【考研类试卷】考研数学一-函数、极限、连续及答案解析.doc

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1、考研数学一-函数、极限、连续及答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.函数 f(x)= （分数：1.00）A.B.C.D.2.已知函数 f(x)在(-，+)上单调增加，函数 g(x)在(-，+)上单调减少，则在(-，+)上单调减少的复合函数是(A) f-g(x) (B) gf(x) (C) ff(x) (D) gg(x)（分数：1.00）A.B.C.D.3.(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.4.数列 xn收敛于实数 a 等价于(A) 对任给的 0，在(a-，a+)内必有数列的无穷多项(B) 对任给的 0

2、，在(a-，a+)内仅有数列的有穷多项(C) 对任给的 0，在(a-，a+)外必有数列的无穷多项(D) 对任给的 0，在(a-，a+)外仅有数列的有穷多项（分数：1.00）A.B.C.D.5.“对于任意给定的 (0，1)，总存在正整数 N，当 nN 时恒有|x n-a|2”是数列|x n|收敛于 a 的(A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件但非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件（分数：1.00）A.B.C.D.6.设 xnz ny n，且 （分数：1.00）A.B.C.D.7.若 则下列正确的是(A) xny n(B) （分数：1.00）A.B.C.D.8.下列

3、命题正确的是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D.9.下列命题正确的是（分数：1.00）A.B.C.D.10.（分数：1.00）A.B.C.D.11.（分数：1.00）A.B.C.D.12.下列命题（分数：1.00）A.B.C.D.13.函数 y=f(x)在点 x0处可微， y=f(x0+h)-f(x0)，则 h0 时，必有(A) dy 是 h 的等价无穷小 (B) dy 是 h 的高阶无穷小(C) y-d y是比 h 高阶的无穷小 (D) y-d y是 h 的同阶无穷小（分数：1.00）A.B.C.D.14. （分数：1.00）A.B.C.D.15.当 x0 时(

4、1+x) x-1 是关于 x 的(A) 4 阶无穷小 (B) 3 阶无穷小(C) 2 阶无穷小 (D) 1 阶无穷小（分数：1.00）A.B.C.D.16.若当 x0 时 ax2+bx+c-cosx 是比 x2高阶无穷小，则常数 a，b，c 分别为（分数：1.00）A.B.C.D.17.若当 x0 时 sinln(1+x)-sinln(1-x)与 xn是同阶无穷小，则 n 为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（分数：1.00）A.B.C.D.18.下列命题正确的是(A) 若 f(x)在点 x0处连续，g(x)在点 x0处不连续，则 f(x)+g(x)在点 x0处可能连续(B) 若

5、f(x)在点 x0处连续，则 （分数：1.00）A.B.C.D.19.下列命题正确的是(A) 设 f(x)定义在(-，+)，若 c，f(x)在(-，c和(c，+)上均连续，则 f(x)在(-，+)上连续(B) 若 f(x)在 x=x0连续，则(C) 若 f(x)在 x=x0连续，g(x)在 x=x0不连续，则 f(x)g(x)在 x=x0不连续(D) 若 （分数：1.00）A.B.C.D.20.已知 f(x)，g(x)在(-，+)上连续，且 f(x)g(x)，则必有（分数：1.00）A.B.C.D.21.设 f(x) （分数：1.00）A.B.C.D.22.设 F(x) （分数：1.00）A.

6、B.C.D.23.若 （分数：1.00）A.B.C.D.24. （分数：1.00）A.B.C.D.25.下列命题设 f(x)在(-，+)连续， x 2，若 f(x1)f(x 2)，则对 f(x1)与 f(x2)之间的任何数 ，必，使得 f(C) =设 f(x)定义在a，b上并可以取到 f(A) ，f(B) 之间的一切值，则 f(x)在a，b上连续设 f(x)在a，b连续， （分数：1.00）A.B.C.D.26.下列命题（分数：1.00）A.B.C.D.27.下列命题不正确的是(A)设函数 f(x)在区间(a，b)内单调，则 f(x)只有第一类间断点(B)设函数 f(x)在闭区间a，b上单调有

