2015年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II）数学理.docx

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1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 II)数学理 1.已知集合 A=-2， -1， 0， 1， 2， B=x|(x-1)(x+2) 0，则 A B=( ) A.-1， 0 B.0， 1 C.-1， 0， 1 D.0， 1， 2 解析 ： B=x|-2 x 1， A=-2， -1， 0， 1， 2， A B=-1， 0. 故选： A 2.若 a 为实数，且 (2+ai)(a-2i)=-4i，则 a=( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 ：因为 (2+ai)(a-2i)=-4i，所以 4a+(a2-4)i=-4i， 4a=0，并且 a2-4=-4，所以 a=0. 故选：

2、B 3.根据如图给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量 (单位：万吨 )柱形图，以下结论中不正确的是 ( ) A.逐年比较， 2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B.2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效 C.2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D.2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 解析 ： A 从图中明显看出 2008 年二氧化硫排放量比 2007 年的二氧化硫排放量明显减少，且减少的最多，故 A 正确； B2004-2006 年二氧化硫排放量越来越多，从 2007 年开始二氧化硫排放量变少，故 B 正确； C 从图中看出， 2006

3、年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，故 C 正确； D2006 年以来我国二氧化硫年排放量越来越少，而不是与年份正相关，故 D 错误 . 故选： D 4.已知等比数列 an满足 a1=3， a1+a3+a5=21，则 a3+a5+a7=( ) A.21 B.42 C.63 D.84 解析 ： a1=3， a1+a3+a5=21， a1(1+q2+q4)=21， q4+q2+1=7， q4+q2-6=0， q2=2， a3+a5+a7=a1(q2+q4+q6)=3 (2+4+8)=42. 故选： B 5.设函数 f(x)= ，则 f(-2)+f(log212)=( ) A.3 B.6 C.9 D

4、.12 解析 ：函数 f(x)= ， 即有 f(-2)=1+log2(2+2)=1+2=3， f(log212)= 212 12log =12 12=6，则有 f(-2)+f(log212)=3+6=9. 故选 C 6.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A.18B.17C.16D.15解析 ： 设正方体的棱长为 1，由三视图判断，正方体被切掉的部分为以棱锥， 正方体切掉部分的体积为 13 12 1 1 1=16， 剩余部分体积为 1-16=56， 截去部分体积与剩余部分体积的比值为 15. 故选： D 7.过三点 A(1， 3

5、)， B(4， 2)， C(1， -7)的圆交 y 轴于 M， N 两点，则 |MN|=( ) A.2 6 B.8 C.4 6 D.10 解析 ：设圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0，则 ， D=-2， E=4， F=-20， x2+y2-2x+4y-20=0， 令 x=0，可得 y2+4y-20=0， y=-2 2 6 ， |MN|=4 6 . 故选： C 8.如图程序抗土的算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损术” .执行该程序框图，若输入 a， b 分别为 14， 18，则输出的 a=( ) A.0 B.2 C.4 D.14 解析 ： 模拟执行程序框图，可得 a=14

6、， b=18， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=4， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=10， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=6， 满足条件 a b，满足条件 a b， a=2， 满足条件 a b，不满足条件 a b， b=2， 不满足条件 a b，输出 a 的值为 2. 故选： B 9.已知 A， B 是球 O 的球面上两点， AOB=90， C 为该球面上的动点，若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为 ( ) A.36 B.64 C.144 D.256 解析 ：如图所示，当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点时，三棱锥 O-AB

7、C 的体积最大，设球O 的半径为 R，此时 VO-ABC=VC-AOB=13 12 R2 R=16R3=36，故 R=6，则球 O 的表面积为 4 R2=144 . 故选 C 10.如图，长方形 ABCD 的边 AB=2， BC=1， O 是 AB 的中点，点 P 沿着边 BC， CD与 DA 运动，记 BOP=x.将动点 P 到 A， B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y=f(x)的图象大致为( ) A. B. C. D. 解析 ： 由对称性可知函数 f(x)关于 x=2对称， 且当 0 x4时， BP=tanx， AP= ， 此时 f(x)= +tanx， 0 x4，此时单

8、调递增，排除 A， C(不是直线递增 )， D. 故选： B 11.已知 A， B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上， ABM 为等腰三角形，顶角为 120，则 E 的离心率为 ( ) A. 5 B.2 C. 3 D. 2 解析 ：设 M 在双曲线 的左支上， 且 MA=AB=2a， MAB=120， 则 M 的坐标为 (-2a， 3 a)， 代入双曲线方程可得 ， 可得 a=b， c= ，即有 e=ca= 2 . 故选： D 12.设函数 f (x)是奇函数 f(x)(x R)的导函数， f(-1)=0，当 x 0 时， xf (x)-f(x) 0，则使得 f(x) 0 成立的

