（福建专用）2019高考数学一轮复习第七章不等式、推理与证明7.5数学归纳法课件理新人教A版.ppt

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1、7.5 数学归纳法,-2-,知识梳理,考点自测,1.数学归纳法的定义 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(kn0,kN*)时命题成立,证明当n=_ 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.,k+1,-3-,知识梳理,考点自测,2.数学归纳法的框图表示,-4-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结

2、论成立.( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.( ) (3)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.( ) (4)用数学归纳法证明问题时,必须用上归纳假设.( ) (5)用数学归纳法证明等式“1+2+22+2n+2=2n+3-1”,验证n=1时,左边式子应为1+2+22+23.( ),答案,-5-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,2.在用数学归纳法证明凸n边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于( ) A.1 B.2 C.3 D.0,答案,解析,-6-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,3.

3、在用数学归纳法证明不等式 (n2,nN* )的过程中,由n=k到n=k+1时,左边增加了( ) A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项,答案,解析,-7-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,4.用数学归纳法证明34n+1+52n+1(nN+)能被8整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+1+52(k+1)+1可变形为( ) A.5634k+1+25(34k+1+52k+1) B.3434k+1+5252k C.34k+1+52k+1 D.25(34k+1+52k+1),答案,解析,-8-,知识梳理,考点自测,2,3,4,1,5,5.用数学归纳法证明 1),第一步要证的不等式是

4、 .,答案,解析,-9-,考点1,考点2,考点3,考点4,例1求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n135(2n-1)(n N* ).,答案,-10-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考用数学归纳法证明等式的注意点有哪些? 解题心得用数学归纳法证明等式的注意点: (1)用数学归纳法证明等式问题,要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少. (2)由n=k时等式成立,推出n=k+1时等式成立,一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程. (3)不利用归纳假设的证明,就不是数学归纳法.,-11-,考点1,

5、考点2,考点3,考点4,答案,-12-,考点1,考点2,考点3,考点4,例2若函数f(x)=x2-2x-3,定义数列xn如下:x1=2,xn+1是过点P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标,其中nN* ,试运用数学归纳法证明:2xnxn+13.,-13-,考点1,考点2,考点3,考点4,-14-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考具有怎样特征的不等式可用数学归纳法证明?证明的关键是什么? 解题心得1.当遇到与正整数n有关的不等式证明时,若用其他办法不容易证,则可考虑应用数学归纳法. 2.证明的关键是:由n=k时命题成立证n=k+1时命题也成立,在归纳假设使用后可

6、运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明,充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧,使问题得以简化.,-15-,考点1,考点2,考点3,考点4,答案,-16-,考点1,考点2,考点3,考点4,例3用数学归纳法证明:42n+1+3n+2能被13整除,其中nN* .,答案,-17-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考用数学归纳法证明整除问题的基本思路是什么? 解题心得证明整除问题的关键是“凑项”,即采用增项、减项、拆项和因式分解等手段,将n=k+1时的式子凑出n=k时的情形,从而利用归纳假设使问题获证.,-18-,考点1,考点2,考点3,考点4,对点训练3(2017陕西西安模拟)试证:当

7、n N* 时,f(n)=32n+2-8n-9能被64整除.,答案,-19-,考点1,考点2,考点3,考点4,例4设数列an的前n项和为Sn,满足 ,n N* ,且S3=15. (1)求a1,a2,a3的值; (2)求数列an的通项公式.,解: (1)由Sn= -3n2-4n,得 S2=4a3-20,S3=S2+a3=5a3-20. 又S3=15,a3=7,S2=4a3-20=8. S2=S1+a2=(2a2-7)+a2=3a2-7, a2=5,a1=S1=2a2-7=3. 综上知a1=3,a2=5,a3=7.,-20-,考点1,考点2,考点3,考点4,(2)由(1)猜想an=2n+1(n N*

8、),以下用数学归纳法证明: 当n=1时,猜想显然成立; 假设当n=k(k N*,且k2)时,有ak=2k+1成立, 则Sk=3+5+7+(2k+1)即当n=k+1时,猜想成立. 由知,数列an的通项公式为an=2n+1(n N*).,-21-,考点1,考点2,考点3,考点4,思考解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是什么?哪些问题常用该模式解决? 解题心得解决“归纳猜想证明”问题的一般思路是:通过观察有限个特例,先猜想出一般性的结论,再用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.,-22-,考点1,考点2,考点3,考点4,(1)当n=1,2,3时,试比较f(n)与g(n)的大小关系; (2)猜想f(n)与g(n)的大小关系,并给出证明.,-23-,考点1,考点2,考点3,考点4,-24-,考点1,考点2,考点3,考点4,1.数学归纳法是一种重要的数学思想方法,只适用于与正整数有关的命题. 2.用数学归纳法证明的关键在于两个步骤,要做到“递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉”.应用数学归纳法时,以下几点容易造成失分: (1)把初始值搞错; (2)在推证当n=k+1时,没有用上归纳假设; (3)对项数估算的错误,特别是寻找n=k与n=k+1的关系时,项数发生的变化易被弄错.,