【考研类试卷】考研数学一（概率统计）模拟试卷23及答案解析.doc

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1、考研数学一（概率统计）模拟试卷 23 及答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B.C.D.3.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D.4.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( )（分数：2.00）

2、A.a=12，b=12B.a=12，b=32C.a=12，b=12D.a=12，b=325.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立D.X+Y 服从一维正态分布6.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.独立投骰子两次，X，Y 表示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY，则 P(A+B)= 1（分

3、数：2.00）填空项 1:_8.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)=37，P(X0)=P(Y0)=47，则 P(maxX，Y0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_9.设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_10.(1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 (2)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且 X i (i)(i=1，2，10)，Y=110 （分数：2.00）填空项 1:_填空项 1:_11.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X

4、1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体X，Y 的简单随机样本，则 U= （分数：2.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：12，分数：30.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_13.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_14.设一电路由三个电子元件串联而成，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_15.设随机变量 XE()，

5、令 Y= （分数：2.00）_设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：2.00）_(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：2.00）_(3).求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数（分数：2.00）_16.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_17.设由自动生产线加工的某种零件的内径 X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关

6、系： （分数：2.00）_设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= （分数：4.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：2.00）_(2). YZ （分数：2.00）_18.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_19.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_20.设总体 X 在区间(0，)内服从

7、均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_考研数学一（概率统计）模拟试卷 23 答案解析(总分：52.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：6，分数：12.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）_解析：2.设事件 A，B 互不相容，且 0P(A)1，则有( ) （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析：因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0，于是有 P(B|3.设 A，B 是任两个随机事件，下列事件中与 A+B=B 不等价的是( ) （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解

8、析：A+B=B 等价于 AB=A，AB=A 等价于 A =AAB，则 A4.设随机变量 X，Y 的分布函数分别为 F 1 (x)，F 2 (x)，为使得 F(x)=aF 1 (x)+bF 2 (x)为某一随机变量的分布函数，则有( )（分数：2.00）A.a=12，b=12B.a=12，b=32C.a=12，b=12D.a=12，b=32 解析：解析：根据性质 F(+)=1，得正确答案为(D)5.设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（分数：2.00）A.X，Y 一定相互独立B.(X，Y)一定服从二维正态分布C.X，Y 不一定相互独立 D.X+Y 服从一维正态分布解析：

9、解析：只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若 X，Y 都服从正态分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y 相互独立时才能推出 X+Y 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C)6.设总体 XN(0， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n 为总体 X 的简单随机样本， 与 S 2 分别为样本均值与样本方差，则( ) （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析：二、填空题(总题数：5，分数：10.00)7.独立投骰子两次，X，Y 表

10、示投出的点数，令 A=X+Y=10，B=XY，则 P(A+B)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1736）解析：解析：P(A)=PX=4，Y=6+PX=5，Y=5+PX=6，Y=4=3 =112， P(B)=PX=2，Y=1+PX=3，Y=1+PX=3，Y=2+PX=4，Y=3+PX=4，Y=2+PX=4，Y=1+PX=5，Y=4+PX=5，Y=3+P(X=5，Y=2+PX=5，Y=1+PX=6，Y=5+PX=6，Y=4+PX=6，Y=3+PX=6，Y=2+PX=6，Y=1=1536=512 P(AB)=P(X=6，Y=4=136， 则 P(A+B)=P(A)+P(

11、B)P(AB)8.设 X，Y 为两个随机变量，且 P(X0，Y0)=37，P(X0)=P(Y0)=47，则 P(maxX，Y0)= 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：57）解析：解析：令X0=A，Y0=B，则有 P(AB)=37，P(A)=P(B)=4，故 P(maxX，Y0)=1P(maxX，Y0)=1P(X0，Y0) =1P(9.设随机变量 XP()，且 E(X1)(X2)=1，则 = 1（分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：1）解析：解析：因为 XP()，所以 E(X)=，D(X)=，故 E(X 2 )=D(X)+E(X) 2 = 2 + 由E(

