2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）数学文.docx

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1、2017年普通高等学校招生全国统一考试 (新课标 卷 )数学文 一、选择题：本大题共 12小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的 . 1.已知集合 A=x|x 2， B=x|3-2x 0，则 ( ) A.A B=x|x 32 B.A B= C.A B=x|x 32 D.AUB=R 解析：集合 A=x|x 2， B=x|3-2x 0=x|x 32， A B=x|x 32，故 A 正确， B错误； A B=x|x 2，故 C， D错误 . 答案： A 2.为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田，这 n块地的亩产量 (单位： kg)分别是

2、x1， x2， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是 ( ) A.x1， x2， xn的平均数 B.x1， x2， xn的标准差 C.x1， x2， xn的最大值 D.x1， x2， xn的中位数 解析：在 A中，平均数是表示一组数据集中趋势的量数，它是反映数据集中趋势的一项指标， 故 A不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 B 中，标准差能反映一个数据集的离散程度，故 B 可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 C中，最大值是一组数据最大的量，故 C不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度； 在 D中，中位数将数据分成前半部分和后半部分，用来代表一组数据的

3、“中等水平”， 故 D不可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度 . 答案： B 3.下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(1+i)2 B.i2(1-i) C.(1+i)2 D.i(1+i) 解析： A.i(1+i)2=i 2i=-2，是实数 . B.i2(1-i)=-1+i，不是纯虚数 . C.(1+i)2=2i为纯虚数 . D.i(1+i)=i-1不是纯虚数 . 答案： C 4 如图，正方形 ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称 .在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( ) A.14B.8C.12D.4解析：

4、根据图象的对称性知，黑色部分为圆面积的一半，设圆的半径为 1，则正方形的边长为 2，则黑色部分的面积 S=2，则对应概率 248P. 答案： B 5.已知 F 是双曲线 C： 22 13yx 的右焦点， P 是 C 上一点，且 PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1， 3).则 APF的面积为 ( ) A.13B.12C.23D.32解析：由双曲线 C： 22 13yx 的右焦点 F(2， 0)， PF与 x轴垂直，设 (2， y)， y 0，则 y=3，则 P(2， 3)， AP PF，则 |AP|=1， |PF|=3， APF的面积 S= 1322A P P F . 答案： D 6.

5、如图，在下列四个正方体中， A， B为正方体的两个顶点， M， N， Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线 AB与平面 MNQ不平行的是 ( ) A. B. C. D. 解析：对于选项 B，由于 AB MQ，结合线面平行判定定理可知 B不满足题意； 对于选项 C，由于 AB MQ，结合线面平行判定定理可知 C不满足题意； 对于选项 D，由于 AB NQ，结合线面平行判定定理可知 D不满足题意； 所以选项 A满足题意 . 答案： A 7.设 x， y满足约束条件 3310xyxyy ，则 z=x+y的最大值为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析： x， y满足约束条件3310xy

6、xyy ， 的可行域如图： 则 z=x+y经过可行域的 A时，目标函数取得最大值， 由 033yxy， 解得 A(3， 0)，所以 z=x+y 的最大值为： 3. 答案： D 8.函数 sin 21 cosxy x 的部分图象大致为 ( ) A. B. C. D. 解析：函数 2 c o s c o ss i n 2 21 c o s s i n2x xxyxx，可知函数是奇函数，排除选项 B， 当 x= 3时，32 313 1()2f ，排除 A， x=时， f( )=0，排除 D. 答案： C 9.已知函数 f(x)=lnx+ln(2-x)，则 ( ) A.f(x)在 (0， 2)单调递增

7、 B.f(x)在 (0， 2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 D.y=f(x)的图象关于点 (1， 0)对称 解析：函数 f(x)=lnx+ln(2-x)， f(2-x)=ln(2-x)+lnx， 即 f(x)=f(2-x)， 即 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 . 答案： C 10.如图程序框图是为了求出满足 3n-2n 1000的最小偶数 n，那么在和两个空白框中，可以分别填入 ( ) A.A 1000和 n=n+1 B.A 1000和 n=n+2 C.A 1000和 n=n+1 D.A 1000和 n=n+2 解析：因为要求 A 1000 时输出，且框图中在

8、“否”时输出，所以“ ”内不能输入“ A 1000”， 又要求 n为偶数，且 n 的初始值为 0，所以“ ”中 n依次加 2可保证其为偶数，所以 D选项满足要求 . 答案： D 11. ABC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，已知 sinB+sinA(sinC-cosC)=0， a=2， c=2 ，则 C=( ) A.12B.6C.4D.3解析： sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC， sinB+sinA(sinC-cosC)=0， sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0， cosAsinC+sinAsinC=0，