7、界，且能取得 f(A) 与 f(B) 之间的一切值，则 f(x)在a，b上连续(C)若函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内连续，且 f(A) f(B) 0，则 f(x)在(a，b)内必有零点(D)设 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：1.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：39，分数：39.00)28.设函数 （分数：1.00）填空项 1:_29.设函数 （分数：1.00）填空项 1:_30.设 （分数：1.00）填空项 1:_31. （分数：1.00）填空项 1:_32.设 （分数：1.00）填空项 1:_33.设函数 处取得极值，则 （分数：1.00）填空

8、项 1:_34. （分数：1.00）填空项 1:_35. （分数：1.00）填空项 1:_36. （分数：1.00）填空项 1:_37. （分数：1.00）填空项 1:_38. （分数：1.00）填空项 1:_39. （分数：1.00）填空项 1:_40. （分数：1.00）填空项 1:_41. （分数：1.00）填空项 1:_42. （分数：1.00）填空项 1:_43. （分数：1.00）填空项 1:_44. （分数：1.00）填空项 1:_45. （分数：1.00）填空项 1:_46. （分数：1.00）填空项 1:_47. （分数：1.00）填空项 1:_48. （分数：1.00）填空

9、项 1:_49. （分数：1.00）填空项 1:_50. （分数：1.00）填空项 1:_51.设函数 f(x)具有二阶连续导数，点(x 0，f(x 0)是 f(x)上的拐点，则（分数：1.00）填空项 1:_52. （分数：1.00）填空项 1:_53.设常数 a0，函数 f(x)可导，且 f(A) =1，则 （分数：1.00）填空项 1:_54. （分数：1.00）填空项 1:_55. （分数：1.00）填空项 1:_56.设函数 f(x)与 g(x)在 x=0 的某邻域可求任意阶导数，且满足 f“(x)+f(x)g(x)+xf(x)=ex-1，f(0)=1，f(0)=0，则 （分数：1.

10、00）填空项 1:_57.设 f(x)为连续函数，且当 （分数：1.00）填空项 1:_58. （分数：1.00）填空项 1:_59. （分数：1.00）填空项 1:_60.已知当 x0 时，mx n与 1n(1-x3)+x3为等价无穷小，则 m=_，n=_（分数：1.00）填空项 1:_61.设 x0 时， （分数：1.00）填空项 1:_62.若当 x0 时 f(x) （分数：1.00）填空项 1:_63.设 f(x)是满足 =-1 的连续函数，且当 （分数：1.00）填空项 1:_64. （分数：1.00）填空项 1:_65. （分数：1.00）填空项 1:_66.设 f(x) （分数：

11、1.00）填空项 1:_三、解答题(总题数：50，分数：50.00)67.设函数 f(x)() 求 f(x)的表达式； () 证明函数 f(x)在 （分数：1.00）_68.设 f(x)是多项式，且 （分数：1.00）_69.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_70.求 （分数：1.00）_71.求 （分数：1.00）_72.设 （分数：1.00）_73.求 （分数：1.00）_74.设 f(x)在 x=0 的某邻域内可导，且 f(0)=1， （分数：1.00）_75. （分数：1.00）_76. （分数：1.00）_77. （分数：1.00）_78. （分数：1.00）_79

12、. （分数：1.00）_80. （分数：1.00）_81. （分数：1.00）_82. （分数：1.00）_83. （分数：1.00）_84. （分数：1.00）_85. （分数：1.00）_86. （分数：1.00）_87. （分数：1.00）_88. （分数：1.00）_89.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_90. （分数：1.00）_91. （分数：1.00）_92.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_93.求下列极限：(1) ； (2) （分数：1.00）_94. （分数：1.00）_95. （分数：1.00）_96. （分数：1.00）_97. （

13、分数：1.00）_98. （分数：1.00）_99.设函数 f(x)在 x=0 点处有 f(0)=0，f(0)=-1，求 （分数：1.00）_100.设函数 f(x)具有二阶连续导数，且 （分数：1.00）_101.设 0，f(x)在-，上有定义，f(0)=1,且满足试判断极限 （分数：1.00）_102.设 f(t)=et，且 （分数：1.00）_103.设x表示不超过 x 的最大整数，试确定 a 的值，使 （分数：1.00）_104.设 f(x)= (n 为自然数)，试确定常数 ， 的值，使 （分数：1.00）_105.确定常数 a，b 的值，使 （分数：1.00）_106.确定常数 （分

