【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-172及答案解析.doc

《【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-172及答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-172及答案解析.doc（14页珍藏版）》请在麦多课文档分享上搜索。

1、工程硕士(GCT)数学-172 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B2 C （分数：4.00）A.B.C.D.2.如果(m 2 +i)(1+mi)是实数，那么实数 n=_（分数：4.00）A.0B.1C.-1D.1 或-13.A 车以 110km/h 的速度由甲地驶往乙地，同时 B，C 两车分别以 90km/h 和 70km/h 的速度自乙地驶向甲地途中 A 车与 B 车相遇 1h 后才与 C 车相遇，甲、乙两地的距离为_km（分数：4.00）A.3800B.3600C.2000D.18004.某公司参加一次植树

2、活动，平均每人要植树 6 棵若只有女员工完成，每人应植树 10 棵；若只有男员工完成，每人应植树_棵（分数：4.00）A.12B.13C.14D.155.某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数分别为 130，110，90又知只有一种证的人数为 140，三证齐全的人数为 30，则恰有双证的人数为_（分数：4.00）A.45B.50C.52D.656.甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每次击中目标的概率为 ，则甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.7.实数 a，b 满足 ab0，集合 A=0，a，b

3、，B=x|x=uv，u，vA，则集合 B 的子集共有_个（分数：4.00）A.2B.4C.8D.168.已知不等式 ax 2 +bx+20 的解集是 （分数：4.00）A.-4B.14C.-10D.109.设函数 f(x)(x )为奇函数，且 f(x+2)=f(x)+f(2)，则 f(5)=_ A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C.D.10.数列a n 前 n 项和为 S n 已知点 （分数：4.00）A.首项为 1 的等差数列B.首项为 2 的等差数列C.首项为 1 的等比数列D.首项为 2 的等比数列11.ABC 中，已知 AB=20，AC=16，BC=12以 AB 上的高 CD

4、为直径作一圆，圆与 AC 交于 M，与 BC 交于N，则 MN=_ A10 B15 C D （分数：4.00）A.B.C.D.12.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，则 cosB 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.13.由直线 l：y=x+1 上一点向圆 C：(x-3) 2 +y 2 =1 作切线，则切线长的最小值为_ A1 B C （分数：4.00）A.B.C.D.14.椭圆 的两个焦点为 F 1 、F 2 ，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其一个交点为 P，则|PF 2 |=_ A B C （

5、分数：4.00）A.B.C.D.15.某直角三角形中，斜边上的中线长为 2.5，周长为 12，则此三角形面积为_ A12.5 B12 C （分数：4.00）A.B.C.D.16. _ A 不存在 B （分数：4.00）A.B.C.D.17.设 f(x)和 g(x)是如下图所示的两个逐段线性函数，u(x)=fg(x)，则 u“(2)=_ （分数：4.00）A.2B.-2C.1D.-118.设 f(x)在 x=1 处有连续导数，又 （分数：4.00）A.x=1 是曲线 y=f(x)的拐点的横坐标B.x=1 是 y=f(x)的极小值点C.x=1 是 y=f(x)的极大值点D.x=1 既不是 y=f(

6、x)的极值点，又不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标19.设曲线 （分数：4.00）A.曲线 f(x)，g(x)都有垂直渐近线B.曲线 f(x)，g(x)都无垂直渐近线C.曲线 f(x)有垂直渐近线，曲线 g(x)无垂直渐近线D.曲线 f(x)无垂直渐近线，曲线 g(x)有垂直渐近线20.设函数 y=f(x)可导，f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时_ A B C D （分数：4.00）A.B.C.D.21.曲线 y=x 2 与直线 x=0，x=1，y=t(0t1)所围图形的面积情况为_ A当 时，面积最大 B当 时，面积最小 C当 时，面积最大 D当 （分数：4.00）A.B.C.D.22

