2015年黑龙江省龙东地区中考真题数学.docx

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1、2015年黑龙江省龙东地区中考真题数学 一 .填空题 (每题 3 分，满分 30 分 ) 1. 2015 年 1月 29 日，联合国贸易和发展会议公布的全球投资趋势报告称， 2014 年中国吸引外国投资达 1280 亿美元，成为全球外国投资第一大目的地国 .1280 亿美元用科学记数法表示为 美元 . 解析 ：将 1280 亿用科学记数法表示为 1.28 1011. 答案： 1.28 1011. 2. 在函数 y= 21x 中，自变量 x 的取值范围是 . 解析 ：当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，即 2x+1 0.依题意，得 2x+1 0， 解得 x -12. 答案： x -123

2、.如图，菱形 ABCD 中，对角线 AC、 BD 相交于点 O，不添加任何辅助线，请添加一个条件 ，使四边形 ABCD 是正方形 (填一个即可 ). 解析 ： 四边形 ABCD 为菱形，当 BAD=90时，四边形 ABCD 为正方形 . 答案： BAD=90 . 4.在一个口袋中有 5 个除颜色外完全相同的小球，其中有 3 个黄球， 1 个黑球， 1 个白球，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率是 . 解析 ： 利用黄球的个数球的总个数可得黄球的概率 . 口袋中有 5 个球，其中有 3 个黄球， 摸到黄球的概率是： 35. 答案： 35. 5. 不等式组 5 1 23 2 4xx ， 的解集

3、是 . 解析 ： 5 1 23 2 4xx ，解得 x 4，解得 x 2，所以不等式组的解集为 2 x 4. 答案： 2 x 4. 6.关于 x 的分式方程2142mxx=0 无解，则 . 解析 ： 方程去分母得： m-(x-2)=0，解得： x=2+m， 当 x=2 时分母为 0，方程无解，即 2+m=2， m=0 时方程无解 . 当 x=-2 时分母为 0，方程无解，即 2+m=-2， m=-4 时方程无解 . 综上所述， m 的值是 0 或 -4. 答案： 0 或 -4. 7.如图，从直径是 2 米的圆形铁皮上剪出一个圆心角是 90的扇形 ABC(A、 B、 C 三点在 O上 )，将剪下

4、来的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径是 米 . 解析 ： 作 OD AC 于点 D，连接 OA， OAD=45， AC=2AD， AC=2(OA cos45 )= 2 ， 90 2180= 22 ， 圆锥的底面圆的半径 = 22 (2 )= 24. 答案： 24. 8. 某超市“五一放价”优惠顾客，若一次性购物不超过 300 元不优惠，超过 300 元时按全额 9 折优惠 .一位顾客第一次购物付款 180 元，第二次购物付款 288 元，若这两次购物合并成一次性付款可节省 元 . 解析 ： (1)若第二次购物超过 300 元， 设此时所购物品价值为 x 元，则 90%x=288，

5、解得 x=320. 两次所购物价值为 180+320=500 300. 所以享受 9 折优惠，因此应付 500 90%=450(元 ). 这两次购物合并成一次性付款可节省： 180+288-450=18(元 ). (2)若第二次购物没有过 300 元，两次所购物价值为 180+288=468(元 )， 这两次购物合并成一次性付款可以节省： 468 10%=46.8(元 ). 答案： 18 或 46.8. 9.正方形 ABCD 的边长是 4，点 P 是 AD 边的中点，点 E 是正方形边上的一点 .若 PBE 是等腰三角形，则腰长为 . 解析： 分情况讨论： (1)当 BP=BE 时，如图 1

6、所示： 四边形 ABCD 是正方形， AB=BC=CD=AD=4， A= C= D=90， P 是 AD 的中点， AP=DP=2， 根据勾股定理得： BP= 2 2 2 242A B A P =2 5 ； (2)当 BE=PE 时， E 在 BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点 E； 当 E 在 AB 上时，如图 2 所示： 则 BM=12BP= 5 ， BME= A=90， MEB= ABP， BME BAP， BE BMBP BA，即 5425BE ， BE= 52 ； 当 E 在 CD 上时，如图 3 所示： 设 CE=x，则 DE=4-x， 根据勾股定理得： BE2=B

