【学历类职业资格】河南省专升本考试高等数学真题2013年及答案解析.doc

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1、河南省专升本考试高等数学真题 2013年及答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0，2B.(1，+)C.(1，2D.1，22.设 ，那么 fff(x)=_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.3.函数 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数4.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点5.当 x0 时，下列无穷小量中与 （分数：2.00）AxB.2xCx2D.2x26.已知 f“(0)=a，g“(0)=b，且 f(0)=b，且

2、f(0)=g(0)，则 （分数：2.00）A.a-bB.2a+bC.a+bD.b-a7.曲线 (a0，b0)，则 对应点处的法线斜率为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.8.设 f“(x)=g(x)，则 df(sin 2 x)=_（分数：2.00）A.2g(x)sinxdxB.g(x)sin2xdxC.g(sin2x)dxD.g(sin2x)sin2xdx9.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)=_（分数：2.00）A.n!f(x)n+1B.nf(x)n+1C.(n+1)f(x)n+1D.(n+1)!f(x)n+110.由方程

3、 xy=x x+y 确定的隐函数 x(y)的导数 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.11.若 f“(x)0(0xa)，且 f(0)=0，则下面成立的是_（分数：2.00）A.f“(x)0B.f“(x)在0，a上单调增加C.f(x)0D.f(x)在0，a上单调增加12.点(0，1)是曲线 y=x 3 +bx 2 +c的拐点，则_（分数：2.00）A.b=0，c=1B.b=-1，c=0C.b=1，c=1D.b=-1，c=113.曲线 （分数：2.00）A.1条B.2条C.3条D.4条14.函数 f(x)=e x -e -x 的一个原函数是_（分数：2.00）A.F(x)=ex-

4、e-xB.F(x)=ex+e-xC.F(x)=e-x-exD.F(x)=-ex-e-x15.若 f“(x)连续，则下列等式正确的是_（分数：2.00）A.df(x)B.df(x)dx=f(x)C.f“(x)=f(x)D.df(x2)dx=f(x2)dx16._ （分数：2.00）AB.-C.1D.017.设 （分数：2.00）A.xexB.(x-1)exC.(x+2)exD.xex+218.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.19.微分方程(y“)2+(y“)2y+y=0 的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2C.3D.420.微分方程 dy-2xy 2

5、 dx=0满足条件 y(1)=-1的特解是_ A B （分数：2.00）A.B.C.D.21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.22.直线 （分数：2.00）A.L在 上B.L与 垂直相交C.L与 平行D.L与 相交，但不垂直23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D.24. _ A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C.D.25.设 z=f(x 2 -y 2 ，2x+3y)，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.26.设 ，则交换积分次序后，I 可以化

6、为_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.27.积分 _ A2 B C （分数：2.00）A.B.C.D.28.设 L是抛物线 x=y 2 上从 O(0，0)到 A(1，1)的一段弧，则曲线积分 L 2xydx+x 2 dy=_（分数：2.00）A.0B.2C.4D.129.幂级数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(-，+)C.(-1，1)D.(-1，0)30.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)在点 x 0 有定义是极限 （分数：2.00）32.已知 （分数：2.00）33.函

7、数 （分数：2.00）34.设函数 （分数：2.00）35.不定积分 （分数：2.00）36.向量 a=1，0，1)与向量 b=-1，1，0)的夹角是 1. （分数：2.00）37.微分方程 y“+y-x=0的通解是 1. （分数：2.00）38.设方程 x+2y+x-2xyz=0所确定的隐函数为 z=z(x，y)，则 （分数：2.00）39.曲面 x=x 2 +y 2 在点(1，2，5)处的切平面方程是 1. （分数：2.00）40.将 （分数：2.00）三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41. （分数：5.00）_42.已知函数 x=x(y)由方程 所确定，求 （分数：5.00）