9、 x 的取值范围是 ( ) A.(-， -1) (0， 1) B.(-1， 0) (1， + ) C.(-， -1) (-1， 0) D.(0， 1) (1， + ) 解析 ：设 g(x)= fxx，则 g(x)的导数为： g (x)= ， 当 x 0 时总有 xf (x) f(x)成立， 即当 x 0 时， g (x)恒小于 0， 当 x 0 时，函数 g(x)= fxx为减函数， 又 g(-x)= =f(x)x=g(x)，函数 g(x)为定义域上的偶函数 又 g(-1)= =0，函数 g(x)的图象性质类似如图： 数形结合可得，不等式 f(x) 0 x g(x) 0 或 ， 0 x 1或

10、x -1. 故选： A 13.设向量 a ， b 不平行，向量 a +b 与 a +2b 平行，则实数 = . 解析 ：因为向量 a ， b 不平行，向量 a +b 与 a +2b 平行 ，所以 a +b = (a +2b )， 所以 ，解得 = =12. 故答案为： 1214.若 x， y 满足约束条件 ，则 z=x+y 的最大值为 . 解析 ： 不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过 D 点时， z 最大， 由 得 D(1， 12)， 所以 z=x+y 的最大值为 1+12=32. 故答案为： 3215. (a+x)(1+x)4的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32，则 a

11、= . 解析 ：设 f(x)=(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+ +a5x5， 令 x=1，则 a0+a1+a2+ +a5=f(1)=16(a+1)， 令 x=-1，则 a0-a1+a2- -a5=f(-1)=0. -得， 2(a1+a3+a5)=16(a+1)， 所以 2 32=16(a+1)，所以 a=3. 故答案为： 3 16.设 Sn是数列 an的前 n 项和，且 a1=-1， an+1=SnSn+1，则 Sn= . 解析 ： an+1=SnSn+1， an+1=Sn+1-Sn=SnSn+1， =1，即 =-1， 又 a1=-1，即 =-1，数列 1nS是以首项和公差均为

12、 -1 的等差数列， 1nS=-1-1(n-1)=-n， Sn=-1n. 故答案为： -1n17. ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分 BAC， ABD 面积是 ADC 面积的 2 倍 . (1)求 ； (2)若 AD=1， DC= 22，求 BD 和 AC 的长 . 解析： (1)如图，过 A 作 AE BC 于 E，由已知及面积公式可得 BD=2DC，由 AD 平分 BAC 及正弦定理可得 ， sin C= ，从而得解 . (2)由 (1)可求 BD= 2 .过 D作 DM AB于 M，作 DN AC 于 N，由 AD 平分 BAC，可求 AB=2AC，令 AC=x，则 AB

13、=2x，利用余弦定理即可解得 BD 和 AC 的长 . 答案： (1)如图，过 A 作 AE BC 于 E， =2， BD=2DC， AD 平分 BAC， BAD= DAC， 在 ABD 中， ， sin B= ； 在 ADC 中， ， sin C= ； . (2)由 (1)知， BD=2DC=2 22= 2 . 过 D 作 DM AB 于 M，作 DN AC 于 N， AD 平分 BAC， DM=DN， =2， AB=2AC， 令 AC=x，则 AB=2x， BAD= DAC， cos BAD=cos DAC， 由余弦定理可得： ， x=1， AC=1， BD 的长为 2 ， AC 的长为

14、1. 18.某公司为了解用户对其产品的满意度，从 A， B 两地区分别随机调查了 20 个用户，得到用户对产品的满意度评分如下： A 地区： 62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区： 73 83 62 51 91 46 53 73 64 82 93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度 (不要求计算出具体值，给出结论即可 )； (2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级

15、： 记事件 C：“ A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”，假设两地区用户的评价结果相互独立，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的频率，求 C 的概率 . 解析： ( )根据茎叶图的画法，以及有关茎叶图的知识，比较即可； ( )根据概率的互斥和对立，以及概率的运算公式，计算即可 . 答案 ： (1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下 ： 通过茎叶图可以看出， A 地区用户满意评分的平均值高于 B 地区用户满意评分的平均值； A地区用户满意度评分比较集中， B 地区用户满意度评分比较分散； ( )记 CA1表示事件“ A 地区用户满意度等级为满意或非常满意”， 记 C

16、A2表示事件“ A 地区用户满意度等级为非常满意”， 记 CB1表示事件“ B 地区用户满意度等级为不满意”， 记 CB2表示事件“ B 地区用户满意度等级为满意”， 则 CA1与 CB1独立， CA2与 CB2独立， CB1与 CB2互斥， 则 C=CA1CB1 CA2CB2， P(C)=P(CA1CB1)+P(CA2CB2)=P(CA1)P(CB1)+P(CA2)P(CB2)， 由所给的数据 CA1， CA2， CB1， CB2，发生的频率为 1620， 420， 1020， 820， 所以 P(CA1)=1620， P(CA2)= 420， P(CB1)=1020， P(CB2)=820