9、 sinC 0， cosA=-sinA， tanA=-1， 0 A， A=34， 由正弦定理可得sin sincaCA， sinC= sincAa， a=2， c= 2 ，22s i n 1222cAa， a c， C=6 . 答案： B 12.设 A， B是椭圆 C： 2213xym长轴的两个端点，若 C上存在点 M满足 AMB=120，则m的取值范围是 ( ) A.(0， 1 9， + ) B.(0， 3 9， + ) C.(0， 1 4， + ) D.(0， 3 4， + ) 解析：假设椭圆的焦点在 x轴上，则 0 m 3时， 假设 M位于短轴的端点时， AMB取最大值，要使椭圆 C上存

10、在点 M满足 AMB=120， AMB 120， AMO 60， tan AMO= 3 t a n 6 0 3m ，解得： 0 m 1； 当椭圆的焦点在 y轴上时， m 3， 假设 M位于短轴的端点时， AMB取最大值，要使椭圆 C上存在点 M满足 AMB=120， AMB 120， AMO 60， tan AMO= t a n 6 0 33m ，解得： m 9， m的取值范围是 (0， 1 9， + ). 答案： A 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20分 . 13.已知向量 a =(-1， 2)， b =(m， 1)，若向量 ab 与 a 垂直，则 m= . 解析：向量 a

11、 =(-1， 2)， b =(m， 1)， ab =(-1+m， 3)， 向量 ab 与 a 垂直， a b a =(-1+m) (-1)+3 2=0，解得 m=7. 答案： 7 14.曲线 y=x2+1x在点 (1， 2)处的切线方程为 . 解析：曲线 y=x2+1x，可得 y =2x-21x ，切线的斜率为： k=2-1=1.切线方程为： y-2=x-1，即： x-y+1=0. 答案： x-y+1=0 15.已知 (0，2)， tan =2，则 cos( -4)= . 解析： (0，2)， tan =2， sin =2cos， sin2 +cos2 =1，解得 sin =255， cos

12、= 55， 5 2 2 5 2 3 1 0c o s c o s c o s s i n s i n4 4 4 5 2 5) 2 1 0( . 答案： 3 101016.已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O的球面上， SC是球 O的直径，若平面 SCA平面SCB， SA=AC， SB=BC，三棱锥 S-ABC的体积为 9，则球 O的表面积为 . 解析：三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， SC 是球 O 的直径，若平面 SCA平面SCB， SA=AC， SB=BC，三棱锥 S-ABC的体积为 9， 可知三角形 SBC与三角形 SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为 r，

13、 可得 1132 2r r r=9，解得 r=3.球 O的表面积为： 4 r2=36 . 答案： 36 三、解答题：共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算过程 .(一 )必考题 17.记 Sn为等比数列 an的前 n项和 .已知 S2=2， S3=-6. (1)求 an的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn+1， Sn， Sn+2是否能成等差数列 . 解析： (1)由题意可知 a3=S3-S2=-6-2=-8，31 228aa qq，32 8aa qq，由 a1+a2=2，列方程即可求得 q及 a1，根据等比数列通项公式，即可求得 an的通项公式； (2)由 (1)可知 .利用等

14、比数列前 n项和公式，即可求得 Sn，分别求得 Sn+1， Sn+2，显然 Sn+1+Sn+2=2Sn，则 Sn+1， Sn， Sn+2成等差数列 . 答案： (1)设等比数列 an首项为 a1，公比为 q， 则 a3=S3-S2=-6-2=-8，则31 228aa qq，32 8aa qq， 由 a1+a2=2，2882qq，整理得： q2+4q+4=0，解得： q=-2， 则 a1=-2， an=(-2)(-2)n-1=(-2)n， an的通项公式 an=(-2)n； (2)由 (1)可知： 12 1 21 11 1 2 3nnnaqSq (2+(-2)n+1)， 则 Sn+1=-13(2

15、+(-2)n+2)， Sn+2=-13(2+(-2)n+3)， 由 Sn+1+Sn+2=-13(2+(-2)n+2)-13(2+(-2)n+3)=-134+(-2) (-2)n+1+(-2)2 +(-2)n+1 =-134+2(-2)n+1=2 -13(2+(-2)n+1) =2Sn， 即 Sn+1+Sn+2=2Sn， Sn+1， Sn， Sn+2成等差数列 . 18.如图，在四棱锥 P-ABCD中， AB CD，且 BAP= CDP=90 . (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PA=PD=AB=DC， APD=90，且四棱锥 P-ABCD的体积为 83，求该四棱锥的侧面积 .