8、_43.求不定积分 （分数：5.00）_44.设 求 （分数：5.00）_45.求微分方程 2y“+y“-y=3e x 的通解. （分数：5.00）_46.设 u=x 2 +sin2y+e xy ，求全微分 du. （分数：5.00）_47.一平面过点(1，0，-1)且平行于向量 a=2，1，-1和 b=1，-1，2)，求此平面的方程. （分数：5.00）_48.计算 （分数：5.00）_49.计算积分 L (x 2 +2xy-y 2 +10)dx+(x 2 -2xy-y 2 +15)dy，其中 L为曲线 y=cosx上从点 到点 （分数：5.00）_50.求幂级数 （分数：5.00）_四、应

9、用题(总题数：2，分数：12.00)51.某房地产公司有 50套公寓要出租，当月租金定为 2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少? （分数：6.00）_52.曲线 y=x 3 (x0)，直线 x+y=2以及 y轴围成一平面图形 D，试求平面图形 D绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积. （分数：6.00）_五、证明题(总题数：1，分数：8.00)53.设 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：8.00）_河南省专升本考试高等数学真题 201

10、3年答案解析(总分：150.00，做题时间：90 分钟)一、单项选择题(总题数：30，分数：60.00)1.函数 （分数：2.00）A.0，2B.(1，+)C.(1，2 D.1，2解析：解析 为使函数有意义，须有2.设 ，那么 fff(x)=_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 由3.函数 （分数：2.00）A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数D.既奇又偶函数解析：解析 令 ，则 4.设 （分数：2.00）A.连续点B.可去间断点 C.跳跃间断点D.无穷间断点解析：解析 因5.当 x0 时，下列无穷小量中与 （分数：2.00）Ax B.2xCx2D.2x2解析：解析

11、 由选项可设与 等价的无穷小量为 ax b ，则 6.已知 f“(0)=a，g“(0)=b，且 f(0)=b，且 f(0)=g(0)，则 （分数：2.00）A.a-bB.2a+bC.a+b D.b-a解析：解析 7.曲线 (a0，b0)，则 对应点处的法线斜率为_ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 ，故 对应点处的法线斜率为8.设 f“(x)=g(x)，则 df(sin 2 x)=_（分数：2.00）A.2g(x)sinxdxB.g(x)sin2xdxC.g(sin2x)dxD.g(sin2x)sin2xdx 解析：解析 df(sin 2 x)=f(sin 2 x

12、)“dx=f“(sin 2 x)2sinxcosxdx，因为 f“(x)=g(x)，故 df(sin 2 x)=g(sin 2 x)sin2xdx，故选 D.9.设函数 f(x)具有任意阶导数，且 f“(x)=f(x) 2 ，则 f (n) (x)=_（分数：2.00）A.n!f(x)n+1 B.nf(x)n+1C.(n+1)f(x)n+1D.(n+1)!f(x)n+1解析：解析 因为 f“(x)=f(x) 2 ，所以 f“(x)=2f(x)f“(x)=2f(x)3，f“(x)=23f(x)2f“(x)=23f(x)4，f(4)=234f(x)3f“(x)=4!f(x)5，f(n)(x)=n!

13、f(x)n+1，故选 A.10.由方程 xy=x x+y 确定的隐函数 x(y)的导数 _ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 方程两边对 y求导，其中 x看作 y的函数，x“y+x=e x+y (x“+1)，所以 11.若 f“(x)0(0xa)，且 f(0)=0，则下面成立的是_（分数：2.00）A.f“(x)0B.f“(x)在0，a上单调增加 C.f(x)0D.f(x)在0，a上单调增加解析：解析 f“(x)0 只能说明 f“(x)是0，a上的增函数，而 A、C、D 中结论无法得到.12.点(0，1)是曲线 y=x 3 +bx 2 +c的拐点，则_（分数：2.

