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g

3、(z)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导8.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导D.不连续9.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有 ( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)010.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)4，f“(2) ，f“(4)6，则 g“(4)等于( ) （分数：2.00）A.

4、B.C.D.11.设 f(x)在 xa 的邻域内有定义，且 f “(a)与 f “(a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 xa 处不连续B.f(x)在 xa 处连续C.f(x)在 xa 处可导D.f(x)在 xa 处连续可导12.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 f“(x 0 ) D.若 f(x)在 x 0

5、 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 13.则 f(x)在 x0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x0 处连续14.函数 f(x)在 x1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.15.设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 ，又 f“(x)一 2x 2 （分数：2.00）A.x0 为 f(x)的极大点B.x0 为 f(x)的极小点C.(0，0)为 yf(x)的拐点D.x0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 yf(x)的拐点16.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A

6、.B.C.D.17.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 一 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调减少C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x0 处一定取到极值18.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 yf(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，

7、(2，f(2)也不是曲线 yf(x)的拐点19.设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x)在 x0 的邻域内连续，且 ，又 （分数：2.00）A.x0 是 f(x)的极大值点B.x0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.x0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点20.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.x0 是 f(x)的驻点但不是极值点21.设函数 f(x)满足关系 f“(x)f“ 2 (x)x，且 f“

8、(0)0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 yf(x)的拐点D.(0，f(0)不是 yf(x)的拐点22.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 xx 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点23.设 f(x)在a，)上二阶可导，f(a)0，f“(a)0，且 f“(x)k(k0)，则 f

9、(x)在(a，)内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个24.设 k0，则函数 f(x)lnx 一 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个D.3 个二、填空题(总题数：17，分数：34.00)25.设两曲线 yx 2 axb 与一 2y一 1xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a 1，b 2.（分数：2.00）填空项 1:_26. （分数：2.00）填空项 1:_27.设 f(x)在 x1 处一阶连续可导，且 f“(1)一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_28. （分数：2.00）填空项 1:_29.设 f(x)满足 f(x)f(x2

10、)，f(0)0，又在(一 1，1)内 f“(x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_30.若 f(x)2nx(1 一 x) n ，记 M n ，则 （分数：2.00）填空项 1:_31.设 f(x)在 xa 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_32. （分数：2.00）填空项 1:_33. （分数：2.00）填空项 1:_34.设 yy(x)由 ye xy xcosx 一 10 确定，求 dy x0 1（分数：2.00）填空项 1:_35. （分数：2.00）填空项 1:_36.设函数 yy(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_37.设 f(x) （分数

11、：2.00）填空项 1:_填空项 1:_38.设 F(x) （分数：2.00）填空项 1:_39. （分数：2.00）填空项 1:_40.设 f(x，y)可微，f(1，2)2，f x “(1，2)3，f y “(1，2)4，(x)fx，f(x，2x)，则 (1) 1（分数：2.00）填空项 1:_41.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：9，分数：18.00)42.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_43.求极限 （分数：2.00）_44.求极限 （分数：2.00）_45.证明： （分数：2.00）_46.设 f(x)a 1 ln(1x)a

12、2 ln(12x)a n ln(1nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x 一 1证明：a 1 2a 2 na n 1（分数：2.00）_47.求极限 （分数：2.00）_48.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x 0 ，作 x n1 f(x n )(n0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_49.56设 f(x)在a，)上连续，且 （分数：2.00）_50.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i1，2，n)，任取 k i 0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )k 2 f(x 2 )k n f(x n )

13、(k 1 k 2 k n )f()（分数：2.00）_考研数学一（高等数学）-试卷 15 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：24，分数：48.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设 f(x)在 xa 处可导，且 f(a)0，则f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.可导 B.不可导C.不一定可导D.不连续解析：解析：不妨设 f(a)0，因为 f(x)在 xa 处可导，所以 f(x)在 xa 处连续，于是存在 0，当x 一 a 时，有 f(x)0，于是3.设 为 f(x)arctanx 在

14、0，a上使用微分中值定理的中值，则 为( ) （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析：4.设 f(x)在 xa 处二阶可导，则 （分数：2.00）A.一 f“(a)B.f“(a)C.2f“(a)D. 解析：解析：5.设 f(x)在 x0 处二阶可导，f(0)0 且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极大值B.f(0)是 f(x)的极小值 C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点D.f(0)不是 f(x)的极值，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解析：6.设 f(x)在 xa 处的左右导数都存在，则 f(x)在 xa 处( )（分数：2.00）A.一定可导B.一

15、定不可导C.不一定连续D.连续 解析：解析：因为 f(x)在 xa 处右可导，所以 存在，于是7.f(x)g(x)在 x 0 处可导，则下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.f(x)，g(x)在 x 0 处都可导B.f(x)在 x 0 处可导，g(x)在 x 0 处不可导C.f(x)在 x 0 处不可导，g(z)在 x 0 处可导D.f(x)，g(x)在 x 0 处都可能不可导 解析：解析：令8.f(x)在 x 0 处可导，则f(x)在 x 0 处( )（分数：2.00）A.可导B.不可导C.连续但不一定可导 D.不连续解析：解析：由 f(x)在 x 0 处可导得f(x)在 x 0 处连

