2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）数学理.docx

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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 （ 新课标 卷 ） 数学理 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=(x， y)|x2+y2=1， B=(x， y)|y=x，则 A B中元素的个数为 ( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析：解不等式组求出元素的个数即可 . 答案： B. 2.设复数 z满足 (1+i)z=2i，则 |z|=( ) A.12B. 22C. 2 D.2 解析：利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出 . 答案： C. 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收

2、集并整理了 2014年 1月至 2016年 12月期间月接待游客量 (单位：万人 )的数据，绘制了下面的折线图 . 根据该折线图，下列结论错误的是 ( ) A.月接待游客量逐月增加 B.年接待游客量逐年增加 C.各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8月 D.各年 1月至 6月的月接待游客量相对于 7月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 解析：由已有中 2014 年 1月至 2016年 12月期间月接待游客量 (单位：万人 )的数据可得： 月接待游客量逐月有增有减，故 A错误； 年接待游客量逐年增加，故 B正确； 各年的月接待游客量高峰期大致在 7， 8月，故 C正确； 各年 1月至 6月

3、的月接待游客量相对于 7月至 12月，波动性更小，变化比较平稳，故 D正确 . 答案： A. 4.(x+y)(2x-y)5的展开式中的 x3y3系数为 ( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 解析： (2x-y)5的展开式的通项公式： Tr+1=5r(2x)5-r(-y)r=25-r(-1)r5rx5-ryr.令 5-r=2， r=3，解得 r=3.令 5-r=3， r=2，解得 r=2.即可得出 . 答案： C. 5.已知双曲线 C： 22xyab=1(a 0， b 0)的一条渐近线方程为 y= 52x，且与椭圆 2212 3xy=1有公共焦点，则 C的方程为 ( ) A. 22

4、8 10xy=1 B. 2245xy=1 C. 2254xy=1 D. 2243xy=1 解析：求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，利用双曲线的渐近线方程，求出双曲线 实半轴与虚半轴的长，即可得到双曲线方程 . 答案： B. 6.设函数 f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是 ( ) A.f(x)的一个周期为 -2 B.y=f(x)的图象关于直线 x=83对称 C.f(x+ )的一个零点为 x=6D.f(x)在 (2， )单调递减 解析：根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可 . 答案： D. 7.执行如图的程序框图，为使输出 S的值小于 91，则输入的正整数 N的最小值为 (

5、 ) A.5 B.4 C.3 D.2 解析：通过模拟程序，可得到 S的取值情况，进而可得结论 . 答案： D. 8.已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( ) A. B.34C.2D.4解析：推导出该圆柱底面圆周半径 r= 22 13122 ，由此能求出该圆柱的体积 . 答案： B. 9.等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an前 6项的和为 ( ) A.-24 B.-3 C.3 D.8 解析：利用等差数列通项公式、等比数列性质列出方程，求出公差，由此能求出 an前 6项的和 . 答案： A. 1

6、0.已知椭圆 C： 22xyab=1(a b 0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0 相切，则 C的离心率为 ( ) A. 63B. 33C. 23D.13解析：以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx-ay+2ab=0相切，可得原点到直线的距离222abab=a，化简即可得出 . 答案： A. 11.已知函数 f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则 a=( ) A.-12B.13C.12D.1 解析：通过转化可知问题等价于函数 y=1-(x-1)2的图象与 y=a(ex-1+11xe)的图象只有一个交点求 a的值

7、 .分 a=0、 a 0、 a 0三种情况，结合函数的单调性分析可得结论 . 答案： C. 12.在矩形 ABCD中， AB=1， AD=2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD 相切的圆上 .若 AP = AB+ AD ，则 +的最大值为 ( ) A.3 B.2 2 C. 5 D.2 解析：如图：以 A为原点，以 AB， AD 所在的直线为 x， y轴建立如图所示的坐标系，先求出圆的标准方程，再设点 P的坐标为 (255cos +1， 255sin +2)，根据 AP = AB + AD ，求出，根据三角函数的性质即可求出最值 . 答案： A. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共