7、C2+CE2， PE2=DP2+DE2， 42+x2=22+(4-x)2，解得： x=12， CE=12， BE= 22 2 2 1 6 5422B C C E ； 综上所述：腰长为： 2 5 ，或 52，或 652； 答案： 2 5 ，或 52，或 652. 10.如图，在平面直角坐标系中，点 A(0， 3 )、 B(-1， 0)，过点 A作 AB 的垂线交 x 轴于点A1，过点 A1作 AA1的垂线交 y 轴于点 A2，过点 A2作 A1A2的垂线交 x 轴于点 A3按此规律继续作下去，直至得到点 A2015为止，则点 A2015坐标为 . 解析： A(0， 3 )、 B(-1， 0)，

8、AB AA1， A1的坐标为： (3， 0)， 同理可得： A2的坐标为： (0， -3 3 )， A3的坐标为： (-9， 0)， 2015 4=503 3，点 A2015坐标为 (-31008， 0). 答案： (-31008， 0) 二 .选择题 (每小题 3 分，共 30 分 ) 11.下列各运算中，计算正确的是 ( ) A.a2+a3=a5 B.a6 a2=a3 C.(-2)-1=2 D.(a2)3=a6 解析： A、 a2 a3=a5，故错误； B、 a6 a2=a4，故错误； C、 (-2)-1=-12，故错误； D、正确 . 答案： D 12.下列图形中，既是轴对称图形又是中心

9、对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 解析： A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误； C、既是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误 . 答案： C 13.关于反比例函数 y=-2x，下列说法正确的是 ( ) A.图象过 (1， 2)点 B.图象在第一、三象限 C.当 x 0 时， y 随 x 的增大而减小 D.当 x 0 时， y 随 x 的增大而增大 解析： k=-2 0，所以函数图象位于二四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大，图象是轴对称图象，故 A

10、、 B、 C 错误 . 答案： D 14.由几个相同的小正方形搭成的一个几何体如图所示，这个几何体的主视图是 ( ) A. B. C. D. 解析：从正面看第一层是三个小正方形，第二层是靠右边两个小正方形 . 答案： A 15.近十天每天平均气温 ( )统计如下： 24， 23， 22， 24， 24， 27， 30， 31， 30， 29.关于这10 个数据下列说法不正确的是 ( ) A.众数是 24 B.中位数是 26 C.平均数是 26.4 D.极差是 9 解析： 数据 24 出现了三次最多， 众数为 24，故 A 选项正确； 数据按从小到大的顺序排列为： 22， 23， 24， 24，

11、 24， 27， 29， 30， 30， 31， 中位数为 (24+27) 2=25.5，故 B 选项错误； 平均数 =(22+23+24 3+27+29+30 2+31) 10=26.4，故 C 选项正确； 极差 =31-22=9，故 D 选项正确 . 答案： B 16.如图所示的容器内装满水，打开排水管，容器内的水匀速流出，则容器内液面的高度 h随时间 x 变化的函数图象最接近实际情况的是 ( ) A. B. C. D. 解析： 圆柱的直径较长，圆柱的高较低，水流下降较慢；圆柱的直径变长，圆柱的高变低，水流下降变慢；圆柱的直径变短，圆柱的高变高，水流下降变快 . 答案： A 17.如图，

12、O 的半径是 2， AB 是 O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1 OP 2，则弦 AB所对的圆周角的度数是 ( ) A.60 B.120 C.60或 120 D.30或 150 解析： 作 OD AB，如图， 点 P 是弦 AB 上的动点，且 1 OP 2， OD=1， OAB=30， AOB=120， AEB= 12 AOB=60， E+ F=180， F=120， 即弦 AB 所对的圆周角的度数为 60或 120 . 答案： C 18. ABC 中， AB=AC=5， BC=8，点 P是 BC 边上的动点，过点 P 作 PD AB 于点 D， PE AC于点 E，则 PD+PE

13、 的长是 ( ) A.4.8 B.4.8 或 3.8 C.3.8 D.5 解析： 过 A 点作 AF BC 于 F，连结 AP， ABC 中， AB=AC=5， BC=8， BF=4， ABF 中， AF= 22AB BF =3， 12 8 3=12 5 PD+12 5 PE， 12=12 5 (PD+PE)， PD+PE=4.8. 答案： A. 19.为推进课改，王老师把班级里 40 名学生分成若干小组，每小组只能是 5 人或 6 人，则有几种分组方案 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析： 设 5 人一组的有 x 个， 6 人一组的有 y 个，根据题意可得： 5x+6y=40， 当

14、 x=1，则 y=356(不合题意 )； 当 x=2，则 y=5； 当 x=3，则 y=256(不合题意 )； 当 x=4，则 y=103(不合题意 )； 当 x=5，则 y=52(不合题意 )； 当 x=6，则 y=53(不合题意 )； 当 x=7，则 y56(不合题意 )； 当 x=8，则 y=0；故有 2 种分组方案 . 答案： C. 20.如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 AD 边中点， BD、 CE 交于点 H， BE、 AH 交于点 G，则下列结论： AG BE； BG=4GE； S BHE=S CHD； AHB= EHD. 其中正确的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3