16、续，但f(x)在 x 0 处不一定可导，如 f(x)x 在 x0 处可导，但f(x)x在 x0 处不可导，选(C)9.设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，则当 x0 时有 ( )（分数：2.00）A.f“(x)0，f“(x)0 B.f“(x)0，f“(x)0C.f“(x)0，f“(x)0D.f“(x)0，f“(x)0解析：解析：因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(一 x)一 f(x)，f“(一 x)f“(x)，f“(一 x)一f“(x)，即 f“(x)为偶函数，f“(x)为奇函数，故由 x0 时有 f“(x)0，f“(x)0，得当 x0 时有 f

17、“(x)0，f“(x)0，选(A)10.设 f(x)为单调可微函数，g(x)与 f(x)互为反函数，且 f(2)4，f“(2) ，f“(4)6，则 g“(4)等于( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为11.设 f(x)在 xa 的邻域内有定义，且 f “(a)与 f “(a)都存在，则( )（分数：2.00）A.f(x)在 xa 处不连续B.f(x)在 xa 处连续 C.f(x)在 xa 处可导D.f(x)在 xa 处连续可导解析：解析：因为 f “(a)存在，所以 存在，于是 12.下列命题成立的是( )（分数：2.00）A.若 f(x)在 x 0 处连续，则存在 0，

18、使得 f(x)在xx 0 内连续B.若 f(x)在 x 0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在xx 0 内可导C.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 存在，则 f(x)在 x 0 处可导，且 f“(x 0 ) D.若 f(x)在 x 0 的去心邻域内可导，在 x 0 处连续且 解析：13.则 f(x)在 x0 处( ) （分数：2.00）A.不连续B.连续不可导C.可导但 f“(x)在 x0 处不连续D.可导且 f“(x)在 x0 处连续 解析：解析：14.函数 f(x)在 x1 处可导的充分必要条件是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：15.

19、设 f(x)连续可导，g(x)连续，且 ，又 f“(x)一 2x 2 （分数：2.00）A.x0 为 f(x)的极大点B.x0 为 f(x)的极小点C.(0，0)为 yf(x)的拐点 D.x0 既不是 f(x)极值点，(0，0)也不是 yf(x)的拐点解析：解析：16.下列说法正确的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析：17.下列说法中正确的是( )（分数：2.00）A.若 f“(x 0 )0，则 f(x)在 x 0 的邻域内单调减少B.若 f(x)在 x 0 取极大值，则当 x(x 0 一 ，x 0 )时，f(x)单调增加，当 x(x 0 ，x 0 )时，f(x)单调减少

20、C.f(x)在 x 0 取极值，则 f(x)在 x 0 连续D.f(x)为偶函数，f“(0)0，则 f(x)在 x0 处一定取到极值 解析：解析：18.设 f(x)二阶连续可导， （分数：2.00）A.f(2)是 f(x)的极小值 B.f(2)是 f(x)的极大值C.(2，f(2)是曲线 yf(x)的拐点D.f(2)不是函数 f(x)的极值，(2，f(2)也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解析：19.设 f(x)在 x0 的邻域内连续可导，g(x)在 x0 的邻域内连续，且 ，又 （分数：2.00）A.x0 是 f(x)的极大值点B.x0 是 f(x)的极小值点C.(0，f(0)是曲线 yf(

21、x)的拐点 D.x0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是曲线 yf(x)的拐点解析：解析：20.设 f(x)二阶连续可导，且 （分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是曲线 yf(x)的拐点 D.x0 是 f(x)的驻点但不是极值点解析：解析：21.设函数 f(x)满足关系 f“(x)f“ 2 (x)x，且 f“(0)0，则( )（分数：2.00）A.f(0)是 f(x)的极小值B.f(0)是 f(x)的极大值C.(0，f(0)是 yf(x)的拐点 D.(0，f(0)不是 yf(x)的拐点解析：解析：由 f“(x)0 得 f

22、“(0)0，f“(x)1 一 2f“(x)f“(x)，f“(0)10，由极限保号性，存在0，当 0x 时，f“(x)0，再由 f“(0)0，得22.下列说法正确的是( )（分数：2.00）A.设 f(x)在 x 0 二阶可导，则 f“(x)在 xx 0 处连续B.f(x)在a，b上的最大值一定是其极大值C.f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D.若 f(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，且 f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点 解析：解析：令 但23.设 f(x)在a，)上二阶可导，f(a)0，f“(a)0，且 f“(x)k(k0)，则 f(x)在(a，)