8、20分 . 13.若 x， y满足约束条件 0200xyxyy ，则 z=3x-4y的最小值为 _. 解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求目标函数 z=3x-4y的最小值 . 答案： -1. 14.设等比数列 an满足 a1+a2=-1， a1-a3=-3，则 a4=_. 解析：设等比数列 an的公比为 q，由 a1+a2=-1， a1-a3=-3，可得： a1(1+q)=-1， a1(1-q2)=-3，解出即可得出 . 答案： -8. 15.设函数 f(x)= 1020xxxx， ，则满足 f(x)+f(x-12) 1的 x的取值范围是 _. 解析：根据分段函数的表达

9、式，分别讨论 x的取值范围，进行求解即可 . 答案： (-14， + ). 16.a， b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC所在直线与 a， b都垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB 与 a成 60角时， AB与 b成 30角； 当直线 AB 与 a成 60角时， AB与 b成 60角； 直线 AB与 a所成角的最小值为 45； 直线 AB与 a所成角的最小值为 60； 其中正确的是 _.(填写所有正确结论的编号 ) 解析：由题意知， a、 b、 AC 三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为 1 的正方体，|AC|=1，

10、|AB|= 2 ，斜边 AB以直线 AC为旋转轴，则 A点保持不变， B点的运动轨迹是以 C为圆心， 1为半径的圆，以 C坐标原点，以 CD 为 x轴， CB为 y轴， CA为 z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果 . 答案： . 三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第 22、 23题为选考题，考生根据要求作答 .(一 )必考题： 60 分 . 17. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 sinA+ 3 cosA=0， a=2 7 ， b=2. (1)求 c； (2)设

11、D为 BC边上一点，且 AD AC，求 ABD的面积 . 解析： (1)先根据同角的三角函数的关系求出 A，再根据余弦定理即可求出， (2)先根据夹角求出 cosC，求出 CD的长，得到 S ABD=12S ABC. 答案： (1) sinA+ 3 cosA=0， tanA=- 3 ， 0 A， A=23， 由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA， 即 28=4+c2-2 2c (-12)， 即 c2+2c-24=0， 解得 c=-6(舍去 )或 c=4， 故 c=4. (2) c2=b2+a2-2abcosC， 16=28+4-2 2 7 2 cosC， cosC= 27， CD=

12、 272c o s7ACC CD=12BC S ABC=12AB AC sin BAC=12 4 2 32=2 3 ， S ABD=12S ABC= 3 . 18.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完 .根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温 (单位： )有关 .如果最高气温不低于 25，需求量为 500瓶；如果最高气温位于区间 20， 25)，需求量为 300瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶 .为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数

13、分布表： 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率 . (1)求六月份这种酸奶一天的需求量 X(单位：瓶 )的分布列； (2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元 )，当六月份这种酸奶一天的进货量 n(单位：瓶 )为多少时， Y的数学期望达到最大值？ 解析： (1)由题意知 X 的可能取值为 200， 300， 500，分别求出相应的概率，由此能求出 X的分布列 . (2)当 n 200时， Y=n(6-4)=2n 400， EY 400；当 200 n 300时， EY 1.2 300+160=520；当 300 n 500时， n=300时， (EY)max=640

14、-0.4 300=520；当 n 500时， EY 1440-2 500=440.从而得到当 n=300时， EY最大值为 520元 . 答案： (1)由题意知 X 的可能取值为 200， 300， 500， P(X=200)=2 1690=0.2， P(X=300)=3690=0.4， P(X=500)= 25 7 490=0.4， X的分布列为： (2)当 n 200时， Y=n(6-4)=2n 400， EY 400， 当 200 n 300时， 若 x=200，则 Y=200 (6-4)+(n-200) (2-4)=800-2n， 若 x 300，则 Y=n(6-4)=2n， EY=p

