【学历类职业资格】河南省专升本考试高等数学真题2015年及答案解析.doc

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1、河南省专升本考试高等数学真题 2015 年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.已知函数 f(x)=x，则 _ Ax Bx 2 C D （分数：2.00）A.B.C.D.2.已知函数 f(x)=x 8 -x 4 ，则 f(x)是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.无法判断3.已知函数 （分数：2.00）A.(0，+)B.0，+)C.(-，0)D.(-，04.已知极限 ，则可确定 m 的值是_ A1 B2 C （分数：2.00）A.B.C.D.5.当 x0 时，若 ，则可确定 a 的值一定是_ A0 B1

2、 C D （分数：2.00）A.B.C.D.6.下列极限存在的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.7.已知函数 （分数：2.00）A.a=1 时，f(x)必然连续B.a=0 时，f(x)必然连续C.a=1 时，f(x)不连续D.a=-1 时，f(x)必然连续8.极限 的值是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.9.已知函数 f(x)=(x-a)g(x)，其中 g(x)在点 x=a 处可导，则 f“(a)=_（分数：2.00）A.0B.g“(a)C.g(a)D.f(a)10.已知曲线 f(x)=x 2 与 g(x)=x 3 ，当它们的切线相互垂直时，自变量 x 的值应

3、为_ A-1 B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.已知函数 f(x)=|x|，则该函数 f(x)在点 x=0 处_（分数：2.00）A.连续且可导B.不连续C.连续但不可导D.左右导数均不存在12.已知函数 f(x)=cosx 在闭区间0，2上满足罗尔定理，那么在开区间(0，2)内使得等式 f“()=0成立的 值是_ A （分数：2.00）A.B.C.D.13.已知函数 f(x)在邻域(-，)内连续，当 x(-，0)时，f“(x)0；当 x(0，)时，f“(x)0，则在邻域(-，)内 _（分数：2.00）A.f(0)是极小值B.f(0)是极大值C.f(0)不是极值D.f(0)是

4、最大值14.已知函数 f(x)在开区间(a，b)内有：f“(x)0 且 f“(x)0，则在开区间(a，b)内，f(x)是_（分数：2.00）A.单调递减且形状为凸B.单调递增且形状为凸C.单调递减且形状为凹D.单调递增且形状为凹15.已知曲线 y=2+x 5 ，则该曲线的拐点(x，y)=_（分数：2.00）A.(0，2)B.(1，3)C.(0，0)D.(-1，1)16.已知函数 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f(2x)dx=_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.17.已知函数 （分数：2.00）A.sinxB.xcosxC.-xcosxD.xsinx18.已知函数 f(x

5、)在闭区间-a，a上连续，则定积分 （分数：2.00）A.-1B.0C.1D.不确定19.已知定积分 （分数：2.00）A.I1I2B.I1=I2C.I1I2D.不确定20.已知函数 y=f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则由曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的平面图形的面积是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.21.已知下列微分方程，则可进行分离变量的是_（分数：2.00）A.xy“-3y=sinxB.(x-ycosx)dy+(y+x2)dx=0C.y“=sinxcosyD.yy“-4y+2x=022.已知微分方程 y“-5y“+ay=0 的一个解

6、为 e 2x ，则常数 a=_（分数：2.00）A.4B.3C.5D.623.下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.24.已知函数 z=2x 2 +3xy-y 2 ，则 （分数：2.00）A.-2B.2C.6D.325.某公司要用铁板做成一个容积为 27m 3 的有盖长方体水箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为_（分数：2.00）A.54m2B.27m2C.9m2D.6m226.已知平面闭区域 D：1x 2 +y 2 16，则二重积分 （分数：2.00）A.45B.45C.48D.4827.已知 ，若将积分次序改变，则 _ A B