12、X1)(X2)=E(X 2 3X+2)=E(X 2 )3E(X)+2= 2 2+2=1 得 =110.(1)将一均匀的骰子连续扔六次，所出现的点数之和为 X，用切比雪夫不等式估计 P(14X28)= 1 (2)设随机变量 X 1 ，X 2 ，X 10 相互独立且 X i (i)(i=1，2，10)，Y=110 （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：(1)914）填空项 1:_ （正确答案：(2)3445）解析：解析：(1)设 X i 为第 i 次的点数(i=1，2，3，4，5，6)，则 X= X i ，其中 D(X i )=3512，i=1，2，3，4，5，6 则 E(X)=

13、6 =21，D(X)=6 =352，由切比雪夫不等式，有 P(14X28)=P(|XE(X)|7)1 =914 (2)由 X i (i)得 E(X i )=i，E(D i )=i(i=1，2，10)， 则 P(4Y7)=P(32YE(Y)32) =P(|YE(Y)|32) 11.设总体 X，Y 相互独立且服从 N(0，9)分布，(X 1 ，X 9 )与(Y 1 ，Y 9 )分别为来自总体X，Y 的简单随机样本，则 U= （分数：2.00）填空项 1:_ （正确答案：正确答案：t(9)）解析：解析：由 X 1 +X 2 +X 9 N(0，81)，得 19(X 1 +X 2 +X 9 )N(0，1

14、)因为 Y 1 ，Y 9 相互独立且服从 N(0，9)分布，所以(Y 1 3) 2 +(Y 1 3) 2 +(Y 9 3) 2 2 (9)，即 19(Y 1 2 +Y 9 2 ) 2 (9)因此 三、解答题(总题数：12，分数：30.00)12.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。_解析：13.某人打电话忘记对方号码最后一位，因而对最后一位数随机拨号，设拨完某地区规定的位数才完成一次拨号，且假设对方不占线，求到第 k 次才拨通对方电话的概率（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：令 A k =第 k 次拨通对方电话(k=1，2，10)， )解析：14.设一电路由三个电子元件串联而成

15、，且三个元件工作状态相互独立，每个元件的无故障工作时间服从参数为 的指数分布，设电路正常工作的时间为 T，求 T 的分布函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：设三个元件正常工作的时间为 T i (i=1，2，3)，T 1 ，T 2 ，T 3 相互独立且其分布函数都是 当 t0 时，令 A=T 1 t，B=T 2 t，C=T 3 t，且 A，B，C 独立， 则 F T (t)=P(Tt)=P(A+B+C) P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)P(AB)P(AC)P(BC)+P(ABC)， P(A)=P(B)=P(C)=1e t ， F T (t)=3(1e t )3(1e t

16、) 2 +(1e t ) 3 ， 于是 F T (t) )解析：15.设随机变量 XE()，令 Y= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：P(X+Y=0)=P(Y=X)=P(|X|1)=P(X1)+P(X1) =P(X1)=1P(X1)=1F X (1)=e F Y (y)=P(Yy)=P(Yy，|X|1)+P(Yy，|X|1) =P(Xy，|X|1)+P(Xy，X1)+P(Xy，X1) =P(Xy，0X1)+P(Xy，X1) 当 y1 时，F Y (y)=P(Xy)=e y ； 当1y0 时，F Y (y)=P(X1)=e ； 当 0y1 时，F Y (y)=P(Xy)+P(X1)=1

17、e y +e ； 当 y1 时，F Y (y)=P(0X1)+P(X1)=1， )解析：设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为 f(x，y)= （分数：6.00）(1).求随机变量 X，Y 的边缘密度函数；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：f X (x)= + f(x，y)dy 当 x0 时，f X (x)=0； 当 x0 时，f X (x)= + f(x，y)dy= 0 + 2e (x+2y) dy=e x e 2y d(2y)=e x ， 则 f X (x) f Y (y)= + f(x，y)dx， 当 y0 时，f Y (y)=0； 当 y0 时，f Y (x)= 0 + 2e

18、 (x+2y) dx=2e 2y 0 + e x dx=2e 2y ， 则 f Y (y) )解析：(2).判断随机变量 X，Y 是否相互独立；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 f(x，y)=f X (x)f Y (y)，所以随机变量 X，Y 相互独立)解析：(3).求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数和密度函数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F Z (z)=P(Zz)=P(X+2Yz)= f(x，y)dxdy， 当 z0 时，F Z (z)=0； 当 z0 时， = 0 z e x dx 0 (zx)2 e 2y d(2y) = 0 z e x (1e xz )dx=