16、 解析： (1)推导出 AB PA， CD PD，从而 AB PD，进而 AB平面 PAD，由此能证明平面 PAB平面 PAD. (2)设 PA=PD=AB=DC=a，取 AD中点 O，连结 PO，则 PO底面 ABCD，且 AD= 2 a， PO= 22a，由四棱锥 P-ABCD的体积为 83，求出 a=2，由此能求出该四棱锥的侧面积 . 答案： (1)在四棱锥 P-ABCD中， BAP= CDP=90， AB PA， CD PD， 又 AB CD， AB PD， PA PD=P， AB平面 PAD， AB 平面 PAB，平面 PAB平面 PAD. (2)设 PA=PD=AB=DC=a，取

17、AD中点 O，连结 PO， PA=PD=AB=DC， APD=90，平面 PAB平面 PAD， PO底面 ABCD，且 22 2A D a a a ， PO= 22a， 四棱锥 P-ABCD的体积为 83， VP-ABCD=13 S 四边形 ABCD PO= 31 1 2 1283 3 2 3A B A D P O a a a a ， 解得 a=2， PA=PD=AB=DC=2， AD=BC=2 2 ， PO= 2 ， PB=PC= 4 4 2 2 ， 该四棱锥的侧面积： S 侧 =S PAD+S PAB+S PDC+S PBC = 221 1 1 12 2 2 2 2BCP A P D P

18、A A B P D D C B C P B = 11112 2 2 2 2 2 2 2 8 2 6 2 32222 . 19.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸 (单位： cm).下面是检验员在一天内依次抽取的 16个零件的尺寸： 经计算得 1611 9 . 9 716 iixx， 1 6 1 62 221111 1 6 0 . 2 1 21 6 1 6iiiis x x x x ， 16 218.5ii 18.439， 1618 . 5iix x i =-2.78，其中 xi为抽取的第 i个零件的尺寸，i=1， 2， 1

19、6. (1)求 (xi， i)(i=1， 2， 16)的相关系数 r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 (若 |r| 0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 ). (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 (x -3s， x +3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 . ( )从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ ( )在 (x -3s， x +3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差 .(精确到 0

20、.01). 附：样本 (xi， yi)(i=1， 2， n)的相关系数 12211niiinniiiix y yrxyxx y， 0.008 0.09. 解析： (1)代入数据计算，比较 |r|与 0.25的大小作出结论； (2)(i)计算合格零件尺寸范围，得出结论； (ii)代入公式计算即可 . 答案： (1) 1611 6 1 622118 . 5 2 . 7 80 . 1 80 . 2 1 2 1 6 1 8 . 4 3 98 . 5iiiiiiixxxyrxy . |r| 0.25，可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小 . (2)(i)x =9.97， s=

21、0.212，合格零件尺寸范围是 (9.334， 10， 606)， 显然第 13号零件尺寸不在此范围之内， 需要对当天的生产过程进行检查 . (ii)剔除离群值后，剩下的数据平均值为 115(16 9.97-9.22)=10.02， 16 21 iix=16 0.2122+16 9.972=1591.134， 剔除离群值后样本方差为 115(1591.134-9.222-15 10.022)=0.008， 剔除离群值后样本标准差为 0.008 0.09. 20.设 A， B为曲线 C： y= 24x上两点， A与 B的横坐标之和为 4. (1)求直线 AB的斜率； (2)设 M为曲线 C上一点

22、， C在 M处的切线与直线 AB平行，且 AM BM，求直线 AB的方程 . 解析： (1)设 A(x1， 214x)， B(x2， 224x)，运用直线的斜率公式，结合条件，即可得到所求； (2)设 M(m， 24m)，求出 y= 24x的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，可得 m，即有 M 的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为 -1，可得 x1， x2的关系式，再由直线 AB： y=x+t与 y= 24x联立，运用韦达定理，即可得到 t的方程，解得 t 的值，即可得到所求直线方程 . 答案： (1)设 A(x1， 214x)， B(x2， 224x)为曲线 C： y=

23、 24x上两点， 则直线 AB的斜率为 221212121144 4144xxk x xxx ； (2)设直线 AB的方程为 y=x+t，代入曲线 C： y= 24x， 可得 x2-4x-4t=0，即有 x1+x2=4， x1x2=-4t，再由 y= 24x的导数为 y =12x， 设 M(m， 24m)，可得 M处切线的斜率为 12m， 由 C在 M处的切线与直线 AB平行，可得 12m=1，解得 m=2，即 M(2， 1)， 由 AM BM可得， kAM kBM=-1， 即为221212114422xxxx=-1，化为 x1x2+2(x1+x2)+20=0， 即为 -4t+8+20=0，解

