【考研类试卷】工程硕士(GCT)数学-16及答案解析.doc

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1、工程硕士(GCT)数学-16 及答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.如果方程 有两个不同实根，那么参数是的取值范围是( )（分数：4.00）A.B.C.D.2.当 最小值是( )（分数：4.00）A.B.C.D.3.若 4x-5y=0，且 x0，则 的值为( )（分数：4.00）A.B.C.D.4.ABC 中，AB=3，BC= ，AC=4，则 AC上的高等于( )（分数：4.00）A.B.C.D.5.从 6名男同学和 4名女同学中随机选出 3名同学参加一项竞技测试，选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有( )种（分数

2、：4.00）A.60B.80C.100D.1206.不等式 1|x+1|3 的解集是( )（分数：4.00）A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2)7.已知 a1=2，a 2=2，且 an=|an-1-an-2|，n=3,4,5,，则 a20，a 21和 a22的值分别是( )（分数：4.00）A.2,2,0B.2,0,2C.0,2,2D.0,2,08.若 （分数：4.00）A.B.C.D.9.设 （分数：4.00）A.B.C.D.10.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A.B.C.D.11.若 （分数：4.00）A.B.C.D

3、.12.如题 18图所示，g(x)的图形是直线段 OB，f(x)的图形是折线段 OAC，u(x)=fg(x)，则 u(4)=( )（分数：4.00）A.B.C.D.13.若 （分数：4.00）A.B.C.D.14.分别标有号码 1,2,3,，9 的 9个球装在一个口袋中，从中任取 4个，取出的 4个球中有 5号球的概率是( )（分数：4.00）A.B.C.D.15.如图所示，三个圆的半径均为 a，三个圆两两相交于圆心，则图中阴影部分的面积为( )（分数：4.00）A.B.C.D.16.A是四阶矩阵，r(A)=3，又 1=(1,2,1,3)T， 2=(1,1,-1,1)T， 3=(1,3,3,5

4、)T， 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0的解向量，则 A*x=0的基础解系是( )（分数：4.00）A. 1B. 1, 2C. 1, 2, 3D. 1, 2, 417.已知 a(0,1)，若函数 f(x)=logax在区间a,2a)上的最大值是最小值的 3倍，则 a=( )（分数：4.00）A.B.C.D.18.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D.19.若 （分数：4.00）A.B.C.D.20.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.B.C.D.21.A是 n阶矩阵，|A|=0 的充分必要条件是：(1) Ax=0有非零解；(2) Ax=b有无穷多解

5、；(3) A的列向量组中任何一个向量可被其余 n-1个向量线性表出；(4) A的特征值全为 0；(5) A的行向量组线性相关以上结论正确的是( )（分数：4.00）A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(5)D.(1)(2)(5)22.下列不等式成立的是( )（分数：4.00）A.B.C.D.23.已知 F1、F 2是椭圆 (ab0)的两焦点，B 为椭圆在 y轴上的顶点，F 1BF2= 120，则椭圆的离心率 e=( )（分数：4.00）A.B.C.D.24.设 an是一个无穷等比数列，公比 ，则 a1= ( )（分数：4.00）A.B.C.D.25.一底面直径为

6、4m的圆柱形水桶，其轴截面上有两点 A和 B，尺寸如题 15图所示，一蚂蚁由 A 点沿桶壁爬到 B点，则 A点到 B点的最短距离是( )m（分数：4.00）A.B.C.D.工程硕士(GCT)数学-16 答案解析(总分：100.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：25，分数：100.00)1.如果方程 有两个不同实根，那么参数是的取值范围是( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：由*平方并整理得 x2-x+k=0根据题意此方程有两个不同的非负实根，所以 *从而参数 k的取值范围是*故选 B2.当 最小值是( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：利用三角函数倍角公式

7、有*当且仅当*时等号成立所以 f(x)在*的最小值是 4故选 C3.若 4x-5y=0，且 x0，则 的值为( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：4x-5y=0，故*，又 x0，所以*故应选 C4.ABC 中，AB=3，BC= ，AC=4，则 AC上的高等于( )（分数：4.00）A.B. C.D.解析：设 AC上的高为 h，则ABC 的面积*故选 B5.从 6名男同学和 4名女同学中随机选出 3名同学参加一项竞技测试，选出的三位同学中至少有一名女同学的不同选法共有( )种（分数：4.00）A.60B.80C.100 D.120解析：从这 10名同学中任选 3名同学的选法有*，3 名