15、(x=200) (800-2n)+p(x 300) 2n=0.2(800-2n)+0.8=1.2n+160， EY 1.2 300+160=520， 当 300 n 500时，若 x=200，则 Y=800-2n， 若 x=300，则 Y=300 (6-4)+(n-300) (2-4)=1200-2n， 当 n=300时， (EY)max=640-0.4 300=520， 若 x=500，则 Y=2n， EY=0.2 (800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4 2n=640-0.4n， 当 n 500时， Y= 8 0 0 2 2 0 01 2 0 0 2 3 0 02 0 0 0 2

16、 5 0 0nxnxnx ， EY=0.2(800-2n)+0.4(1200-2n)+0.4(2000-2n)=1440-2n， EY 1440-2 500=440. 综上，当 n=300时， EY最大值为 520元 . 19.如图，四面体 ABCD 中， ABC是正三角形， ACD是直角三角形， ABD= CBD， AB=BD. (1)证明：平面 ACD平面 ABC； (2)过 AC的平面交 BD 于点 E，若平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值 . 解析： (1)如图所示，取 AC 的中点 O，连接 BO， OD. ABC是等边三角形，可得 OB

17、 AC.由已知可得： ABD CBD， AD=CD. ACD是直角三角形，可得 AC 是斜边， ADC=90 .可得 DO=12 AC.利用 DO2+BO2=AB2=BD2.可得 OB OD.利用线面 垂直的判定与性质定理即可证明 . (2)设点 D， B到平面 ACE的距离分别为 hD， hE.则DEh DEh BE .根据平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分，可得1313A C E DDEA C E ESh h DEh B ESh=1，即点 E是 BD 的中点 .建立如图所示的空间直角坐标系 .不妨取 AB=2.利用法向量的夹角公式即可得出 . 答案： (1)证明：如图所示，

18、取 AC 的中点 O，连接 BO， OD. ABC是等边三角形， OB AC. ABD与 CBD中， AB=BD=BC， ABD= CBD， ABD CBD， AD=CD. ACD是直角三角形， AC是斜边， ADC=90 . DO=12AC. DO2+BO2=AB2=BD2. BOD=90 . OB OD. 又 DO AC=O， OB平面 ACD. 又 OB 平面 ABC， 平面 ACD平面 ABC. (2)解：设点 D， B到平面 ACE的距离分别为 hD， hE.则DEh DEh BE . 平面 AEC把四面体 ABCD分成体积相等的两部分， 1313A C E DDEA C E ESh

19、 h DEh B ESh=1. 点 E是 BD 的中点 . 建立如图所示的空间直角坐标系 .不妨取 AB=2. 则 O(0， 0， 0)， A(1， 0， 0)， C(-1， 0， 0)， D(0， 0， 1)， B(0， 3 ， 0)， E(0， 32， 12). AD =(-1， 0， 1)， AE =(-1， 32， 12)， AC =(-2， 0， 0). 设平面 ADE的法向量为 m =(x， y， z)，则 00m ADm AE ，即 031 022xzx y z ，取 m =(3，3 ， 3). 同理可得：平面 ACE的法向量为 n =(0， 1， - 3 ). cos m ，

20、n = 2 3 772 1 2mnmn . 二面角 D-AE-C的余弦值为 77. 20.已知抛物线 C： y2=2x，过点 (2， 0)的直线 l交 C与 A， B两点，圆 M是以线段 AB为直径的圆 . (1)证明：坐标原点 O 在圆 M上； (2)设圆 M过点 P(4， -2)，求直线 l与圆 M的方程 . 解析： (1)方法一：分类讨论，当直线斜率不存在时，求得 A 和 B 的坐标，由 OA OB =0，则坐标原点 O在圆 M上；当直线 l斜率存在，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的可得 OA OB =0，则坐标原点 O在圆 M上； 方法二：设直线 l的方程 x=my+2，代入