15、D.4 解析： 四边形 ABCD 是正方形， E 是 AD 边上的中点， AE=DE， AB=CD， BAD= CDA=90， 在 BAE 和 CDE 中 ， A E D EB A E C D EA B C D ， BAE CDE(SAS)， ABE= DCE， 四边形 ABCD 是正方形， AD=DC， ADB= CDB=45， 在 ADH 和 CDH 中，A D C DA D H C D HD H D H ， ADH CDH(SAS)， HAD= HCD， ABE= DCE， ABE= HAD， BAD= BAH+ DAH=90， ABE+ BAH=90， AGB=180 -90 =90，

16、 AG BE，故正确； tan ABE=tan EAG=12， AG=12BG， GE=12AG， BG=14EG，故正确； AD BC， S BDE=S CDE， S BDE-S DEH=S CDE-S DEH，即； S BHE=S CHD，故正确； ADH CDH， AHD= CHD， AHB= CHB， BHC= DHE， AHB= EHD，故正确 . 答案： D. 三 .解答题 (满分 60 分 ) 21.先化简，再求值： 2221121xxx x x x ，其中 x=sin30 . 解析： 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出 x 的值代入进行计算即可 . 答案： 原式 =

17、 21xxx 11xx=1xx，当 x=12时，原式 =121 12=-1. 22.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内， ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2， -4)， B(4， -4)， C(1， -1). (1)画出 ABC 关于 y 轴对称的 A1B1C1，直接写出点 A1的坐标 ； (2)画出 ABC 绕点 O 逆时针旋转 90后的 A2B2C2； (3)在 (2)的条件下，求线段 BC 扫过的面积 (结果保留 ). 解析： (1)根据题意画出即可；关于 y 轴对称点的坐标纵坐标不变，横坐标互为相反数； (2)根据网格结构找出点 A、 B、 C

18、 以点 O 为旋转中心顺时针旋转 90后的对应点，然后顺次连接即可； (3)利用 ABC 旋转时 BC 线段扫过的面积22B O B C O CSS扇 形 扇 形即可求出 . 答案： (1)如图所示， A1坐标为 (-2， -4). (2)如图所示 . (3) OC= 2 ， OB=4 2 ， ABC 旋转时 BC 线段扫过的面积 22B O B C O CSS扇 形 扇 形= 22 9 0 3 2 29 0 9 0 1 53 6 0 3 6 0 3 6 0 2O B O C . 23.如图，抛物线 y=x2-bx+c 交 x 轴于点 A(1， 0)，交 y轴于点 B，对称轴是 x=2. (1

19、)求抛物线的解析式； (2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使 PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)根据抛物线经过点 A(1， 0)，对称轴是 x=2 列出方程组，解方程组求出 b、 c 的值即可； (2)因为点 A 与点 C 关于 x=2 对称，根据轴对称的性质，连接 BC 与 x=2 交于点 P，则点 P 即为所求，求出直线 BC 与 x=2 的交点即可 . 答案： (1)由题意得， 1022bcb ，解得 b=4， c=3，抛物线的解析式为 .y=x2-4x+3. (2)点 A 与点 C 关于 x=2 对称， 连接

20、BC 与 x=2 交于点 P，则点 P 即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点 C 的坐标为 (3， 0)， y=x2-4x+3 与 y 轴的交点为 (0， 3)， 设直线 BC 的解析式为： y=kx+b， 303kbb，解得， k=-1， b=3， 直线 BC 的解析式为： y=-x+3，则直线 BC 与 x=2 的交点坐标为： (2， 1). 点 P 的交点坐标为： (2， 1). 24 学生对小区居民的健身方式进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图 . 请根据所给信息解答下列问题： (1)本次共调查 人； (2)补全图 (1)中的条形统计图，图 (2)中“跑步”所在扇形对应

21、的圆心角度数是 ； (3)估计 2000 人中喜欢打太极的大约有多少人？ 解析： (1)用广场舞的人数除以广场舞所占的百分比，即可得到调查的人数； (2)算出球类的人数，即可补全条形统计图；算出跑步所占的百分比乘以 360，即可得到所对应圆心角的度数； (3)根据样本估计总体，即可解答 . 答案： (1)18 36%=50(人 ). (2)球类的人数： 50-3-17-18-5=7(人 )，“跑步”所在扇形对应的圆心角度数是： 550 360=36 . 如图所示： (3)2000 350=120(人 ). 答：估计 2000 人中喜欢打太极的大约有 120 人 . 25.某天早晨，张强从家跑步