17、， 所以 P(C)= =0.48. 19.如图，长方体 ABCD-A1B1C1D1中， AB=16， BC=10， AA1=8，点 E， F分别在 A1B1， D1C1上， A1E=D1F=4，过点 E， F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 . (1)在图中画出这个正方形 (不必说明画法和理由 )； (2)求直线 AF 与平面所成角的正弦值 . 解析： (1)容易知道所围成正方形的边长为 10，再结合长方体各边的长度，即可找出正方形的位置，从而画出这个正方形； (2)分别以直线 DA， DC， DD1为 x， y， z 轴，建立空间直角坐标系，考虑用空间向量解决本问，能够确定 A

18、， H， E， F 几点的坐标 .设平面 EFGH 的法向量为 n =(x， y， z)，根据即可求出法向量 n ， AF 坐标可以求出，可设直线 AF与平面 EFGH所成角为，由 sin =|cos n ， AF |即可求得直线 AF 与平面所成角的正弦值 . 答案 ： (1)交线围成的正方形 EFGH 如图： (2)作 EM AB，垂足为 M，则： EH=EF=BC=10， EM=AA1=8； MH= =6， AH=10； 以边 DA， DC， DD1所在直线为 x， y， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，则： A(10， 0， 0)， H(10， 10， 0)， E(10， 4， 8

19、)， F(0， 4， 8)； EF =(-10， 0， 0)， EH =(0， 6， -8)； 设 n =(x， y， z)为平面 EFGH 的法向量，则： ，取 z=3，则 n =(0， 4，3)； 若设直线 AF 和平面 EFGH 所成的角为，则： sin =|cos AF ， n |= ； 直线 AF 与平面所成角的正弦值为 . 20.已知椭圆 C： 9x2+y2=m2(m 0)，直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴， l与 C 有两个交点A， B，线段 AB 的中点为 M. (1)证明：直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值； (2)若 l 过点 (3m， m)，延长线段 O

20、M 与 C 交于点 P，四边形 OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时 l 的斜率；若不能，说明理由 . 解析： (1)联立直线方程和椭圆方程，求出对应的直线斜率即可得到结论 . (2)四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP=2xM，建立方程关系即可得到结论 . 答案 ： (1)设直线 l： y=kx+b， (k 0， b 0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(xM， yM)， 将 y=kx+b 代入 9x2+y2=m2(m 0)，得 (k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0， 则 x1+x2= ，则 xM= ， yM=kxM+

21、b= ， 于是直线 OM 的斜率 kOM= ，即 kOM k=-9， 直线 OM 的斜率与 l 的斜率的乘积为定值 . (2)四边形 OAPB 能为平行四边形 . 直线 l 过点 (3m， m)， l 不过原点且与 C 有两个交点的充要条件是 k 0， k 3， 由 (1)知 OM 的方程为 y=-9kx， 设 P 的横坐标为 xP， 由 得 xP2= ，即 xP= ， 将点 (3m， m)的坐标代入 l 的方程得 b= ， 因此 xM= ， 四边形 OAPB 为平行四边形当且仅当线段 AB 与线段 OP 互相平分，即 xP=2xM， 于是 ，解得 k1=4- 7 或 k2=4+ 7 ， ki

22、 0， ki 3， i=1， 2， 当 l 的斜率为 4- 7 或 4+ 7 时，四边形 OAPB 能为平行四边形 . 21.设函数 f(x)=emx+x2-mx. (1)证明： f(x)在 (-， 0)单调递减，在 (0， + )单调递增； (2)若对于任意 x1， x2 -1， 1，都有 |f(x1)-f(x2)| e-1，求 m 的取值范围 . 解析： (1)利用 f(x) 0 说明函数为增函数，利用 f(x) 0 说明函数为减函数 .注意参数 m的讨论； (2)由 (1)知，对任意的 m， f(x)在 -1， 0单调递减，在 0， 1单调递增，则恒成立问题转化为最大值和最小值问题 .从

23、而求得 m 的取值范围 . 答案 ： (1)f(x)=m(emx-1)+2x. 若 m 0，则当 x (-， 0)时， emx-1 0， f(x) 0；当 x (0， + )时， emx-1 0， f(x) 0. 若 m 0，则当 x (-， 0)时， emx-1 0， f(x) 0；当 x (0， + )时， emx-1 0， f(x) 0. 所以， f(x)在 (-， 0)时单调递减，在 (0， + )单调递增 . (2)由 (1)知，对任意的 m， f(x)在 -1， 0单调递减，在 0， 1单调递增，故 f(x)在 x=0 处取得最小值 . 所以对于任意 x1， x2 -1， 1， |