7、.已知 A 是 n 阶矩阵，且满足关系式 A 2 +3A+4I=0则(A+I) -1 =_ AA -1 +I B C （分数：4.00）A.B.C.D.23.A 是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为 2，则_ A.A 必有特征值 2 B.A-1必有特征值 2 C.A 必有特征值-2 D.A-1必有特征值-2（分数：4.00）A.B.C.D.24.设向量 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， s-1 线性表出，记向量组()： 1 ， 2 ， s-1 ，则 s _（分数：4.00）A.不能由()，也不能由()线性表出B.不能由()，但可由()线性表出C.可由()，

8、也可由()线性表出D.可由()，但不能由()线性表出25.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则对于线性方程组(AB)x=0，下列结论必成立的是_（分数：4.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解工程硕士(GCT)数学-172 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择(总题数：25，分数：100.00)1. _ A B2 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 类似地 所以 2.如果(m 2 +i)(1+mi)是实数，那么实数 n=_（分数：4.00）A.0B.1C.-1 D

9、.1 或-1解析：解析 因为(m 2 +i)(1+mi)=m 2 -m+(1+m 3 )i 是实数，所以 1+m 3 =0，即 m=-1 故选 C3.A 车以 110km/h 的速度由甲地驶往乙地，同时 B，C 两车分别以 90km/h 和 70km/h 的速度自乙地驶向甲地途中 A 车与 B 车相遇 1h 后才与 C 车相遇，甲、乙两地的距离为_km（分数：4.00）A.3800B.3600C.2000D.1800 解析：解析 设甲、乙两地的距离为 l(km)，根据题意得 4.某公司参加一次植树活动，平均每人要植树 6 棵若只有女员工完成，每人应植树 10 棵；若只有男员工完成，每人应植树_

10、棵（分数：4.00）A.12B.13C.14D.15 解析：解析 假设该公司参加植树的员工总人数为 x，其中女员工人数为 y由题设得 6x=10y，即 故男员工人数为 所以每人应植树的棵树为 5.某公司的员工中，拥有本科毕业证、计算机等级证、汽车驾驶证的人数分别为 130，110，90又知只有一种证的人数为 140，三证齐全的人数为 30，则恰有双证的人数为_（分数：4.00）A.45B.50 C.52D.65解析：解析 设恰有双证的人数为 x，则根据题意可知 140+2x+330=130+110+90， 解得 x=50 故选 B6.甲、乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 ，乙每

11、次击中目标的概率为 ，则甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率是_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 甲恰好比乙多击中目标 2 次的情况是：甲击中 2 次而乙没有击中，或甲击中 3 次而乙只击中 1 次 甲击中目标 2 次而乙没有击中目标的概率为 甲击中目标 3 次而乙只击中目标 1 次的概率为 所以甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 7.实数 a，b 满足 ab0，集合 A=0，a，b，B=x|x=uv，u，vA，则集合 B 的子集共有_个（分数：4.00）A.2B.4C.8D.16 解析：解析 集合 B 的元素共有 4 个(不是 33，也不是 8.已知不等式 a

12、x 2 +bx+20 的解集是 （分数：4.00）A.-4B.14C.-10 D.10解析：解析 如果 a=0，不等式成为一次不等式或退化为 20，其解集不会是 由二次函数和不等式的性质，有 所以有 得 a=-12； 9.设函数 f(x)(x )为奇函数，且 f(x+2)=f(x)+f(2)，则 f(5)=_ A0 B1 C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由条件，f(x)为奇函数， f(x+2)=f(x)+f(2)，所以 f(1)=f(-1+2)=f(-1)+f(2)=-f(1)+f(2) 即得 10.数列a n 前 n 项和为 S n 已知点 （分数：4.00）A.首项为

13、1 的等差数列 B.首项为 2 的等差数列C.首项为 1 的等比数列D.首项为 2 的等比数列解析：解析 点 在直线 y=3x-2 上，故 即 S n =3n 2 -2n当 n2 时 a n =S n -S n-1 =(3n 2 -2n)-3(n-1) 2 -2(n-1)=6n-5 当 n=1 时 a 1 =S 1 =31 2 -21=1=61-5 所以有 a n =6n-5 11.ABC 中，已知 AB=20，AC=16，BC=12以 AB 上的高 CD 为直径作一圆，圆与 AC 交于 M，与 BC 交于N，则 MN=_ A10 B15 C D （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析