22、去体育锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家 (张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行走 ).如图是两人离家的距离 y(米 )与张强出发的时间 x(分 )之间的函数图象，根据图象信息解答下列问题： (1)求张强返回时的速度； (2)妈妈比按原速返回提前多少分钟到家？ (3)请直接写出张强与妈妈何时相距 1000 米？ 解析： (1)根据速度 =路程时间，即可解答； (2)求出妈妈原来的速度，妈妈原来走完 3000 米所用的时间，即可解答； (3)分别求出张强和妈妈的函数解析式，根据张强与妈妈相距 1000 米，列出方

23、程，即可解答 . 答案： (1)3000 (50-30)=3000 20=150(米 /分 )， 答：张强返回时的速度为 150 米 /分； (2)(45-30) 150=2250(米 )，点 B 的坐标为 (45， 750)， 妈妈原来的速度为： 2250 45=50(米 /分 )， 妈妈原来回家所用的时间为： 3000 50=60(分 )， 60-50=10(分 )， 妈妈比按原速返回提前 10 分钟到家； (3)如图： 设线段 BD 的函数解析式为： y=kx+b， 把 (0， 3000)， (45， 750)代入得： 300045 750bkb，解得： 503000kb， y=-50x

24、+3000， 线段 OA 的函数解析式为： y=100x(0 x 30)， 设线段 AC 的解析式为： y=k1x+b1， 把 (30， 3000)， (50， 0)代入得： 11113 0 3 0 0 05 0 0kbkb，解得： 111507500kb， y=-150x+7500， (30 x 50). 当张强与妈妈相距 1000 米时，即 -50x+3000-100x=1000 或 -150x+7500-(-50x+3000)=1000或 (-150x+7500)-(-50x+3000)=1000，解得： x=35 或 x=403或 x=803， 当时间为 35 分或 403分或 803

25、分时，张强与妈妈何时相距 1000 米 . 26.如图，四边形 ABCD 是正方形，点 E 在直线 BC 上，连接 AE.将 ABE沿 AE 所在直线折叠，点 B 的对应点是点 B，连接 AB并延长交直线 DC 于点 F. (1)当点 F 与点 C 重合时如图 (1)，易证： DF+BE=AF(不需证明 )； (2)当点 F 在 DC 的延长线上时如图 (2)，当点 F 在 CD 的延长线上时如图 (3)，线段 DF、 BE、AF 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明 . 解析： (1)由折叠可得 AB=AB， BE=B E，再根据四边形 ABCD 是正方形，易证 B

26、E=B F，即可证明 DF+BE=AF； (2)图 (2)的结论： DF+BE=AF；图 (3)的结论： BE-DF=AF；证明图 (2)：延长 CD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG，需证 ABE ADG， 根据 CB AD，得 AEB= EAD，即可得出 B AE= DAG，则 GAF= DAE，则 AGD= GAF，即可得出答案 BE+DF=AF. 答案： (1)由折叠可得 AB=AB， BE=B E， 四边形 ABCD 是正方形， AB=DC=DF， CB E=45， B E=B F， AF=AB +B F，即 DF+BE=AF. (2)图 (2)的结论： DF+BE=AF； 图

27、(3)的结论： BE-DF=AF； 图 (2)的证明：延长 CD 到点 G，使 DG=BE，连接 AG， 需证 ABE ADG， CB AD， AEB= EAD， BAE= B AE， B AE= DAG， GAF= DAE， AGD= GAF， GF=AF， BE+DF=AF； 图 (3)的证明：在 BC 上取点 M，使 BM=DF，连接 AM，需证 ABM ADF， BAM= FAD， AE=AM ABE A BE BAE= EAB， MAE= DAE， AD BE， AEM= DAB， MAE= AEM， ME=MA=AF， BE-DF=AF. 27.某企业开展献爱心扶贫活动，将购买的

28、60 吨大米运往贫困地区帮扶贫困居民，现有甲、乙两种货车可以租用 .已知一辆甲种货车和 3 辆乙种货车一次可运送 29 吨大米， 2 辆甲种货车和 3 辆乙种货车一次可运送 37 吨大米 . (1)求每辆甲种货车和每辆乙种货车一次分别能装运多少吨大米？ (2)已知甲种货车每辆租金为 500 元，乙种货车每辆租金为 450 元，该企业共租用 8 辆货车 .请求出租用货车的总费用 w(元 )与租用甲种货车的数量 x(辆 )之间的函数关系式 . (3)在 (2)的条件下，请你为该企业设计如何租车费用最少？并求出最少费用是多少元？ 解析： (1)根据题意列出方程组求解即可； (2)将两车的费用相加即可