21、椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得 OA OB =0，则坐标原点 O在圆 M上； (2)由题意可知： AP BP =0，根据向量数量积的坐标运算，即可求得 k 的值，求得 M 点坐标，则半径 r=丨 MP丨，即可求得圆的方程 . 答案：方法一：证明： (1)当直线 l的斜率不存在时，则 A(2， 2)， B(2， -2)， 则 OA=(2， 2)， OB =(2， -2)，则 OA OB =0， OA OB ， 则坐标原点 O在圆 M上； 当直线 l的斜率存在，设直线 l的方程 y=k(x-2)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 222y k xyx ，整理得：

22、 k2x2-(4k2+1)x+4k2=0， 则 x1x2=4， 4x1x2=y12y22=(y1y2)2，由 y1y2 0， 则 y1y2=-4， 由 OA OB =x1x2+y1y2=0， 则 OA OB ， 则坐标原点 O在圆 M上， 综上可知：坐标原点 O 在圆 M上； 方法二：设直线 l的方程 x=my+2， 222x myyx，整理得： y2-2my-4=0， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 y1y2=-4， 则 (y1y2)2=4x1x2，则 x1x2=4，则 OA OB =x1x2+y1y2=0， 则 OA OB ，则坐标原点 O在圆 M上， 坐标原点 O在圆 M

23、上； (2)由 (1)可知： x1x2=4， x1+x2= 2242kk ， y1+y2=2k ， y1y2=-4， 圆 M过点 P(4， -2)，则 AP =(4-x1， -2-y1)， BP =(4-x2， -2-y2)， 由 AP BP =0，则 (4-x1)(4-x2)+(-2-y1)(-2-y2)=0， 整理得： k2+k-2=0，解得： k=-2， k=1， 当 k=-2时，直线 l的方程为 y=-2x+4， 则 x1+x2=92， y1+y2=-1， 则 M(94， -12)，半径为 r=丨 MP 丨 = 229 1 8 5424 2 4 ， 圆 M的方程 (x-94)2+(y+

24、12)2=8516. 当直线斜率 k=1时，直线 l的方程为 y=x-2， 同理求得 M(3， 1)，则半径为 r=丨 MP 丨 = 10 ， 圆 M的方程为 (x-3)2+(y-1)2=10， 综上可知：直线 l 的方程为 y=-2x+4，圆 M 的方程 (x-94)2+(y+12)2=8516或直线 l 的方程为y=x-2，圆 M的方程为 (x-3)2+(y-1)2=10. 21.已知函数 f(x)=x-1-alnx. (1)若 f(x) 0，求 a 的值； (2)设 m为整数，且对于任意正整数 n， (1+12)(1+212 ) (1+12n) m，求 m的最小值 . 解析： (1)通过

25、对函数 f(x)=x-1-alnx(x 0)求导，分 a 0、 a 0 两种情况考虑导函数 f(x)与 0的大小关系可得结论； (2)通过 (1)可知 lnx x-1，进而取特殊值可知 ln(1+ 12k) 12k， k N*.一方面利用等比数列的求和公式放缩可知 (1+12)(1+212 ) (1+12n) e，另一方面可知 (1+12)(1+212 ) (1+12n) 2，从而当 n 3时， (1+12)(1+212 ) (1+12n) (2， e)，比较可得结论 . 答案： (1)因为函数 f(x)=x-1-alnx， x 0， 所以 f (x)=1-a x axx，且 f(1)=0.