14、 由ABC 的边长，可知它是一个直角三角形(见下图)且 所以 又CMD 和CND 均为直角，四边形 CNDM 为矩形，所以 故选 C 12.ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若 a，b，c 成等比数列，且 c=2a，则 cosB 等于_ A B C D （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 a，b，c 成等比数列，满足 b 2 =ac又 c=2a，所以 b 2 =2a 2 ，由余弦定理 13.由直线 l：y=x+1 上一点向圆 C：(x-3) 2 +y 2 =1 作切线，则切线长的最小值为_ A1 B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 如下图所示，

15、圆 C 的半径为 1，圆心为 C(3，0)设 A 为 l：y=x+1 上任一点，作圆的切线AB，切点为 B，则 |AB| 2 =|AC| 2 -1 要使|AB|最小，只要使|AC|最小即可显然，当 ACl 时|AC|最小，而圆心 C 到 l 的距离 所以当 即 时，|AB|最小 故选 C 14.椭圆 的两个焦点为 F 1 、F 2 ，过 F 1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，其一个交点为 P，则|PF 2 |=_ A B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 a=2，b=1，所以 设 P(x 0 ，y 0 )，则 代入椭圆方程得 即 设 由|PF 1 |+|PF 2 |=2a

16、，得 15.某直角三角形中，斜边上的中线长为 2.5，周长为 12，则此三角形面积为_ A12.5 B12 C （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 设直角三角形 ABC 中，D 为 AC 的中点，如下图所示BD=2.5，BD=CD=AD，所以AC=AD+CD=22.5=5 又三角形周长为 12，因此 AB+BC=12-AC=12-5=7， (AB+BC) 2 =7 2 =49 又(AB+BC) 2 =AB 2 +2ABBC+BC 2 =AC 2 +2ABBC，所以 故选 D 16. _ A 不存在 B （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 所以 17.设 f(x)和 g(

17、x)是如下图所示的两个逐段线性函数，u(x)=fg(x)，则 u“(2)=_ （分数：4.00）A.2B.-2C.1D.-1 解析：解析 根据题设可得，当 x0，3时，f(x)=-x+3，g(x)=x，故当 x=2 时，g(2)=20，3于是得 u“(2)是 f(x)在0，3上的直线斜率，即 u“(2)=-1 故选 D 注意 本题只需讨论(0，3内的情形，不需花时间讨论3，6上 f(x)与 g(x)的表达式；从几何上讨论简单得多，如果求出 fg(x)，再求 u“(2)就复杂了18.设 f(x)在 x=1 处有连续导数，又 （分数：4.00）A.x=1 是曲线 y=f(x)的拐点的横坐标B.x=

18、1 是 y=f(x)的极小值点 C.x=1 是 y=f(x)的极大值点D.x=1 既不是 y=f(x)的极值点，又不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标解析：解析 1 由 f“(x)在 x=1 处连续及 可得 f“(1)=0又 所以 x=1 是函数 y=f(x)的极小值点，而不是曲线 y=f(x)拐点的横坐标 故选 B 注意 由题设 和极限的保号性质可知，存在 0，当 1-x1 时，f“(x)0；当 1x1+时，f“(x)0由取得极值的第一充分条件可得 x=1 是函数 y=f(x)的极小值点 解析 2 用特殊值代入法 取 f(x)=(x-1) 2 ，则 f“(x)=2(x-1)，且 从 f(x)=

19、(x-1) 2 的草图(下图)立即可得 x=1 是 f(x)的极小值点 故选 B 19.设曲线 （分数：4.00）A.曲线 f(x)，g(x)都有垂直渐近线B.曲线 f(x)，g(x)都无垂直渐近线C.曲线 f(x)有垂直渐近线，曲线 g(x)无垂直渐近线 D.曲线 f(x)无垂直渐近线，曲线 g(x)有垂直渐近线解析：解析 所以 x=0 是 f(x)的垂直渐近线 所以 x=0 不是 g(x)的垂直渐近线 由此可得出 f(x)有垂直渐近线，g(x)无垂直渐近线。 故选 C 注意 因此 f(x)，g(x)都无水平渐近线； 20.设函数 y=f(x)可导，f(x)0，f“(x)0，则当 x0 时_

