【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-3及答案解析.doc

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1、工程硕士(GCT)数学-3 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 F=0.48181是无穷循环小数，其中 8和 1是循环位，如把 F写成既约分数，其分母比分子大( )（分数：4.00）A.(A) 13B.(B) 14C.(C) 29D.(D) 572. （分数：4.00）A.B.C.D.3.以复数 z1=cos-i，z 2=sin+i(0 )和原点为顶点的三角形的面积的最大值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.A是 4阶矩阵，设 A=( 1， 2， 3， 4)，其中向量组 2， 3， 4线性无关，且 1=

2、3 2-2 3，则齐次线性方程组 AX=0( )（分数：4.00）A.(A) 有非零解，且通解为 X=k(1，-3，2，0) T(k为任意实数)B.(B) 有非零解，且通解为 X=k(1，-3，-2) T(k为任意实数)C.(C) 有非零解，且通解为 X=k(1，-2，3，1) T(k为任意实数)D.(D) 只有零解5.设 1， 2， s， 是线性相关的 n维向量组，则( )（分数：4.00）A.(A) 可由 1， 2， s线性表示B.(B) 不可由 1， 2， s线性表示C.(C)若秩 r( 1， 2， s，)=s，则 可由 1， 2， s线性表示D.(D)若 1， 2， s线性无关，则 可

3、由 1， 2， s线性表示6.设 43矩阵 A的秩 r(A)=2，B= （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 1C.(C) 2D.(D) 37.设 （分数：4.00）A.(A) (1)(2)(3)B.(B) (1)(3)(4)C.(C) (1)(2)(4)D.(D) (1)(2)8.设函数 在 x=0处极限存在，则 a=( ) （分数：4.00）A.B.C.D.9.设(A=I) -1= （分数：4.00）A.(A) 10B.(B) 20C.(C) 23D.(D) 8310.如 0 （分数：4.00）A.(A) abB.(B) abC.(C) ab1D.(D) ab211.A是 45的矩阵

4、，且 A的行向量组线性无关，则正确的有( ) (1)A TX=0只有 0解； (2)A TAX=0必有非 0解； (3)A TAX=b必无解； (4)对于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解；（分数：4.00）A.(A) (1)(2)(3)B.(B) (1)(2)C.(C) (1)(2)(4)D.(D) (2)(3)(4)12.数列a n中，a 1=2，且满足 an+1=an+2n(n1)，则 a100等于( )（分数：4.00）A.(A) 9700B.(B) 9702C.(C) 9900D.(D) 990213.4名男生 2名女生站成一排，要求两名女生不站在两端，则不同排法的种数为( )

5、（分数：4.00）A.(A) 48B.(B) 96C.(C) 144D.(D) 28814.甲花费 50000元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获利 10%，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给他的价格的 9折把这些股票卖掉了，不计交易费，甲在上述股票交易中( )（分数：4.00）A.(A) 不亏不盈B.(B) 盈利 50元C.(C) 盈利 100元D.(D) 亏损 50元15.设有三条不同的直线 aix+biy=ci(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2而增广矩阵的行列式等于-3，则这三条直线可能的位置关系是( )（分数：4.00）A.

6、B.C.D.16.某培训班有学员 96人，其中男生占全班人数的 （分数：4.00）A.(A) 30人B.(B) 31人C.(C) 32人D.(D) 34人17.若(2x-1) 6(2-3x)9=a0x15+a1x14+a15，则 a0+a1+a2+a14=( )（分数：4.00）A.(A) -1-29B.(B) -29C.(C) 1-29D.(D) 21518.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7 1/2，0)，直线 y=x-1与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D.19.当 x0 时，(x)=kx 2与 （分数：4.00

7、）A.(A) 6.25B.(B) 8C.(C) 7.25D.(D) 6.7520.作 y=x3的切线，则切线与曲线 y=x3及 x轴在第一象限围成的面积是( )（分数：4.00）A.(A) 6.25B.(B) 8C.(C) 7.25D.(D) 6.7521.如图 60所示，M 为平行四边形 ABCD的 AB边上的中点，AC 交 MD于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD面积的比是( ) （分数：4.00）A.B.C.D.22.如 是 x3=1的一个虚根，则(1-+ 2)(1+- 2)=( )（分数：4.00）A.(A) 4B.(B) C.(C) 2D.(D) 123.内接于半径为

8、 R的球面且有最大体积的长方体的体积为( ) （分数：4.00）A.B.C.D.24.设 A1，A 2，A 3为三个独立事件，且 P(Ak)=p(k=1，2，3，其中 0p1)，则这三个事件不全发生的概率是( )（分数：4.00）A.(A) (1-p)3B.(B) 3(1-p)C.(C) (1-p)3+3p(1-p)D.(D) 3p(1-p)2+3p2(1-p)25.甲盒内有红球 4只，黑球 2只，白球 2只；乙盒内有红球 5只，黑球 3只；丙盒内有黑球 2只，白球2只从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是( )（分数：4.00）A.(A) 0.5625B.(B) 0.5C.(

