九年级数学下册第二十八章锐角三角函数28.2解直角三角形及其应用28.2.2应用举例第1课时仰角、俯角与解直角三角形课时训练（新版）新人教版.doc

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1、128.2.2 应用举例第 1 课时 仰角、俯角与解直角三角形关键问答如何用一个数学问题来表示这个实际问题？利用解直角三角形解决实际问题的一般过程是什么？1 如图 28215，沿 AB 方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AB 上的一点 C，取 ACD146， CD500 米， D56.要使点 A， C， E 在同一条直线上，那么开挖点 E 离点 D 的距离是( )图 28215A500 米 B500sin56米 C500cos56米 D500tan56米2 如图 28216，某数学兴趣小组想测量一棵树 CD 的高度，他们先在点 A 处测得树顶 C 的仰角为 30，然

2、后沿 AD 方向前行 10 m 到达点 B，在 B 处测得树顶 C 的仰角为60(A， B， D 三点在同一直线上)，则这棵树 CD 的高度为( )图 28216A10 m B5 m C5 m D10 m3 3命题点 1 解直角三角形在生活中的应用 热度：93%3. 2018长春如图 28217，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道(点A， B 在同一水平面上)为了测量 A， B 两地之间的距离，一架直升机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 ，则 A， B 两地之间的距离为( )2图 28217A800sin 米 B800tan 米

3、C. 米 D. 米800sin 800tan解题突破用锐角三角函数表示已知量与未知量之间的关系，然后利用变形即可解决问题.4. 如图 28218，钓鱼竿 AC 长 6 m，露在水面上的渔线 BC 长 3 m，钓鱼者想看2看鱼钩上的情况，把鱼竿 AC 沿逆时针方向转动到 AC的位置，此时露在水面上的渔线B C长 3 m，则鱼竿转过的角度是( )3图 28218A60 B45 C15 D90解题突破可通过两个角作差来求结果.5. 如图 28219，手机放在手机支架上，其侧面示意图如图 28219所示，AB 是长度不变的活动片，一端 A 固定在 OA 上，另一端 B 可在 OC 上变动位置，若将 A

4、B 变到 AB的位置，则 OC 顺时针旋转一定角度到达 OC的位置已知 OA8 cm， AB OC， BOA60，sin B AO ，则点 B到 OA 的距离为( )910图 28219A. cm B. cm C. cm D. cm9 310 9 35 6 35 18 35解题突破在直角三角形 ABO 中求出 AB 的长，利用 AB 的长度不变解包含点 B到 OA 的垂线段的另一个直角三角形.6将 45的 AOB 按图 28220 的方式放置在一把刻度尺上，顶点 O 与尺下沿的端点重合， OA 与尺下沿重合， OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数恰为 2 cm.若按相同的方式将 37的 AO

5、C 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为_ cm.(结果精确到 0.1 cm，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75)3图 282207. “低碳环保，你我同行” 近两年，南京市区的公共自行车给市民出行带来了极大的方便图 28221是公共自行车的实物图，图是公共自行车的车架示意图，点A， D， C， E 在同一条直线上， CD30 cm， DF20 cm， AF25 cm， FD AE 于点 D，座杆CE15 cm，且 EAB75.(1)求 AD 的长；(2)求点 E 到 AB 的距离(参考数据：sin750.97，cos750.26，

6、tan753.73)图 28221方法点拨解应用题时，应先将实际问题转化为数学问题，找出直角三角形并寻找已知量和未知量之间的桥梁，从而利用解直角三角形的知识得到数学问题的答案，最后得到符合实际意义的答案.8. 图 28222是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景，图是小明锻炼时上半身由与地面垂直的 EM 位置运动到 EN 位置时的示意图已知 BC0.64 米， AD0.24米， 18.(参考数据：sin180.31，cos180.95，tan180.32)(1)求 AB 的长(结果精确到 0.01 米)；(2)若测得 EN0.8 米，试计算小明头顶由点 M 运动到点 N 的路径弧 的长(结