26、所以当 a 0时 f (x) 0恒成立，此时 y=f(x)在 (0， + )上单调递增，这与 f(x) 0矛盾； 当 a 0时令 f (x)=0，解得 x=a， 所以 y=f(x)在 (0， a)上单调递减，在 (a， + )上单调递增，即 f(x)min=f(a)， 又因为 f(x)min=f(a) 0， 所以 a=1； (2)由 (1)可知当 a=1时 f(x)=x-1-lnx 0，即 lnx x-1， 所以 ln(x+1) x当且仅当 x=0时取等号， 所以 ln(1+12k) 12k， k N*. 一方面， ln(1+12)+ln(1+212 )+ +ln(1+12n) 12+122+

27、 +12n=1-12n 1， 即 (1+12)(1+212 ) (1+12n) e； 另一方面， (1+12)(1+212 ) (1+12n) (1+12)(1+212 )(1+312 )=13564 2； 从而当 n 3时， (1+12)(1+212 ) (1+12n) (2， e)， 因为 m为整数，且对于任意正整数 n， (1+12)(1+212 ) (1+12n) m成立， 所以 m的最小值为 3. (二 )选考题：共 10 分 .请考生在第 22、 23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分 .选修 4-4：坐标系与参数方程 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l1的参数

28、方程为 2xty kt， (t 为参数 )，直线 l2的参数方程为 2xmmy k ， (m为参数 ).设 l1与 l2的交点为 P，当 k变化时， P的轨迹为曲线 C. (1)写出 C的普通方程； (2)以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos +sin )- 2 =0，M为 l3与 C的交点，求 M的极径 . 解析： (1)分别消掉参数 t与 m可得直线 l1与直线 l2的普通方程为 y=k(x-2)与 x=-2+ky；联立，消去 k可得 C的普通方程为 x2-y2=4； (2)将 l3的极坐标方程为 (cos +sin )- 2 =0 化为普通方程： x+y

29、- 2 =0，再与曲线 C的方程联立，可得32222xy ，即可求得 l3与 C的交点 M的极径为 = 5 . 答案： (1)直线 l1的参数方程为 2xty kt， (t 为参数 )， 消掉参数 t得：直线 l1的普通方程为： y=k(x-2)； 又直线 l2的参数方程为 2xmmy k ， (m为参数 )， 同理可得，直线 l2的普通方程为： x=-2+ky； 联立，消去 k得： x2-y2=4，即 C的普通方程为 x2-y2=4； (2) l3的极坐标方程为 (cos +sin )- 2 =0， 其普通方程为： x+y- 2 =0， 联立2224xyxy 得：32222xy ， 2=x2

30、+y2=18 244=5. l3与 C的交点 M的极径为 = 5 . 选修 4-5：不等式选讲 23.已知函数 f(x)=|x+1|-|x-2|. (1)求不等式 f(x) 1 的解集； (2)若不等式 f(x) x2-x+m的解集非空，求 m的取值范围 . 解析： (1)由于 f(x)=|x+1|-|x-2|= 312 1 1 232xxxx ， ， ，解不等式 f(x) 1 可分 -1 x 2与 x 2两类讨论即可解得不等式 f(x) 1的解集； (2)依题意可得 m f(x)-x2+xmax，设 g(x)=f(x)-x2+x，分 x 1、 -1 x 2、 x 2三类讨论，可求得 g(x)

31、max=54，从而可得 m的取值范围 . 答案： (1) f(x)=|x+1|-|x-2|= 312 1 1 232xxxx ， ， ， f(x) 1， 当 -1 x 2时， 2x-1 1，解得 1 x 2； 当 x 2时， 3 1恒成立，故 x 2； 综上，不等式 f(x) 1 的解集为 x|x 1. (2)原式等价于存在 x R使得 f(x)-x2+x m成立， 即 m f(x)-x2+xmax，设 g(x)=f(x)-x2+x. 由 (1)知， g(x)=222313 1 1 232x x xx x xx x x ， ， 当 x -1时， g(x)=-x2+x-3，其开口向下，对称轴方程为 x=12 -1， g(x) g(-1)=-1-1-3=-5； 当 -1 x 2时， g(x)=-x2+3x-1，其开口向下，对称轴方程为 x=32 (-1， 2)， g(x) g(32)= 9 9 514 2 4 ； 当 x 2时， g(x)=-x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为 x=12 2， g(x) g(2)=-4+2=3=1； 综上， g(x)max=54， m的取值范围为 (-， 54.