20、 A B C D （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：解析 1 由积分中值定理知，存在 x 0 (x，x+x)，使得 因 f“(x)0，所以 f(x)是严格单调递增函数，因而 f(x 0 )f(x)，于是 f(x 0 )xf(x)x，即 又 f(x)0，所以 因此有 故选 D 解析 2 利用定积分的几何意义，如下图 表示曲边梯形 ABCD 面积的负值而 f(x)x 表示矩形ABED 面积的负值由 f(x)单调增加可知曲边梯形 ABCD 面积小于矩形 ABED 面积所以 故选 D 21.曲线 y=x 2 与直线 x=0，x=1，y=t(0t1)所围图形的面积情况为_ A当 时，面积最大 B

21、当 时，面积最小 C当 时，面积最大 D当 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：解析 由题意得，曲线 y=x 2 与 3 条直线所围图形面积 令 S“=0 得唯一的驻点 又 所以， 是唯一的极小值点因此它是最小值点，即当 22.已知 A 是 n 阶矩阵，且满足关系式 A 2 +3A+4I=0则(A+I) -1 =_ AA -1 +I B C （分数：4.00）A.B.C. D.解析：解析 由 A 2 +3A+4I=0，可得(A+I)(A+2I)=A 2 +3A+2I=-2I，即 故 23.A 是三阶可逆矩阵，且各列元素之和均为 2，则_ A.A 必有特征值 2 B.A-1必有特征值 2

22、C.A 必有特征值-2 D.A-1必有特征值-2（分数：4.00）A. B.C.D.解析：解析 1 设 由题设 由此可知 =2 是 A T 的一个特征值又 A T 与 A 有相同的特征值，所以 =2 是 A 的特征值，而 是 A -1 的一个特征值 故选 A 解析 2 本题也可以直接利用特征值的计算公式求解由于 24.设向量 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，但不能由向量组()： 1 ， 2 ， s-1 线性表出，记向量组()： 1 ， 2 ， s-1 ，则 s _（分数：4.00）A.不能由()，也不能由()线性表出B.不能由()，但可由()线性表出 C.可由()，也可由()线性表出D.可

23、由()，但不能由()线性表出解析：解析 1 由 可由 1 ， 2 ， s 线性表出，但不能由 1 ， 2 ， s-1 表出，可得 =k 1 1 +k 2 2 +k s s ，k s 0， 所以 这表明 s 可由向量组()线性表出，但 s 不能由向量组()线性表出，否则 也可由向量组()线性表出，这与题设矛盾 故选 B 解析 2 用特殊值代入法 设 =(0，2) T ， 1 =(1，0) T ， 2 =(0，1) T ，题目中的 s 为 2易知， 可由 1 ， 2 线性表出，但不由向量组()： 1 线性表出，向量组()为 ， 1 ，显然 25.设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则对于线

24、性方程组(AB)x=0，下列结论必成立的是_（分数：4.00）A.当 nm 时，仅有零解B.当 nm 时，必有非零解C.当 mn 时，仅有零解D.当 mn 时，必有非零解 解析：解析 判断齐次线性方程组(AB)x=0 解的情况，就是要讨论系数矩阵 AB 的秩与未知量个数的关系本题中，AB 是 mm 矩阵，未知量个数为 m 因 r(AB)r(A)minm，n，所以当 mn 时，minm，n=nm，因而 r(AB)nm，因此方程(AB)x=0有非零解，D 正确 而当 nm 时，r(AB)r(A)minm，n=m，r(AB)m，不能断定 r(AB)=m 必成立，还是 r(AB)m 必成立，两种都有可能，因此 A、B 错 故选 D