19、1e z ze z ， )解析：16.设随机变量 X，Y 相互独立，且 X （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：F U (u)=P(Uu)=P(X+2Yu) =P(X=1)P(X+2Yu|X=1)+P(X=2)P(X+2Yu|X=2) 当 u1 时，F U (u)=0； 当 1u2 时，F U (u)=05 0 (u1)2 4e 4x dx=12(1e 22u )；当 u2 时，F U (u)=05 0 (u1)2 4e 4x dx+05 0 (u1)2 4e 4x dx=12(1e 22u )+ (1e 42u ) 故 f U (u) )解析：17.设由自动生产线加工的某种零件的内径

20、X(毫米)服从正态分布 N(，1)，内径小于 10 或大于 12 为不合格品，其余为合格产品销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润 T(单位：元)与销售零件的内径 X 有如下关系： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：E(T)=1P(X10)+20P(10X12)5P(X12) =(10)+20(12)(10)51(12) =25(12)21(10)5 )解析：设随机变量 X 服从参数为 2 的指数分布，令 U= （分数：4.00）(1).(U，V)的分布；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 服从参数为 2 的指数分布，所以 X 的分布函数为 (U，V)的可能取

21、值为(0，0)(0，1)，(1，0)，(1，1) P(U=0，V=0)=P(X1，X2)=P(X1)=F(1)=1e 2 ； P(U=0，V=1)=P(X1，X2)=0； P(U=1，V=1)=P(X1，X2)=P(X2)=1F(2)=e 4 ； P(U=1，V=0)=P(X1，X2)=e 2 e 2 (U，V)的联合分布律为 )解析：(2).U，V 的相关系数（分数：2.00）_正确答案：(正确答案： E(U)=e 2 ，E(V)=e 4 ，E(UV)=e 4 ，E(U 2 )=e 2 ，E(V 2 )=e 4 ，则 D(U)=E(U 2 )E(U) 2 =e 2 e 4 ，D(V)=E(V

22、 2 )E(V) 2 =e 4 e 8 Cov(U，V)=E(UV)E(U)E(V)=e 4 e 6 ， )解析：设随机变量 X 1 ，X 2 ，X m+n (mn)独立同分布，其方差为 2 ，令 Y= （分数：4.00）(1).D(Y)，D(Z)；（分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X 1 ，X 2 ，X m+n 相互独立，所以 D(Y)= D(X i )=n 2 ，D(Z)= )解析：(2). YZ （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：Cov(Y，Z)=Cov(X 1 +X m )+(X m+1 +X n )，X m1 +X m+n =Cov(X 1 +X m ，X m+

23、1 +X m+n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n ) =D(X m+1 +X n )+Cov(X m+1 +X n ，X n+1 +X m+n ) =(nm) 2 ， )解析：18.设总体 XN(， 2 )，X 1 ，X 2 ，X n+1 为总体 X 的简单随机样本，记 （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为 X n+1 N(， 2 )， N(， 2 n)，且它们相互独立， 相互独立，所以由 t 分布的定义，有 )解析：19.设总体 X 的密度函数为 f(x)= （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：()=f(x 1 )f(x 2 )f(x n ) l

24、nL()=nln+nlna+(a1) x i a =0，得参数 的极大似然估计量为 )解析：20.设总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，X 1 ，X 2 ，X 3 是来自总体的简单随机样本证明： （分数：2.00）_正确答案：(正确答案：因为总体 X 在区间(0，)内服从均匀分布，所以分布函数为 F U (u)=P(Uu)=P(maXX 1 ，X 2 ，X 3 u)=P(X 1 u，X 2 u，X 3 u) =P(X 1 u)P(X 2 u)P(X 3 u) F V (u)=P(Vv)=P(minX 1 ，X 2 ，X 3 v)=1P(minX 1 ，X 2 ，X 3 v) =1P(X 1 v，X 2 v，X 3 v)=1P(X 1 v)P(X 2 v)P(X 3 v) =11P(X 1 v)1P(X 2 v)1P(X 3 v) 则 U，V 的密度函数分别为 f U (x) 因为 E(43U)=43E(U) 都是参数 的无偏估计量 D(U)=E(U 2 )E(U) 2 D(V)=E(V 2 )E(V) 2 )解析：