14、00）A.b=0，c=1 B.b=-1，c=0C.b=1，c=1D.b=-1，c=1解析：解析 y“=3x 2 +2bx，y“=6x+2b，当 x=0时，y“=2b=0，则 b=0，又曲线过点(0，1)，即 c=1，本题选 A13.曲线 （分数：2.00）A.1条 B.2条C.3条D.4条解析：解析 ，显然 x=-2为可去间断点，14.函数 f(x)=e x -e -x 的一个原函数是_（分数：2.00）A.F(x)=ex-e-xB.F(x)=ex+e-x C.F(x)=e-x-exD.F(x)=-ex-e-x解析：解析 f(x)dx=(e x -e -x )dx=e x dx+e -x d(

15、-x)=e x +e -x +C，结合选项可知 B正确15.若 f“(x)连续，则下列等式正确的是_（分数：2.00）A.df(x)B.df(x)dx=f(x)C.f“(x)=f(x)D.df(x2)dx=f(x2)dx 解析：解析 df(x)=f(x)+C，A 错，d(x)dx=f(x)dx，B 错，f“(x)dx=f(x)+C，C 错，D 正确16._ （分数：2.00）AB.-C.1D.0 解析：解析 由于 y=x 2 sinx为-，上的奇函数，故 17.设 （分数：2.00）A.xex B.(x-1)exC.(x+2)exD.xex+2解析：解析 方程两边对 x求导，得 f(2+x)=

16、e 2+x +xe 2+x ，所以 f(x)=e x +(x-2)e x ，f“(x)=e x +e x +(x-2)e x =xe x 18.下列广义积分收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 发散， 发散， 收敛，19.微分方程(y“)2+(y“)2y+y=0 的阶数是_（分数：2.00）A.1B.2 C.3D.4解析：解析 微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选 B20.微分方程 dy-2xy 2 dx=0满足条件 y(1)=-1的特解是_ A B （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 对微分方程分离变量，得 ，两边积分，得 ，代入 y

17、(1)=-1，得 C=0，故方程的特解为21.下列各组角中，可以作为向量的方向角的是_ A B C D （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 向量的方向角须满足 cos 2 +cos 2 +cos 2 =1，由此可知只有 C满足22.直线 （分数：2.00）A.L在 上B.L与 垂直相交 C.L与 平行D.L与 相交，但不垂直解析：解析 由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故 L与 垂直相交23.下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是_ A B C （分数：2.00）A.B.C.D. 解析：解析 D 中，曲面在 xOy平面上的投影为圆，故 D为柱面，其他均不是24. _

18、A0 B1 C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 25.设 z=f(x 2 -y 2 ，2x+3y)，则 _ A B C D （分数：2.00）A.B. C.D.解析：解析 26.设 ，则交换积分次序后，I 可以化为_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 画出积分区域如图，交换积分次序，得 27.积分 _ A2 B C （分数：2.00）A.B.C. D.解析：解析 28.设 L是抛物线 x=y 2 上从 O(0，0)到 A(1，1)的一段弧，则曲线积分 L 2xydx+x 2 dy=_（分数：2.00）A.0B.2C.4D.1 解析：解析 29.幂级

19、数 （分数：2.00）A.(0，1)B.(-，+)C.(-1，1) D.(-1，0)解析：解析 30.下列级数收敛的是_ A B C D （分数：2.00）A. B.C.D.解析：解析 A 为交错级数，且 ， 单调递减，故收敛， ，而 发散，故 B、C 均发散，D 中 ，故发散二、填空题(总题数：10，分数：20.00)31.函数 f(x)在点 x 0 有定义是极限 （分数：2.00）解析：既不充分也不必要 解析 f(x)在 x 0 有定义表明 f(x)定义域中包含 x 0 ，存在等价于 32.已知 （分数：2.00）解析：解析 ，故 33.函数 （分数：2.00）解析：解析 ，由 f(x)的