7、 C D （分数：2.00）A.B.C.D.28.已知 L 为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段，则曲线积分 L (x+y)ds=_ A2 B （分数：2.00）A.B.C.D.29.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.30.已知级数 ，则下列结论正确的是_ A若 ，则 收敛 B若 的部分和数列S n 有界，则 收敛 C若 收敛，则 绝对收敛 D若 发散，则 （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数 f(x)=x-1，则 f(x)的反函数是 y= 1 （分数：2.00）32.极限 （分数：2.00）3

8、3.已知函数 （分数：2.00）34.已知函数 f(x)=lnx 为可导函数，则 f(x)在点 x=1.01 处的近似值为 1 （分数：2.00）35.不定积分cos(3x+2)dx= 1 （分数：2.00）36.定积分 （分数：2.00）37.已知函数 x=ln(x 2 +y 2 )，则全微分 dz| (1，1) = 1 （分数：2.00）38.与向量-3，4，1)平行的单位向量是 1 （分数：2.00）39.微分方程 y“=e x-y 的通解是 1 （分数：2.00）40.幂级数 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_42.已知函数

9、 f(x)为可导函数，且 f(x)0，求函数 （分数：5.00）_43.计算不定积分 （分数：5.00）_44.计算定积分 （分数：5.00）_45.求过点 A(1，2，1)且与直线 （分数：5.00）_46.已知函数 z=f(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 -4z=0 所确定，求全微分 dz （分数：5.00）_47.计算二重积分 （分数：5.00）_48.求微分方程 （分数：5.00）_49.求幂级数 （分数：5.00）_50.求级数 （分数：5.00）_四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.计算由曲线 x=0，y=e x ，y=e 所围成的平面图形的面积 （分数：7

10、.00）_52.某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数 C(x)=40000+200x-0.002x 2 ，收入函数 R(x)=350x-0.004x 2 ，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大? （分数：7.00）_五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程 x 11 -x 7 -x 3 +x=0 有一正根 x=1，证明方程 11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0 必有一个小于 1 的正根 （分数：6.00）_河南省专升本考试高等数学真题 2015 年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.

11、已知函数 f(x)=x，则 _ Ax Bx 2 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 因为 f(x)=x，则 ，所以2.已知函数 f(x)=x 8 -x 4 ，则 f(x)是_（分数：2.00）A.奇函数B.偶函数 C.非奇非偶函数D.无法判断解析：解析 f(-x)=(-x) 8 -(-x) 4 =x 8 -x 4 =f(x)，即 f(x)为偶函数3.已知函数 （分数：2.00）A.(0，+)B.0，+) C.(-，0)D.(-，0解析：解析 由4.已知极限 ，则可确定 m 的值是_ A1 B2 C （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 5.当 x0 时，若 ，则可

12、确定 a 的值一定是_ A0 B1 C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 由 ，可知 2a-cos0=2a-1=0，即6.下列极限存在的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 项， ，极限存在； B 项， ，极限不存在； C 项， ，极限不存在； C 项， 7.已知函数 （分数：2.00）A.a=1 时，f(x)必然连续 B.a=0 时，f(x)必然连续C.a=1 时，f(x)不连续D.a=-1 时，f(x)必然连续解析：解析 8.极限 的值是_ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 9.已知函数 f(x)=(x-a)g(x

13、)，其中 g(x)在点 x=a 处可导，则 f“(a)=_（分数：2.00）A.0B.g“(a)C.g(a) D.f(a)解析：解析 10.已知曲线 f(x)=x 2 与 g(x)=x 3 ，当它们的切线相互垂直时，自变量 x 的值应为_ A-1 B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 f“(x)=2x，g“(x)=3x 2 ，两曲线的切线相互垂直，即 f“(x)g“(x)=-1，即 2x3x 2 =1，即 11.已知函数 f(x)=|x|，则该函数 f(x)在点 x=0 处_（分数：2.00）A.连续且可导B.不连续C.连续但不可导 D.左右导数均不存在解析：解析 ，故