8、全是男同学的选法有*故至少有 1名女同学的不同选法共有 120-20=100(种)故应选 C6.不等式 1|x+1|3 的解集是( )（分数：4.00）A.(0,2)B.(-2,0)(2,4)C.(-4,0)D.(-4,-2)(0,2) 解析：如题 10图所示，在坐标系上作出函数，y=|x+1|的图象，再作直线 y=1和 y=3从图上可以看出当 x(-4,-2)(0,2)时，有 1y3*故选 D7.已知 a1=2，a 2=2，且 an=|an-1-an-2|，n=3,4,5,，则 a20，a 21和 a22的值分别是( )（分数：4.00）A.2,2,0B.2,0,2 C.0,2,2D.0,2

9、,0解析：a 1=2,a2=2,a3=|a2-a1|=0,a4=|a3-a2|=2,a5=|a4-a3|=2,a6=|a5-a4|=0，由此可见，在 a1,a2,a3,中每 3个为 1组，分别以 2,2,0轮流出现，a20=a2=2,a21=a3=0,a22=a1=2故应选 B8.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：由|E-A|=0，即*=(-2)(-3) 2=0，求得 A的三个特征值为 1=2， 2=入 3=3对于 A的一重特征值 1=2，矩阵 A只有一个属于 1的线性无关的特征向量对于 A的二重特征值 2= 3=3矩阵 A可能有一个或两个属于 =3 的特征向量但 A的属于不同特征

10、值的特征向量是线性无关的而据题意，A 共有两个线性无关的特征向量因此对于 =3，矩阵 A只可能有一个属于它的线性无关的特征向量这样三元方程组(3E-A)X=0 的基础解系只含有一个线性无关的解因此 r(3E-A)=2*故正确的选择应为 D9.设 （分数：4.00）A.B. C.D.解析：由 C=ATB-1，则 C-1=(ATB-1)-1=(B-1)-1(AT)-1=B(AT)-1，即 C-1中第 3行第 2列的元素等于 B的第 3行左乘(A T)-1的第 2列*故应选 B10.设 f(x)在(-,+)内有定义，且 （分数：4.00）A. B.C.D.解析：*注 本题也可用特殊值代入法*11.若

11、 （分数：4.00）A.B.C. D.解析：因*，原式*故选 C12.如题 18图所示，g(x)的图形是直线段 OB，f(x)的图形是折线段 OAC，u(x)=fg(x)，则 u(4)=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：从题 18图可知 g(4)=2,g(x)等于直线 OB的斜率 kOB，易知*当 x(1,4)时，f(x)等于直线AC的斜率 kAC，易知*根据复合函数求导法则*13.若 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*故应选 D14.分别标有号码 1,2,3,，9 的 9个球装在一个口袋中，从中任取 4个，取出的 4个球中有 5号球的概率是( )（分数：4.00）A.

12、B.C.D. 解析：从 9个球中任取 4个，共有*取法，取出的 4个球中有 5号球的取法共有*，严求概率为*故应选 D15.如图所示，三个圆的半径均为 a，三个圆两两相交于圆心，则图中阴影部分的面积为( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：连接三圆的交点 A,B,C和 CD,CE如图。根据原题图的对称性，曲边形 ABF与曲边形 ABC的面积相差弓形 AmB的面积的两倍，而这两倍弓形的面积正好割下补到弓形 EnC和 CpD上，这样原来所求阴影部分的面积恰为半圆 EDm的面积。依题意，该半圆半径为 a故半圆面积为*。故应选 A*16.A是四阶矩阵，r(A)=3，又 1=(1,2,1,3)T