14、数：1.00）_107.确定常数。的值，使得 （分数：1.00）_108.已知当 （分数：1.00）_109.已知当 x0 时 x(a+be x2)sinx 是关于 x 的 5 阶无穷小，求常数 a，b 的值（分数：1.00）_110.设 f(x)= （分数：1.00）_111. （分数：1.00）_112. （分数：1.00）_113. （分数：1.00）_114. （分数：1.00）_115.设函数 f(x)对于a，b上任意两点 x1与 x2恒有|f(x 1)-f(x2)|q|x 1-x2|(其中 q 为常数)，且 f(A) f(B) 0，证明：至少存在一点 (a，b)，使得 f()=0（

15、分数：1.00）_116.已知 f(x)在a，b上连续，且对任意的 x1a，b，总存在 x2a，b，使得|f(x 2)|= （分数：1.00）_考研数学一-函数、极限、连续答案解析(总分：116.00，做题时间：90 分钟)一、选择题(总题数：27，分数：27.00)1.函数 f(x)= （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 在(-，+)上 x 是奇函数， 在(-，+)上是奇函数又因|2-cos x|3，从而 f(x)在(-，+)上是否有界取决于 在(-，+)上是否有界因 g(x)在(-，+)上连续，且2.已知函数 f(x)在(-，+)上单调增加，函数 g(x)在(-，+)上单调减少

16、，则在(-，+)上单调减少的复合函数是(A) f-g(x) (B) gf(x) (C) ff(x) (D) gg(x)（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 对于(A)：若 x1x 2，由于 g(x)为单调减少函数，所以 g(x1)g(x 2)，从而-g(x 1)-g(x2)又因为-f(x)为单调增加函数，所以 f-g(x1)f-g(x 2)，因此 f-g(x)单调增加对于(B)：若 x1x 2，由于函数 f(x)为单调增加函数，所以 f(x2)f(x 1)，又由于 g(x)为单调减少函数，所以 gf(x2)gf(x 1)，从而 gf(x)单调减少对于(C)：若 x1x 2，由于函数

17、f(x)为单调增加函数，所以 f(x2)f(x 1)，从而有 ff(x2)ff(x 1)，因此 f(x)单增对于(D)：若 x1x 2，由于 g(x)为单调减少函数，所以 g(x1)g(x 2)，从而有 gg(x1)gg(x 2)，因此gg(x)单增综上分析，应冼(B) 评注 不难证明如下一般结论：若 f(x)与 g(x)同为(-，+)上的单调增加或单调减少的函数，则复合函数ff(x)，fg(x)，gf(x)，gg(x)都是(-，+)上的单调增加函数；若 f(x)是(-，+)上单调增加的函数，而 g(x)是(-，+)上单调减少的函数，则f(-x)，fg(x)，gf(x)都是(-，+)上的单调减

18、少函数3.(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 令 cn=an+bn，则 bn=cn-an若4.数列 xn收敛于实数 a 等价于(A) 对任给的 0，在(a-，a+)内必有数列的无穷多项(B) 对任给的 0，在(a-，a+)内仅有数列的有穷多项(C) 对任给的 0，在(a-，a+)外必有数列的无穷多项(D) 对任给的 0，在(a-，a+)外仅有数列的有穷多项（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：分析一 例如数列 1，-1，1，-1，没有极限，但若令 n=1，则对任给 01，在区间(a-，a+)=(1-，1+)内(外)总有数列的无穷多项，由此知(A)

19、，(C)不正确；又如，令x n= ，其极限值为 0，但对任给 01，在区间(-，)内有无穷多项，(B)不正确故选(D) 由数列x n以 a 为极限的定义“对任给的 0，必存在自然数 N，使得只要 nN 就有|x n-a|”可知，在区间(a-，a+)之外最多只有数列x n的前 N 项，故应选(D)分析二 本题实际上是证明： ，数列x n中只有有限项 xn在 a 的 邻域(a-，a+)之外证明如下：，从而数列x n中至多前 N 项：x 1，x 2，x N在 A 的 邻域之外在 a 的 邻域之外，令 N=maxn1，n 2，n k，则当 aN 时，有|x n-a|因此5.“对于任意给定的 (0，1)