7、果保留MN )图 28222模型建立4已知一个直角梯形的四个内角和两底边的长，求腰长，可通过作高，将其转化为直角三角形求解.命题点 2 与仰角、俯角相关的解直角三角形 热度：95%92018咸宁如图 28223，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为45，测得底部 C 的俯角为 60，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110 m，那么该建筑物的高度 BC 约为_m(结果保留整数， 1.73)3图 2822310. 2017东营一数学兴趣小组来到某公园，准备测量一座塔的高度如图28224，在 A 处测得塔顶的仰角为 ，在 B 处测得塔顶的仰角为 ，又测量出 A， B 两

8、点间的距离为 s 米，则塔高为_米图 28224方法点拨当图中出现两个直角三角形时，常要用到方程的思想在直角三角形中，先利用锐角三角函数表示出各基本量，然后由基本量之间的关系列方程(组)，再解方程(组)，求出一个或两个基本量，最终达到解直角三角形的目的11 如图 28225，某无人机于空中 A 处探测到目标 B， D，从无人机 A 上看目标B， D 的俯角分别为 30，60，此时无人机的飞行高度 AC 为 60 m，随后无人机从 A 处继续飞行 30 m 到达 A处3(1)求 A， B 之间的距离；(2)求从无人机 A上看目标 D 的俯角的正切值图 28225模型建立双三角形类型：类型一：两个

9、直角三角形在公共直角边的同侧，如图 28226，在 Rt ABD 和Rt ACD 中，有公共边 AD， BC BD CD.5图 28226类型二：两个直角三角形在公共直角边的两侧，如图，在 Rt ABD 和 Rt ACD 中，有公共边 AD， BC BD CD.12 如图 28227，一电线杆 PQ 立在山坡上，从地面的点 A 看，测得杆顶端点 P的仰角为 45，向前走 9 m 到达点 B，又测得杆顶端点 P 和杆底端点 Q 的仰角分别为 60和 30.(1)求 BPQ 的度数；(2)求该电线杆 PQ 的高度(结果保留根号)图 28227解题突破本题需要利用锐角三角函数，把未知量向已知量所在的

10、边转移，然后建立方程求解.13.如图 28228，某勘测飞机为了测量一湖泊两端 A， B 之间的距离，飞机在距离湖面垂直高度为 90 米的点 D 处测得端点 A 的俯角为 63.4，然后沿着平行于 AB 的方向水平飞行了 125 米到达 C 处，在点 C 处测得端点 B 的俯角为 42.1，求湖泊两端 A， B 之间的距离(参考数据：tan63.42.00，sin63.40.89，cos63.40.45，tan42.10.90，sin42.10.67，cos42.10.74)图 282286模型建立本题相当于解两边平行且四个角及平行两边之间的距离已知的四边形.14.如图 28229分别是一款家

11、用的垃圾桶及其侧面示意图，踏板 AB(与地面平行)可绕定点 P(固定在垃圾桶底部的某一位置)上下转动(转动过程中始终保持AP A P， BP B P)通过向下踩踏点 A 到 A(与地面接触点)使点 B 上升到点 B，与此同时，传动杆 BH 运动到 B H的位置，点 H 绕固定点 D 旋转( DH 为旋转半径)至点H，从而使桶盖打开一个张角 HDH.如图 28229，桶盖打开后，传动杆 H B所在的直线分别与水平直线 AB， DH 垂直，垂足为 M， C，设 H C B M.测得 AP6 cm， PB12 cm， DH8 cm.要使桶盖张开的角度 HDH不小于 60，那么踏板 AB 离地面的高度

12、至少等于多少厘米？(结果精确到 0.1 cm，参考数据： 1.41， 1.73)2 3图 28229解题突破根据 HDH 的取值范围，可得 H C 的取值范围，从而得 B M 的取值范围，利用相似三角形可得结果.7详解详析1C 2.C3D 解析 在 Rt ABC 中， CAB90， B ， AC800 米，tan ， AB (米)ACAB ACtan 800tan4C5D 解析 AB OC， ABO90.在 Rt ABO 中， AOB60， OA8 cm， AB AB OAsin AOB8 4 (cm)32 3如图，过点 B作 B P OA 于点 P，在 Rt AB P 中，sin B AO