29、求得总费用的函数解析式； (3)根据一次函数得到当 x 越小时，总费用越小，分别代入 1， 2， 3， 4 得到最小值即可 . 答案： (1)设甲种货车 x 辆，乙种货车 y 辆， 根据题意得： 3 292 3 37xyxy，解得： 87xy，答：甲车装 8 吨，乙车装 7 吨； (2)设甲车 x 辆，则乙车为 (8-x)辆， 根据题意得： w=500x+450(8-x)=50x+3600(1 x 8). (3)当 x=1 时，则 8-x=7， w=8+7 7=57 60 吨，不合题意； 当 x=2 时，则 8-x=6， w=8 2+7 6=58 60 吨，不合题意； 当 x=3 时，则 8-

30、x=5， w=8 3+7 5=59 60 吨，不合题意； 当 x=4 时，则 8-x=4， w=8 4+7 4=60 吨，符合题意； 租用 4 辆甲车， 4 辆乙车时总运费最省，为 50 4+3600=3800 元 . 28.如图，四边形 OABC 是矩形，点 A、 C 在坐标轴上， ODE 是 OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的，点 D在 x轴上，直线 BD交 y轴于点 F，交 OE于点 H，线段 BC、 OC的长是方程 x2-6x+8=0的两个根，且 OC BC. (1)求直线 BD 的解析式； (2)求 OFH 的面积； (3)点 M 在坐标轴上，平面内是否存在点 N，使以点 D、

31、 F、 M、 N 为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由 . 解析： (1)解方程可求得 OC、 BC 的长，可求得 B、 D 的坐标，利用待定系数法可求得直线 BD的解析式； (2)可求得 E 点坐标，求出直线 OE 的解析式，联立直线 BD、 OE 解析式可求得 H 点的横坐标，可求得 OFH 的面积； (3)当 MFD 为直角三角形时，可找到满足条件的点 N，分 MFD=90、 MDF=90和 FMD=90三种情况，分别求得 M 点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标 ，再利用中点坐标公式可求得 N 点坐标 . 答案： (1)解方程 x2-6x+8

32、=0 可得 x=2 或 x=4， BC、 OC 的长是方程 x2-6x+8=0 的两个根，且 OC BC， BC=2， OC=4， B(-2， 4)， ODE 是 OCB 绕点 O 顺时针旋转 90得到的， OD=OC=4， DE=BC=2， D(4， 0)， 设直线 BD 解析式为 y=kx+b， 把 B、 D 坐标代入可得 2440kbkb ，解得2383kb ，直线 BD 的解析式为 y=-23x+83. (2)由 (1)可知 E(4， 2)， 设直线 OE 解析式为 y=mx， 把 E 点坐标代入可求得 m=12， 直线 OE 解析式为 y=12x， 令 -23x+83=12x，解得

33、x=167， H 点到 y 轴的距离为 167， 又由 (1)可得 F(0， 83)， OF=83， S OFH=12 83 167=6421. (3)以点 D、 F、 M、 N 为顶点的四边形是矩形， DFM 为直角三角形， 当 MFD=90时，则 M 只能在 x 轴上，连接 FN 交 MD于点 G，如图 1， 由 (2)可知 OF=83， OD=4，则有 MOF FOD， OM OFOF OD，即 88334OM ，解得 OM=169 ， M(-169 ， 0)，且 D(4， 0)， G(109 ， 0)， 设 N 点坐标为 (x， y)，则 0 1029x ， 83 02y ， 解得 x

34、=209， y=-83，此时 N 点坐标为 (209， -83)； 当 MDF=90时，则 M 只能在 y 轴上，连接 DN 交 MF于点 G，如图 2， 则有 FOD DOM， OF ODOD OM，即 8 434 OM，解得 OM=6， M(0， -6)，且 F(0， 83)， MG=12MF=133，则 OG=OM-MG=6-133=53， G(0， -53)， 设 N 点坐标为 (x， y)，则 42x=0， 02y=-53，解得 x=-4， y=-103，此时 N(-4， -103)； 当 FMD=90时，则可知 M 点为 O 点，如图， 四边形 MFND 为矩形， NF=OD=4， ND=OF=83，可求得 N(4， 83)； 综上可知存在满足条件的 N 点，其坐标为 (209， -83)或 (-4， -103)或 (4， 83).