20、，总存在正整数 N，当 nN 时恒有|x n-a|2”是数列|x n|收敛于 a 的(A) 充分条件但非必要条件 (B) 必要条件但非充分条件(C) 充分必要条件 (D) 既非充分又非必要条件（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 极限 的直观含意是：n 无限增大时，|x n-a|无限趋于零； 的实质是 0 任意小， 可任意小，(0，1)，2 也可任意小从直观上看应选(C)评注 数列极限 有如下等价定义： 正整数 N，当 nN 时就有|x n-a|M ，其中 00，M0 分别为某常数证 若 0，取 1(0， 0)6.设 xnz ny n，且 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解

21、析 如果 ，因此不选(A)、(D)取 ，且7.若 则下列正确的是(A) xny n(B) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为8.下列命题正确的是(A) (B) (C) (D) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 ，由极限的四则运算法则即得 ，故应选(C)其他结论均不正确令无界，且9.下列命题正确的是（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 由极限的保号性质可得结论(D)正确其他结论均不正确对于(A)：令 对(B)：反例同上例对(C)：令10.（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 注意到 ，本题为 1 型极限，可断定该单侧极限与 x0 的极限相

22、等由于而即11.（分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 由于因此符合要求的常数，n=3，A=12.下列命题（分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 不正确如 评注 解此题常犯的错误是：评注 由无穷小的运算法则知正确考察 是无穷小， 是存在极限的变量，由无穷小的性质知，它们之积为无穷小，即不正确，因为无穷小与无穷小之比可以为无穷大，如13.函数 y=f(x)在点 x0处可微， y=f(x0+h)-f(x0)，则 h0 时，必有(A) dy 是 h 的等价无穷小 (B) dy 是 h 的高阶无穷小(C) y-d y是比 h 高阶的无穷小 (D) y-d y是 h 的同阶无穷小（分数：

23、1.00）A.B.C. D.解析：解析 由微分的性质可得 dy=f(x0)h，所以y=f(x 0)h+o(h)=dy+o(h)从而y-dy=o(h)(h0)，故应选(C)14. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 15.当 x0 时(1+x) x-1 是关于 x 的(A) 4 阶无穷小 (B) 3 阶无穷小(C) 2 阶无穷小 (D) 1 阶无穷小（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 因为16.若当 x0 时 ax2+bx+c-cosx 是比 x2高阶无穷小，则常数 a，b，c 分别为（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 17.若当 x0 时 sinln(1+x

24、)-sinln(1-x)与 xn是同阶无穷小，则 n 为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4（分数：1.00）A. B.C.D.解析：解析 由于所以18.下列命题正确的是(A) 若 f(x)在点 x0处连续，g(x)在点 x0处不连续，则 f(x)+g(x)在点 x0处可能连续(B) 若 f(x)在点 x0处连续，则 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 (A)显然不成立，若 f(x)+g(x)在点 x0处连续，因为f(x)+g(x)-f(x)=g(x)，由连续函数的性质知 g(x)在点 x0处连续(B)也应排除，这是因为 f(x0)可能为零(D)不正确，例如 f(x)19

25、.下列命题正确的是(A) 设 f(x)定义在(-，+)，若 c，f(x)在(-，c和(c，+)上均连续，则 f(x)在(-，+)上连续(B) 若 f(x)在 x=x0连续，则(C) 若 f(x)在 x=x0连续，g(x)在 x=x0不连续，则 f(x)g(x)在 x=x0不连续(D) 若 （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 利用 f(x)在点 x=x0处连续的定义可得故应选(B)对于(A)：若令 x0=c，则所给条件仅表明 f(x)在 x0左连续，不能保证在 x0右连续如显然 f(x)在(-，c连续(在点 x=c 处是左连续)，在(c，+)也连续，但在点 x=c 处不连续，因为因此