23、内的零点个数为( )（分数：2.00）A.0 个B.1 个 C.2 个D.3 个解析：解析：因为 f“(a)0，且 f“(x)k(k0)，所以 f(x)f(a)f“(a)(x 一 a) f(a) (x 一 a) 2 ，其中 介于 a 与 x 之间，而 ，故 24.设 k0，则函数 f(x)lnx 一 （分数：2.00）A.0 个B.1 个C.2 个 D.3 个解析：解析：函数 f(x)的定义域为(0，)，由 f“(x) 0 得 xe，当 0xe 时，f“(x)0；当 xe 时，f“(x)0，由驻点的唯一性知 xe 为函数 f(x)的最大值点，最大值为 f(e)k0，又二、填空题(总题数：17，

24、分数：34.00)25.设两曲线 yx 2 axb 与一 2y一 1xy 3 在点(一 1，1)处相切，则 a 1，b 2.（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：ab3）解析：解析：因为两曲线过点(一 1，1)，所以 b 一 a0，又由 yx 2 axb 得 a 一 2，再由一 2y一 1xy 3 得 26. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：27.设 f(x)在 x1 处一阶连续可导，且 f“(1)一 2，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：28. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正

25、确答案：2x(14x)e 8x）解析：解析：29.设 f(x)满足 f(x)f(x2)，f(0)0，又在(一 1，1)内 f“(x)x，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：因为在(一 1，1)内 f“(x)x， 所以在(一 1，1)内 f(x) 由 f(0)0 得 f(x)故30.若 f(x)2nx(1 一 x) n ，记 M n ，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：31.设 f(x)在 xa 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：32. （分

26、数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：0）解析：解析：当 x0 时，t0；当 t0 时，由 ye y 1，得 y0 33. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：34.设 yy(x)由 ye xy xcosx 一 10 确定，求 dy x0 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：2dx）解析：解析：当 x0 时，y1，将 ye xy xcosx 一 10 两边对 x 求导得 35. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案： ）解析：解析：36.设函数 yy(x)由 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：

27、正确答案：*）解析：解析：当 xIn2 时，t1；当 t1 时，y0 (1)当 t一 1 时， (2)当 t1 时，37.设 f(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：a2）填空项 1:_ （正确答案：b1）解析：解析：因为 f(x)在 x1 处可微，所以 f(x)在 x1 处连续， 于是 f(1 一 0)f(1)1f(10)ab，即 ab138.设 F(x) （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：*）解析：解析：39. （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：40.设 f(x，y)可微，f(1，2)2，f x “(1，

28、2)3，f y “(1，2)4，(x)fx，f(x，2x)，则 (1) 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：47）解析：解析：因为 (x)f x “x，f(x，2x)f y “x，f(x，2x)f x “(x，2x)2f y “(x，2x)，所以 (1)f x “1，f(1，2)f y “1，f(1，2)f x “(1，2)2f y “(1，2)34(38)4741.曲线 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：y2x4）解析：解析：三、解答题(总题数：9，分数：18.00)42.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（分数：2.00）_解析：43

29、.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：44.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：45.证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x1，2时有 当 x2，3时有 当 xn，n1时有从而有 又当 x1，2时， 当 x2，3时， 当 xn 一 1，n时， 从而有 故 于是 由夹逼定理得 )解析：46.设 f(x)a 1 ln(1x)a 2 ln(12x)a n ln(1nx)，其中 a 1 ，a 2 ，a n 为常数，且对一切 x 有f(x)e x 一 1证明：a 1 2a 2 na n 1（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：当 x0

30、 时，由f(x)e x 一 1得 ， )解析：47.求极限 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案： )解析：48.设函数 f(x)可导且 ，对任意的 x 0 ，作 x n1 f(x n )(n0，1，2，)，证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：x n1 一 x n f(x n )一 f(x n1 )f“( n )(x n 一 x n1 )，因为 f“(x)0，所以 x n1 一 x n 与 x n 一 x n1 同号，故x n 单调 即x n 有界，于是 存在， 根据 f(x)的可导性得 f(x)处处连续，等式 x n1 f(x n )两边令 n，得 )解析：49.56设 f

31、(x)在a，)上连续，且 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设 )解析：50.设 f(x)在a，b上连续，任取 x i a，b(i1，2，n)，任取 k i 0(i1，2，n)，证明：存在 a，b，使得 k 1 f(x 1 )k 2 f(x 2 )k n f(x n )(k 1 k 2 k n )f()（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x)在a，b上连续，所以 f(x)在a，b上取到最小值 m 和最大值 M， 显然有 mf(x i )M(i1，2，n)， 注意到 k i 0(i1，2，n)， 所以有 k i mk i f(x i )k i M(i1，2，n)， 同向不等式相加，得 (k 1 k 2 k n )mk 1 f(x 1 )k 2 f(x 2 )k n f(x n )(k 1 k 2 k n )M， 即 ， 由介值定理，存在 a，b，使得 )解析：