14、f(x)在 x=0 处连续 12.已知函数 f(x)=cosx 在闭区间0，2上满足罗尔定理，那么在开区间(0，2)内使得等式 f“()=0成立的 值是_ A （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 f(x)=cosx，f“(x)=-sinx，令 f“(x)=-sinx-0，0x2，可知 x=，即 =13.已知函数 f(x)在邻域(-，)内连续，当 x(-，0)时，f“(x)0；当 x(0，)时，f“(x)0，则在邻域(-，)内 _（分数：2.00）A.f(0)是极小值 B.f(0)是极大值C.f(0)不是极值D.f(0)是最大值解析：解析 由题可知 f(x)在(-，0)内单调减少，在

15、(0，)内单调增加，又由 f(x)在(-，)上连续，可知 f(x)在 x=0 处取得极小值14.已知函数 f(x)在开区间(a，b)内有：f“(x)0 且 f“(x)0，则在开区间(a，b)内，f(x)是_（分数：2.00）A.单调递减且形状为凸B.单调递增且形状为凸C.单调递减且形状为凹 D.单调递增且形状为凹解析：解析 f“(x)0 f(x)为(a，b)内的减函数；f“(x)015.已知曲线 y=2+x 5 ，则该曲线的拐点(x，y)=_（分数：2.00）A.(0，2) B.(1，3)C.(0，0)D.(-1，1)解析：解析 y“=5x 4 ，y“=20x 3 ，令 y“=0，得 x=0，

16、且 x0 时，y“0，x0 时，y“0，故(0，2)为曲线的拐点16.已知函数 F(x)是 f(x)的一个原函数，则不定积分f(2x)dx=_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 17.已知函数 （分数：2.00）A.sinxB.xcosxC.-xcosxD.xsinx 解析：解析 18.已知函数 f(x)在闭区间-a，a上连续，则定积分 （分数：2.00）A.-1B.0 C.1D.不确定解析：解析 由于被积函数 x 4 sinx 为奇函数，故 19.已知定积分 （分数：2.00）A.I1I2 B.I1=I2C.I1I2D.不确定解析：解析 当 0x1 时，x 2 x 3

17、，且等号只在端点处成立，故 20.已知函数 y=f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(x)0，则由曲线 y=f(x)与直线 x=a，x=b，y=0 所围成的平面图形的面积是_ A B （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由定积分的几何意义可知 A 正确21.已知下列微分方程，则可进行分离变量的是_（分数：2.00）A.xy“-3y=sinxB.(x-ycosx)dy+(y+x2)dx=0C.y“=sinxcosy D.yy“-4y+2x=0解析：解析 C 项中， ，分离变量，得22.已知微分方程 y“-5y“+ay=0 的一个解为 e 2x ，则常数 a=_（分数：2.00）A.4

18、B.3C.5D.6 解析：解析 (e 2x )“=2e 2x ，(e 2x )“=4e 2x ，代入微分方程，得 4e 2x -52e 2x +ae 2x =(a-6)e 2x =0，由于 e 2x 0，故 a=623.下列各组角中，可以作为向量的一组方向角的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由于方向角 ， 必须满足 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，可以验证只有 D 项正确24.已知函数 z=2x 2 +3xy-y 2 ，则 （分数：2.00）A.-2B.2C.6D.3 解析：解析 25.某公司要用铁板做成一个容积为 27m 3 的有盖长方体水

19、箱，为使用料最省，则该水箱的最小表面积应为_（分数：2.00）A.54m2 B.27m2C.9m2D.6m2解析：解析 设长方体的长宽分别为 a，b，则高为 ，于是，表面积 ， 令 ，得 由实际问题最值一定存在，可知最小表面积 26.已知平面闭区域 D：1x 2 +y 2 16，则二重积分 （分数：2.00）A.45 B.45C.48D.48解析：解析 27.已知 ，若将积分次序改变，则 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 由题，画出积分区域如图所示，交换积分次序，得 28.已知 L 为连接(1，0)及(0，1)两点的直线段，则曲线积分 L (x+y)ds=_