26、(A)不正确对于(C)： 不连续，而 f(x)g(x)在 x=0 处连续，所以(C)不正确对于20.已知 f(x)，g(x)在(-，+)上连续，且 f(x)g(x)，则必有（分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 由于 f(x)，g(x)在(-，+)上连续，所以对任意 x0(-，+)，都有 =f(x0)，所以不选(B)，(D)又(A)不正确故应选(C)评注 请考生利用连续性的 - 定义证明：设 f(x),g(x)在 x=x0连续，(1) 若(2) 21.设 f(x) （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 只需考虑-1x1 的情形对于(A) ：maxf(x)，g(x)=1，处处连

27、续22.设 F(x) （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 因为23.若 （分数：1.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然 (x)在 x=1 处连续故应选(D) 也可用变限定积分连续性的一般结论：“若24. （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 25.下列命题设 f(x)在(-，+)连续， x 2，若 f(x1)f(x 2)，则对 f(x1)与 f(x2)之间的任何数 ，必，使得 f(C) =设 f(x)定义在a，b上并可以取到 f(A) ，f(B) 之间的一切值，则 f(x)在a，b上连续设 f(x)在a，b连续， （分数：1.00）A.B. C.D.解析：解析 正确

28、在所设条件下， 在x 1，x 2上连续，在x 1，x 2上利用连续函数中间值定理得结论不正确例如：y=f(x)的图形如图 1-1，则有它取 f(0)=0，f(3)=3 之间的一切值，但它在0，3中有不连续点 x=1 与 x=2正确首先 由最大值与最小值的定义知，mf(x)M其次，因 f(x)在a，b连续，由最值定理知， ，使得f(x1)=m，f(x 2)=M再由连续函数的中间值定理知， ， 在 x1与 x2之间，即 xa，b，使得 f(x)=y这就证明了f(x)在a，b的值域为m，M不正确若 f(x)在a，b连续，我们已证此结论正确现考虑有不连续点的情形给定函数26.下列命题（分数：1.00）

29、A.B. C.D.解析：解析 不正确例如有界函数满足 ，但是 不存在正确因为，由 A0 可知， ，于是不正确例如函数 f(x)=sinx 有界，而函数 当 x0 时为无穷大，但是正确方法 1引进一个辅助雨数在所述条件下把讨论开区间上连续函数的有界性，转化为讨论闭区间上的连续函数的有界性令因为 ，所以 F(x)在 x=a 右连续同理 F(x)在 x=b 左连续又 f(x)在(a，b)连续，F(x)=f(x)(axb)，所以 F(x)在(a，b)连续于是 F(x)在a，b连续，在a，b有界因此 f(x)在(a，b)有界方法 2利用存在极限的函数的局部有界性定理，在所述条件下也可把开区间上连续函数的

30、有界性问题转化为有界闭区间上的情形由 ，a+b，当 x(a，a+)时 f(x)有界由 = ，a+b-，当 x(b-，b)时f(x)有界，又 f(x)在a+，b-连续，故有界因此 f(x)在(a，b)有界，评注 类似于该命题中方法 2可证明：若 f(x)在a，+)连续且存在极限 ，则 f(x)在a，+)有界若 f(x)在(-，+)连续，叉存在极限27.下列命题不正确的是(A)设函数 f(x)在区间(a，b)内单调，则 f(x)只有第一类间断点(B)设函数 f(x)在闭区间a，b上单调有界，且能取得 f(A) 与 f(B) 之间的一切值，则 f(x)在a，b上连续(C)若函数 f(x)在闭区间a，b上有定义，在开区间(a，b)内连续，且 f(A) f(B) 0，则 f(x)在(a，b)内必有零点(D)设 f(x)在(-，+)上连续，且 （分数：1.00）A.B.C. D.解析：解析 对于(A)：设函数 f(x)在区间(a，b)内单调增加， ，当 时，f(x)单调上升且有上界 f(x0)，于是同理若 f(x0-0)=f(x0+0)，则 x0是 f(x)的连续点否则，x 0为 f(x)的第一类间断点故(A) 正确对于(B)