24、得 t=7.则直线 AB 的方程为 y=x+7. 21.已知函数 f(x)=ex(ex-a)-a2x. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)若 f(x) 0，求 a的取值范围 . 解析： (1)先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断， (2)根据 (1)的结论，分别求出函数的最小值，即可求出 a的范围 . 答案： (1)f(x)=ex(ex-a)-a2x， f (x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a)， 当 a=0时， f (x) 0恒成立， f(x)在 R上单调递增， 当 a 0时， 2ex+a 0，令 f (x)=0，解得 x=lna， 当 x lna时，

25、f (x) 0，函数 f(x)单调递减， 当 x lna时， f (x) 0，函数 f(x)单调递增， 当 a 0时， ex-a 0，令 f (x)=0，解得 x=ln(-2a)， 当 x ln(-2a)时， f (x) 0，函数 f(x)单调递减， 当 x ln(-2a)时， f (x) 0，函数 f(x)单调递增， 综上所述，当 a=0时， f(x)在 R上单调递增， 当 a 0时， f(x)在 (-， lna)上单调递减，在 (lna， + )上单调递增， 当 a 0时， f(x)在 (-， ln(-2a)上单调递减，在 (ln(-2a)， + )上单调递增， (2)当 a=0时， f(

26、x)=e2x 0恒成立， 当 a 0时，由 (1)可得 f(x)min=f(lna)=-a2lna 0， lna 0， 0 a 1， 当 a 0时，由 (1)可得 f(x)min= 2 23l n l n2 4 2a a afa 0， 3ln24a ， 342e a 0， 综上所述 a的取值范围为 342e ， 1. 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3 cossinxy， (为参数 )，直线 l 的参数方程为 41x a tyt，(t为参数 ) (1)若 a=-1，求 C与 l 的交点坐标； (2)若 C上的点到 l距离的最大值为 17 ，求 a. 解析： (1)将曲线

27、 C 的参数方程化为标准方程，直线 l 的参数方程化为一般方程，联立两方程可以求得焦点坐标； (2)曲线 C上的点可以表示成 P(3cos， sin )， 0， 2 )，运用点到直线距离公式可以表示出 P到直线 l的距离，再结合距离最大值为 17 进行分析，可以求出 a的值 . 答案： (1)曲线 C的参数方程为 3 cossinxy， (为参数 )，化为标准方程是： 2 2 19x y； a=-1时，直线 l的参数方程化为一般方程是： x+4y-3=0； 联立方程 2 2 1,94 3 0x yxy ，解得 30xy， 或21252425xy ，所以椭圆 C 和直线 l 的交点为 (3， 0

28、)和 ( 2125， 2425). (2)l的参数方程 41x a tyt， (t为参数 )化为一般方程是： x+4y-a-4=0， 椭圆 C上的任一点 P可以表示成 P(3cos， sin )， 0， 2 )， 所以点 P 到直线 l 的距离 d 为： 5 s i n 43 c o s 4 s i n 41 7 1 7aad ，满足 tan =34， 又 d的最大值 dmax= 17 ，所以 |5sin( + )-a-4|的最大值为 17， 得： 5-a-4=17或 -5-a-4=-17，即 a=-16或 a=8. 23.已知函数 f(x)=-x2+ax+4， g(x)=|x+1|+|x-1

29、|. (1)当 a=1时，求不等式 f(x) g(x)的解集； (2)若不等式 f(x) g(x)的解集包含 -1， 1，求 a的取值范围 . 解析： (1)当 a=1 时， f(x)=-x2+x+4， g(x)=|x+1|+|x-1|= 212 1 121xxxxx ， ， ， ，分 x 1、 x -1，1、 x (-， -1)三类讨论，结合 g(x)与 f(x)的单调性质即可求得 f(x) g(x)的解集为 -1，17 12 ； (2)依题意得： -x2+ax+4 2 在 -1， 1恒成立 x2-ax-2 0 在 -1， 1恒成立，只需 221 1 2 01 1 2 0aa ，解之即可得

30、a的取值范围 . 答案： (1)当 a=1时， f(x)=-x2+x+4，是开口向下，对称轴为 x=12的二次函数， g(x)=|x+1|+|x-1|= 212 1 121xxxxx ， ， ， ，当 x (1， + )时，令 -x2+x+4=2x，解得 x= 17 12， g(x)在 (1， + )上单调递增， f(x)在(1， + )上单调递减，此时 f(x) g(x)的解集为 (1， 17 12； 当 x -1， 1时， g(x)=2， f(x) f(-1)=2. 当 x (-， -1)时， g(x)单调递减， f(x)单调递增，且 g(-1)=f(-1)=2. 综上所述， f(x) g(x)的解集为 -1， 17 12； (2)依题意得： -x2+ax+4 2在 -1， 1恒成立，即 x2-ax-2 0在 -1， 1恒成立， 则只需 221 1 2 01 1 2 0aa ，解得 -1 a 1， 故 a的取值范围是 -1， 1.