13、， 2=(1,1,-1,1)T， 3=(1,3,3,5)T， 4=(-3, -5,-1,-6)T均是齐次线性方程组 A*x=0的解向量，则 A*x=0的基础解系是( )（分数：4.00）A. 1B. 1, 2C. 1, 2, 3D. 1, 2, 4 解析：因 A是四阶矩阵且 r(A)=3，故 r(A*)=1，于是 A*x=0的基础解系应包括 n-r(A*)= 4-1=3个线性无关的解向量已知 1, 2, 3, 4均为齐次线性方程组 A*x=0的解向量，故我们考查其秩是否为 3若r( 1, 2, 3, 4)=3，则它的一个极大无关组必为一个基础解系由*得 r=3主元所在列为 1,2,4，故 1,

14、 2, 4为一个极大线性无关组因此应选 D17.已知 a(0,1)，若函数 f(x)=logax在区间a,2a)上的最大值是最小值的 3倍，则 a=( )（分数：4.00）A. B.C.D.解析：因为 0a1，所以 f(x)=logax为减函数由已知 logaa=3loga2a，所以 loga2a=*，即*故选 A18.曲线 （分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*可得 y=1和 y=-1是曲线 f(x)的两条水平渐近线由*，可得 x=2和 x=3是曲线 f(x)的两条垂直渐近线所以，曲线 f(x)有 2条水平渐近线和 2条垂直渐近线故应选 D19.若 （分数：4.00）A.B.C. D.

15、解析：*依题意，有某个 0kn，使 5k=3n故应选 C20.设 f(x)为连续函数， （分数：4.00）A.B. C.D.解析：设 F(x)是 f(x)的一个原函数，则*而 d(cosx)=cosxdx-xsinxdx，因此*故应选 B21.A是 n阶矩阵，|A|=0 的充分必要条件是：(1) Ax=0有非零解；(2) Ax=b有无穷多解；(3) A的列向量组中任何一个向量可被其余 n-1个向量线性表出；(4) A的特征值全为 0；(5) A的行向量组线性相关以上结论正确的是( )（分数：4.00）A.(1)(2)(3)(5)B.(1)(2)(4)(5)C.(1)(5) D.(1)(2)(5

16、)解析：由已知得，*有非零解故(1)正确但 r(A)n，不能保证 r(A)=r(Ab)故(2)不一定成立相反，若 Ax=b有无穷多解* r(A)=r(Ab)n故(2)应排除由于矩阵的秩和其行向量组及列向量组的秩均相等，故*的列向量组或行向量组)n*A 的列向量组(行向量组)线性相关故(5)正确但列向量组线性相关*存在某个向量可被其余 n-1个向量线性表出并不是每个向量均可被其余 n-1个向量线性表出故(3)应排除又*有特征值 0但并不是 A的 n个特征值均为 0故(4)也应排除故应选 C22.下列不等式成立的是( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*再设 g(x)=sinx-x，则

17、g(0)=0，g(x)=cosx-10所以当 x0 时，g(x)g(0)=0，当 xO 时，g(x)g(0)=0即当 x0 时，sinx-x0，当 x0 时，sinx-x0从而当 x0 时，f(x)0，因此当 x0 时，f(x)是单调递减函数由此，当 x0 时， f(x)f(0)=0，当 x0 时，f(x)f(0)=0，即当 x0 时，*，当 x0 时，*故应选 D23.已知 F1、F 2是椭圆 (ab0)的两焦点，B 为椭圆在 y轴上的顶点，F 1BF2= 120，则椭圆的离心率 e=( )（分数：4.00）A.B.C. D.解析：如题 13图所示，作椭圆草图F 1BF2=120，所以BF 1O=30，|F 1O|=c，所以*，因为 a2-c2=b2，所以*，即*离心率*故选 C24.设 an是一个无穷等比数列，公比 ，则 a1= ( )（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：*其中*，当 n+时，上式的极限*所以 a1=2，故选 D25.一底面直径为 4m的圆柱形水桶，其轴截面上有两点 A和 B，尺寸如题 15图所示，一蚂蚁由 A 点沿桶壁爬到 B点，则 A点到 B点的最短距离是( )m（分数：4.00）A.B.C.D. 解析：桶壁展开图和 A点与 B点如题 15图所示，A 点到 B点的最短距离为它们的连线的直线距离，根据勾股定理得*故正确的选择应为 D