13、，910 B P ABsin B AO4 (cm)故选 D.3910 18 3562.7 解析 如图，过点 B 作 BD OA 于点 D，过点 C 作 CE OA 于点 E.在 BOD 中， BDO90， DOB45， BD OD2 cm， CE BD2 cm.在 COE 中， CEO90， COE37，tan37 0.75， OE2.7 cm.CEOE OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 2.7 cm.7解：(1)在 Rt ADF 中，由勾股定理得 AD 15(cm)AF2 DF2 252 202(2)AE AD CD CE15301560(cm)，如图，过点 E 作 EH AB 于

14、点 H，在 Rt AEH 中，sin EAH ，EHAE则 EH AEsin EAH600.9758.2(cm)答：点 E 到 AB 的距离约为 58.2 cm.8解：(1)如图，过点 A 作 AF BC 于点 F，8则 BF BC AD0.4 米， AB BFsin181.29 米(2) NEM9018108，弧 的长为 0.48(米)MN 1080.81809300 解析 在 Rt ABD 中， AD110 m， BAD45， BD AD110 m.在 Rt ACD 中， CAD60， CD ADtan60110 190(m)，3 BC BD CD110190300(m)10. s 解析

15、在 Rt CBD 中， BD ， AD s.tan tantan tan CDtan CDtan在 Rt CAD 中， CD ADtan ( s)tan ，化简，得 CD s.CDtan tan tantan tan11解：(1)由题意得 ABD30，在 Rt ABC 中， AC60 m， AB 120(m)ACsin306012答： A， B 之间的距离为 120 m.(2)如图，过点 A作 A E BC，交 BC 的延长线于点 E，连接 A D，则 A E AC60 m， CE AA30 m.3在 Rt ADC 中， AC60 m， ADC60， DC AC20 m，33 3 DE50 m

16、，3tan AA Dtan A DE .A EDE 6050 3 25 3答：从无人机 A上看目标 D 的俯角的正切值是 .25 312解：如图，延长 PQ 交直线 AB 于点 E，(1) BPQ906030.9(2)设 PE x m在 Rt APE 中， PAE45，则 AE PE x m.在 Rt BPE 中， BE PE x m.33 33 AB AE BE9 m， x x9，33解得 x ，则 BE m.27 9 32 9 9 32在 Rt BEQ 中， QE BE m，33 9 3 32 PQ PE QE (93 )m.27 9 32 9 3 32 3答：该电线杆 PQ 的高度为(9

17、3 )m.313解：如图，过点 C 作 CE AB 于点 E，过点 D 作 DF AB 于点 F.由题意可得 ADC63.4， MCB42.1， CD EF125 米， CE DF90 米在 Rt ADF 中， FAD ADC63.4，tan FADtan63.4 2.00，DFAF AF 45(米)DFtan63.4 902.00在 Rt BCE 中， EBC MCB42.1，tan EBCtan42.1 0.90，CEBE BE 100(米)，CEtan42.1 900.90 AB EF AF BE12545100180(米)答：湖泊两端 A， B 之间的距离约为 180 米14解：如图，

18、过点 A作 A N AB 于点 N.在 Rt H CD 中，若 HDH不小于 60，则 sin60 ，H CDH 3210即 H C DH4 cm，32 3 B M H C4 cm.3Rt A NPRt B MP， ，A NB M A PB P A N 2 3.5(cm)A PB MB P 3踏板 AB 离地面的高度至少等于 3.5 cm.【关键问答】在CDE 中，已知 CD500 米，D56，延长 EC 到点 A，ACD146，求 DE的长(1)结合题意，把实际问题转化成数学问题(2)若解直角三角形，则寻找已知条件和要求结论存在的数量关系；若解非直角三角形，则过非特殊角的顶点作高将其转化成解直角三角形问题(3)利用得到的数量关系求解(4)用数学问题的解来解释或说明实际问题