20、连续性，知 1-a=a，即 34.设函数 （分数：2.00）解析：解析 35.不定积分 （分数：2.00）解析：ln|2x+sinx|+C解析 36.向量 a=1，0，1)与向量 b=-1，1，0)的夹角是 1. （分数：2.00）解析：解析 37.微分方程 y“+y-x=0的通解是 1. （分数：2.00）解析：y=x+Ce -x -1 解析 由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为 y=e -dx (xe dx +C)=e -x (xe x dx+C) =e -x (xe x -e x +C)=x+Ce -x -138.设方程 x+2y+x-2xyz=0所确定的隐函数为 z=z(x，

21、y)，则 （分数：2.00）解析：-5解析 方程两边对 x求偏导，得 ，39.曲面 x=x 2 +y 2 在点(1，2，5)处的切平面方程是 1. （分数：2.00）解析：2x+4y-z=5 解析 令 F(x，y，z)=x 2 +y 2 -z，F x =2x，F y =2y，F z =-1，故点(1，2，5)处的切平面法向量为F x | x=1 ，F y | y=2 ，F z |z=5=2，4，-1，所以切平面方程为 2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即 2x+4y-z=540.将 （分数：2.00）解析：解析 ，因为 ，所以 三、计算题(总题数：10，分数：50.00)41. （分

22、数：5.00）_正确答案：()解析：42.已知函数 x=x(y)由方程 所确定，求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：方程 两边对 y求导，得 即 ， 即 43.求不定积分 （分数：5.00）_正确答案：()解析：令 ，则 x=t 2 ，dt=2tdt， 将 代入得 44.设 求 （分数：5.00）_正确答案：()解析：45.求微分方程 2y“+y“-y=3e x 的通解. （分数：5.00）_正确答案：()解析：对应齐次方程的特征方程为 2 2 +-1=0，特征根为 1 =-1， ，所以原方程对应齐次方程的通解为 ，C 1 ，C 2 为任意常数，又 1不是对应齐次方程的特征根，设 y*

23、=Ae x 为方程特解，代入方程得 2Ae x +Ae x -Ae x =3e x ，即 ， 故原方程的通解为 46.设 u=x 2 +sin2y+e xy ，求全微分 du. （分数：5.00）_正确答案：()解析： 所以 47.一平面过点(1，0，-1)且平行于向量 a=2，1，-1和 b=1，-1，2)，求此平面的方程. （分数：5.00）_正确答案：()解析：设 c=m，n，p)为所求平面的一个法向量，则 48.计算 （分数：5.00）_正确答案：()解析：积分区域如图所示， 49.计算积分 L (x 2 +2xy-y 2 +10)dx+(x 2 -2xy-y 2 +15)dy，其中

24、L为曲线 y=cosx上从点 到点 （分数：5.00）_正确答案：()解析：由于 ，所以所求积分与路径无关，所以可以沿直线 y=0积分， 50.求幂级数 （分数：5.00）_正确答案：()解析：因为 ，所以幂级数的收敛半径为 2，令|x-1|2，得收敛区间为(-1,3)，当 x=-1时，原级数为 收敛，当 x=3时，原级数为 四、应用题(总题数：2，分数：12.00)51.某房地产公司有 50套公寓要出租，当月租金定为 2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费 200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?

25、（分数：6.00）_正确答案：()解析：设租金定为 x元时对应的收入为 y元，则 ，即 ， 令 52.曲线 y=x 3 (x0)，直线 x+y=2以及 y轴围成一平面图形 D，试求平面图形 D绕 y轴旋转一周所得旋转体的体积. （分数：6.00）_正确答案：()解析：平面图形如图阴影部分所示， 所求体积 五、证明题(总题数：1，分数：8.00)53.设 f(x)在区间0，1上连续，且 f(x)1，证明：方程 （分数：8.00）_正确答案：()解析：证明 令 ，则 F(x)为0，1上连续函数， 且 F(0)=-10， ， 由于 f(t)1，则 ，故 F(1)0，由零点存在定理，F(x)在(0，1)内有实根，又 F“(x)=2-f(x)10，F(x)在(0，1)上单调增加， 因此方程