9、C) 0.45D.(D) 0.375工程硕士(GCT)数学-3 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、B单项选择题/B(总题数：25，分数：100.00)1.设 F=0.48181是无穷循环小数，其中 8和 1是循环位，如把 F写成既约分数，其分母比分子大( )（分数：4.00）A.(A) 13B.(B) 14C.(C) 29D.(D) 57 解析：解析 F=0.48181=2. （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 方法一 而 ，故原式 选(A)。 方法二 因为所以原式=选(A)3.以复数 z1=cos-i，z 2=sin+i(0 )和原点为顶点的三角形的面积的最

10、大值是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 显然当三角形是等腰三角形时面积可取最大值，此时有|z 1|=|z2|，可得 cos2=sin 2，即，从而面积是，选(C)4.A是 4阶矩阵，设 A=( 1， 2， 3， 4)，其中向量组 2， 3， 4线性无关，且 1=3 2-2 3，则齐次线性方程组 AX=0( )（分数：4.00）A.(A) 有非零解，且通解为 X=k(1，-3，2，0) T(k为任意实数) B.(B) 有非零解，且通解为 X=k(1，-3，-2) T(k为任意实数)C.(C) 有非零解，且通解为 X=k(1，-2，3，1) T(k为任意实数)D.(D) 只有零

11、解解析：解析 显然齐次线性方程组 AX=0的系数矩阵的列向量线性相关，有非零解而 A=(3 2-2 3， 2， 3， 4)，又因 A(1，-3，2，0) T=0，故通解为 X=k(1，-3，2，0) T，选(A)5.设 1， 2， s， 是线性相关的 n维向量组，则( )（分数：4.00）A.(A) 可由 1， 2， s线性表示B.(B) 不可由 1， 2， s线性表示C.(C)若秩 r( 1， 2， s，)=s，则 可由 1， 2， s线性表示D.(D)若 1， 2， s线性无关，则 可由 1， 2， s线性表示 解析：解析 根据线性相关的定义及性质，选(D)6.设 43矩阵 A的秩 r(A

12、)=2，B= （分数：4.00）A.(A) 0B.(B) 1C.(C) 2 D.(D) 3解析：解析 A 为 43的矩阵，B 为 33的矩阵，则 AB为 43的矩阵，又 B为满秩矩阵，则 r(AB)=r(A)=2，选(C)7.设 （分数：4.00）A.(A) (1)(2)(3)B.(B) (1)(3)(4)C.(C) (1)(2)(4) D.(D) (1)(2)解析：解析 8.设函数 在 x=0处极限存在，则 a=( ) （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 ，则有 =9.设(A=I) -1= （分数：4.00）A.(A) 10B.(B) 20C.(C) 23 D.(D) 83解析：

13、解析 (A+I)(A-I) -1=(A-I+2I)(A-I)-1=I+2(A-I)-1=，故特征值之和为 3+15+5=23，选(C)10.如 0 （分数：4.00）A.(A) ab B.(B) abC.(C) ab1D.(D) ab2解析：解析 (sin+cos) 2=1+2sin2=a 2，(sin+cos) 2=1+2cos2=b 2，又 022，故sin2sin2，从而 a2b 2，又 a，b0，则 ab，选(A)11.A是 45的矩阵，且 A的行向量组线性无关，则正确的有( ) (1)A TX=0只有 0解； (2)A TAX=0必有非 0解； (3)A TAX=b必无解； (4)对

14、于任意四维向量 b，AX=b 总有无穷多解；（分数：4.00）A.(A) (1)(2)(3)B.(B) (1)(2)C.(C) (1)(2)(4) D.(D) (2)(3)(4)解析：解析 显然 r(A)=4，则 r(AT)=4，所以 ATX=0只有 0解；A TA为 55的矩阵，而 r(ATA)=4，所以 ATAX=0必有非 0解；A TAX=b可能有解也可能无解；AX=b 方程个数小于未知数个数，所以对于任意四维向量b，AX=b 总有无穷多解，选(C)12.数列a n中，a 1=2，且满足 an+1=an+2n(n1)，则 a100等于( )（分数：4.00）A.(A) 9700B.(B)