20、A2 B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 由于直线段的方程为 x+y=1，故 29.下列级数绝对收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对于 B 项， 故 30.已知级数 ，则下列结论正确的是_ A若 ，则 收敛 B若 的部分和数列S n 有界，则 收敛 C若 收敛，则 绝对收敛 D若 发散，则 （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 A 项中若 ，结论不成立； B 项中若 u n =(-1) n ，结论不成立； D 项中若 二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.已知函数 f(x)=x-1，则 f(x)的反函数是 y= 1

21、 （分数：2.00）解析：x+1解析 由 y=x-1，得 x=y+1，交换 x，y 的位置，得反函数为 y=x+132.极限 （分数：2.00）解析：0解析 由于 ，故 为 n时的无穷小量，又 为有界变量，故33.已知函数 （分数：2.00）解析：可去解析 34.已知函数 f(x)=lnx 为可导函数，则 f(x)在点 x=1.01 处的近似值为 1 （分数：2.00）解析：0.01解析 由 f(x0+x)f(x0)+f“(x0)x，故35.不定积分cos(3x+2)dx= 1 （分数：2.00）解析：解析 36.定积分 （分数：2.00）解析：2解析 37.已知函数 x=ln(x 2 +y

22、2 )，则全微分 dz| (1，1) = 1 （分数：2.00）解析：dx+dy 解析 ，则 38.与向量-3，4，1)平行的单位向量是 1 （分数：2.00）解析： 解析 向量的模为 故与之平行的单位向量为 39.微分方程 y“=e x-y 的通解是 1 （分数：2.00）解析：y=ln(e x +C) 解析 40.幂级数 （分数：2.00）解析：1解析 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41.求极限 （分数：5.00）_正确答案：()解析：42.已知函数 f(x)为可导函数，且 f(x)0，求函数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：43.计算不定积分 （分数：5.00）_正

23、确答案：()解析：44.计算定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析： 45.求过点 A(1，2，1)且与直线 （分数：5.00）_正确答案：()解析：所求直线的方向向量为 故所求直线方程为： 46.已知函数 z=f(x，y)由方程 x 2 +y 2 +z 2 -4z=0 所确定，求全微分 dz （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程两边微分，得 2xdx+2ydy+2zdz-4dz=0 整理，得 47.计算二重积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：48.求微分方程 （分数：5.00）_正确答案：()解析：所求方程通解为 49.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解

24、析：50.求级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：易求得此级数的收敛域为(-1，1)， 设 ，x(-1，1) 则 两边求导，得 故原级数的和函数为 四、应用题(总题数：2，分数：14.00)51.计算由曲线 x=0，y=e x ，y=e 所围成的平面图形的面积 （分数：7.00）_正确答案：()解析：所求平面图形的面积52.某公司主营业务是生产自行车，而且产销平衡，公司的成本函数 C(x)=40000+200x-0.002x 2 ，收入函数 R(x)=350x-0.004x 2 ，则生产多少辆自行车时，公司的利润最大? （分数：7.00）_正确答案：()解析：公司的利润 -R(x)-C

25、(x) =350x-0.004x 2 -40000-200x+0.002x 2 =150x-0.002x 2 -40000 “=150-0.004x，令 “=0，得唯一驻点 x=37500 由于实际问题最大值一定存在，故 x=37500 时， 取得最大值即生产 37500 辆自行车时，公司的利润最大五、证明题(总题数：1，分数：6.00)53.已知方程 x 11 -x 7 -x 3 +x=0 有一正根 x=1，证明方程 11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0 必有一个小于 1 的正根 （分数：6.00）_正确答案：()解析：证明 令 f(x)=x 11 -x 7 -x 3 +x，则根据题意可知 f(1)=0 因为 f(x)在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(0)=f(1)=0， 故由罗尔定理可知：(0，1)，使得 f“()=0，即 11 10 -7 6 -3 2 +1=0， 故方程 11x 10 -7x 6 -3x 2 +1=0 必有一个小于 1 的正根