24、f(x1)-f(x2)| e-1 的充要条件是 ，即 ; 设函数 g(t)=et-t-e+1，则 g(t)=e-1. 当 t 0 时， g(t) 0；当 t 0 时， g(t) 0.故 g(t)在 (-， 0)单调递减，在 (0， + )单调递增 . 又 g(1)=0， g(-1)=e-1+2-e 0，故当 t -1， 1时， g(t) 0. 当 m -1， 1时， g(m) 0， g(-m) 0，即合式成立； 当 m 1 时，由 g(t)的单调性， g(m) 0，即 e-m+m e-1. 当 m -1 时， g(-m) 0，即 e-m+m e-1. 综上， m 的取值范围是 -1， 1. 2

25、2.如图， O 为等腰三角形 ABC 内一点， O 与 ABC 的底边 BC 交于 M， N 两点，与底边上的高 AD 交于点 G，且与 AB， AC 分别相切于 E， F 两点 . (1)证明： EF BC； (2)若 AG 等于 O 的半径，且 AE=MN=2 3 ，求四边形 EBCF 的面积 . 解析： (1)通过 AD 是 CAB 的角平分线及圆 O 分别与 AB、 AC 相切于点 E、 F，利用相似的性质即得结论； (2)通过 (1)知 AD 是 EF 的垂直平分线，连结 OE、 OM，则 OE AE，利用 S ABC-S AEF计算即可 . 答案 (1) ABC 为等腰三角形， A

26、D BC， AD 是 CAB 的角平分线， 又圆 O 分别与 AB、 AC 相切于点 E、 F， AE=AF， AD EF， EF BC. (2)由 (1)知 AE=AF， AD EF， AD 是 EF 的垂直平分线， 又 EF 为圆 O 的弦， O 在 AD 上，连结 OE、 OM，则 OE AE， 由 AG 等于圆 O 的半径可得 AO=2OE， OAE=30， ABC 与 AEF 都是等边三角形， AE=2 3 ， AO=4， OE=2， OM=OE=2， DM=12MN= 3 ， OD=1， AD=5， AB=10 33， 四边形 EBCF 的面积为 . 23.在直角坐标系 xOy 中

27、，曲线 C1： (t 为参数， t 0， 0 )在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2： =2sin，曲线 C3： =2 3 cos . (1)求 C2与 C3交点的直角坐标 ； (2)若 C2与 C1相交于点 A， C1与 C3相交于点 B，求 |AB|的最大值 . 解析： (1)把曲线的极坐标分别化为直角坐标方程联立可得交点坐标； (2)求出曲线 C1的极坐标方程，可得 A， B 的极坐标，即可求 |AB|的最大值 . 答案 ： (1)曲线 C2： =2sin化为 2=2 sin， x2+y2=2y. 曲线 C3： =2 3 cos化为 2=2 3 cos， x2+

28、y2=2 3 x. 联立 ，解得 或 . C2与 C3交点的直角坐标为 (0， 0)和 ( 32， 32)； (2)曲线 C1的极坐标方程为 = ( R， 0)，其中 0 . 因此 A 的极坐标为 (2sin， )， B 的极坐标为 (2 3 cos， )， 所以 |AB|=|2sin -2 3 cos |=4|sin( -3)|， 当 =56时， |AB|取得最大值，最大值为 4. 24.设 a， b， c， d 均为正数，且 a+b=c+d，证明： (1)若 ab cd，则 ； (2) 是 |a-b| |c-d|的充要条件 . 解析： (1)运用不等式的性质，结合条件 a， b， c， d

29、 均为正数，且 a+b=c+d， ab cd，即可得证； (2)从两方面证，若 ，证得 |a-b| |c-d|，若 |a-b| |c-d|，证得，注意运用不等式的性质，即可得证 . 答案： (1)由于 ( )2=a+b+2 ab ， ( )2=c+d+2 cd ， 由 a， b， c， d 均为正数，且 a+b=c+d， ab cd， 则 ab cd ， 即有 ( )2 ( )2，则 . (2)若 ，则 ( )2 ( )2， 即为 a+b+2 ab c+d+2 cd ， 由 a+b=c+d，则 ab cd， 于是 (a-b)2=(a+b)2-4ab， (c-d)2=(c+d)2-4cd， 即有 (a-b)2 (c-d)2，即为 |a-b| |c-d|； 若 |a-b| |c-d|，则 (a-b)2 (c-d)2， 即有 (a+b)2-4ab (c+d)2-4cd， 由 a+b=c+d，则 ab cd， 则有 ( )2 ( )2. 综上可得， 是 |a-b| |c-d|的充要条件 .