15、 9702C.(C) 9900D.(D) 9902 解析：解析 a n+1-an=2n，a n-an-1=2(n-1)，a 2-a1=2，相加得 an+1-a1=2(1+2+n)an+1=(n+1)(n+1-1)+2，即an=n(n-1)+2，所以 a100=10099+2=9902，选(D)13.4名男生 2名女生站成一排，要求两名女生不站在两端，则不同排法的种数为( )（分数：4.00）A.(A) 48B.(B) 96C.(C) 144 D.(D) 288解析：解析 采用插空法，第一步先排男生，第二步再排女生，共有14.甲花费 50000元购买了股票，随后他将这些股票转卖给乙，获利 10%

16、，不久乙又将这些股票返卖给甲，但乙损失了 10%，最后甲按乙卖给他的价格的 9折把这些股票卖掉了，不计交易费，甲在上述股票交易中( )（分数：4.00）A.(A) 不亏不盈B.(B) 盈利 50元 C.(C) 盈利 100元D.(D) 亏损 50元解析：解析 第一次甲获利 5000元，第二次甲购买的价格是 50000(1+10%)(1-10%)=49500，卖出的价格是 50000(1+10%)(1-10%)0.9=44550，获利-4950，故结果是获利 50，选(B)15.设有三条不同的直线 aix+biy=ci(i=1，2，3)，它们所组成的线性方程组的系数矩阵的秩为 2而增广矩阵的行列

17、式等于-3，则这三条直线可能的位置关系是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 根据线性代数，系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，该线性方程组无解，即三条直线没有交点，只有(D)选项符合16.某培训班有学员 96人，其中男生占全班人数的 （分数：4.00）A.(A) 30人B.(B) 31人C.(C) 32人D.(D) 34人 解析：解析 显然女生有17.若(2x-1) 6(2-3x)9=a0x15+a1x14+a15，则 a0+a1+a2+a14=( )（分数：4.00）A.(A) -1-29B.(B) -29C.(C) 1-29 D.(D) 215解析：解析 令 x=1，则 a0+

18、a1+a2+a14+a15=1，a 15=(-1)629，从而 a0+a1+a2+a14=1-a15=1-29，选(C)18.已知双曲线的中心在原点且一个焦点为(7 1/2，0)，直线 y=x-1与其相交于 M，N 两点，MN 的中点的横坐标为 ，则该双曲线的方程为( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设双曲线方程为 ，与 y=x-1相交，即方程 =1有两个实根 x1和 x2，且，则根据根与系数的关系有 =1，选(D)19.当 x0 时，(x)=kx 2与 （分数：4.00）A.(A) 6.25B.(B) 8C.(C) 7.25D.(D) 6.75 解析：解析 题设相当于已知

19、，由此确定 k即可 由题设， ，得 选(D)20.作 y=x3的切线，则切线与曲线 y=x3及 x轴在第一象限围成的面积是( )（分数：4.00）A.(A) 6.25 B.(B) 8C.(C) 7.25D.(D) 6.75解析：解析 先求切线，显然切线方程为 ，过(2，0)点，则 x0=3，如图 68所示，所以所围成的面积为，选(A)21.如图 60所示，M 为平行四边形 ABCD的 AB边上的中点，AC 交 MD于点 E，则图中阴影部分的面积与平行四边形 ABCD面积的比是( ) （分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 根据题意，有 E时 AC的三等分点令平行四边形 ABCD的面积是

20、 1，S ACM = ，故阴影部分面积是22.如 是 x3=1的一个虚根，则(1-+ 2)(1+- 2)=( )（分数：4.00）A.(A) 4 B.(B) C.(C) 2D.(D) 1解析：解析 (1-)(1+ 2)=0， 是虚根，从而有 1+ 2=0，则(1-+ 2)(1+- 2)=- 4+2 3- 2+1=4-(1+ 2)=4，选(A)23.内接于半径为 R的球面且有最大体积的长方体的体积为( ) （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 显然当内接长方体为正方体时，体积恰为最大值，所以有 = ，体积为24.设 A1，A 2，A 3为三个独立事件，且 P(Ak)=p(k=1，2，3

21、，其中 0p1)，则这三个事件不全发生的概率是( )（分数：4.00）A.(A) (1-p)3B.(B) 3(1-p)C.(C) (1-p)3+3p(1-p) D.(D) 3p(1-p)2+3p2(1-p)解析：解析 三个事件不全发生的反面是全都发生，故概率为25.甲盒内有红球 4只，黑球 2只，白球 2只；乙盒内有红球 5只，黑球 3只；丙盒内有黑球 2只，白球2只从这三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是红球的概率是( )（分数：4.00）A.(A) 0.5625B.(B) 0.5C.(C) 0.45D.(D) 0.375 解析：解析 选取任意一只盒子的概率是 ，而从甲盒里取到红球的概率为 ，从乙盒里取到红球的概率是，从丙盒内去红球的概率为 0，故取到红球的概率为 =0.375，选(D)