2019高考数学一轮复习第七章不等式7.3二元一次不等式组与简单的线性规划问题课件文.ppt

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1、第七章 不等式,高考文数,7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,考点 求线性目标函数的最值 1.二元一次不等式表示平面区域 二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域.把直线画成 虚线 以表示区域不包 括边界.当在坐标系中画不等式Ax+By+C0所表示的平面区域时,此区 域应包括边界,则把边界直线画成 实线 .,知识清单,2.线性规划中的基本概念,知识拓展 1.判断Ax+By+C0表示的平面区域在直线的哪一侧的方法: (1)当C0时,取原点(0,0),当原点坐标使Ax+By+C0成立时,就是含原点的区域; 不成立时,就是不

2、含原点的区域. (2)当C=0时,取(0,1)或(1,0),当不等式成立时,就是含所取点的一侧;不成立时,是另一侧. 2.线性目标函数z=Ax+By的最值与B的符号的关系 当B0时,直线过可行域且在y轴上截距最大时,z值最大;在y轴上截距最 小时,z值最小.当B0时,直线过可行域且在y轴上截距最小时,z值最大;在 y轴上截距最大时,z值最小. 3.利用图解法解决线性规划问题的一般步骤,(1)作出可行域.将约束条件中的每一个不等式当作等式,作出相应的直 线,并确定原不等式表示的半平面,然后求出所有半平面的交集; (2)作出目标函数的等值线; (3)求出最终结果.在可行域内平行移动目标函数等值线,

3、从图中能判定 问题有唯一最优解,或者有无穷最优解,或者无最优解.,平面区域问题的求解方法 1.二元一次不等式表示平面区域的判断方法:特殊点判断法;系数 判断法:在Ax+By+C=0中,当B0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方,当B 0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方. 2.二元一次不等式组表示的平面区域的应用主要包括求平面区域的面 积和已知平面区域求参数的取值范围.对于面积问题,可以先画出平面 区域,然后判断其形状,求得相应的交点坐标、相关的线段长度等,利用 面积公式进行求解;对于求参问题,则需根据区域的形状判断动直线的 位置,从而确定参数的取值范围.,方法技巧,例1 (2017河北

4、衡水中学摸底考试,7)若A为不等式组 表示的平 面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域 的面积为 ( D ) A.1 B.1.5 C.0.75 D.1.75,解题导引 画出区域 作出直线x+y=-2与直线x+y=1 求面积,解析 作出不等式组表示的区域,如图中阴影部分(含边界),从而可知, 扫过的面积为S= 22- 1= .故选D.,例2 (2015重庆,10,5分)若不等式组 表示的平面区域为三 角形,且其面积等于 ,则m的值为 ( B ) A.-3 B.1 C. D.3,解题导引 画出符合题意条件的 平面区域 根据条件求出A,B两点的纵坐标及C,D两点的横

5、坐标, 从而表示出三角形面积 根据三角形的面积建立关于m的方程,从而 求得m的值,解析 如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则-2m-1, 所围成的区域为ABC,SABC=SADC-SBDC.点A的纵坐标为1+m,点B的纵坐标为 (1+m),C,D两点的横坐标分别为2,-2m, 所以SABC= (2+2m)(1+m)- (2+2m) (1+m),= (1+m)2= , 解得m=-3(舍去)或m=1. 故选B.,目标函数最值问题的求解方法 1.求目标函数的最值的步骤:画出可行域;根据目标函数的几何意义确定取得最优解的点;求出目标函数的最大值或最小值. 2.常见的目标函数:截距型:形如z=a

6、x+by,可以转化为y=- x+ ,利用直 线在y轴上的截距大小确定目标函数的最值;距离型:形如z=(x-a)2+(y-b)2,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)连线的距离的平方;斜率型:形如 z= ,表示区域内的动点(x,y)与定点(a,b)连线的斜率. 例3 (2016山东,4,5分)若变量x,y满足 则x2+y2的最大值是 ( C ),A.4 B.9 C.10 D.12,解析 作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示(包括边 界),x2+y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方,由图易知平面区域内的 点A(3,-1)与原点的距离最大,所以x2+y2的最大值是10,故选C.

7、,解题导引 画出可行域 利用x2+y2的几何意义找出最优解 求出x2+y2的最大值,例4 (2016课标全国,14,5分)若x,y满足约束条件 则z=x-2y 的最小值为 .,解题导引 画出可行域 利用平移法得到最优解 代入目标函数得最 小值,解析 由约束条件画出可行域,如图中阴影部分所示(包括边界).当直线 x-2y-z=0过点B(3,4)时,z取得最小值,zmin=3-24=-5.,答案 -5,线性规划中参变量问题的求解方法 含参变量的线性规划问题,参变量的设置有两种形式: (1)条件不等式组中含有参变量,由于不能明确可行域的形状,因此,增加 了解题时画图分析的难度,求解这类问题时要有全局

8、观念,结合目标函 数逆向分析题意,整体把握解题的方法; (2)目标函数中设置参变量,旨在增加探索问题的动态性和开放性.从目 标函数的结论入手,对图形的动态分析,对变化过程中的相关量的准确 定位,是求解这类问题的主要思维方法. 例5 (2017安徽黄山二模,10)已知m1,x,y满足约束条件 若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为3,则 + ( A ),A.有最小值 B.有最大值 C.有最小值 D.有最大值,解题导引 由约束条件及m1画出满足题意的可行域 利用z=ax+by (a0,b0)的几何意义找出最优解 利用目标函数有最大值 得出a与b的关系式 利用基本不等式求得 + 的最小值

9、结论,解析 由m1及约束条件 作出可行域如图,由 解得A(1,5),z=ax+by(a0,b0)可化为y=- x+ , 由图可知,当直线y=- x+ 过A时,直线在y轴上的截距最大,z取最大值, 则a+5b=3.又a0,b0, + = = + + . 故选A.,线性规划的实际问题的求解方法 1.能建立线性规划模型的实际问题有:给定一定量的人力、物力资源, 使完成的任务最大,收益最大;给定一项任务,使完成这项任务耗费人力、 物力资源最少. 2.解决线性规划实际问题的一般步骤:认真审题,设出未知数,写出线性约 束条件和目标函数;画出可行域;作出目标函数值为0时对应的直线l0; 在可行域内平行移动直

10、线l0,从图中判断问题有唯一最优解或有无穷 最优解或无最优解;求出最优解,从而得到目标函数的最值; 得到实际问题的解,写出结论. 例6 (2017天津,16,13分)电视台播放甲、乙两套连续剧,每次播放连续 剧时,需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时,连续剧播放时,长、广告播放时长、收视人次如下表所示:,已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分 钟,广告的总播放时间不少于30分钟,且甲连续剧播放的次数不多于乙 连续剧播放次数的2倍.分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续 剧的次数. (1)用x,y列出满足题目条件的数学关系式,并画出相应的平面区域; (2)问电视

11、台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次,才能使总收视人次 最多?,解题导引 (1)建立关于x,y的不等关系 转化成不等式组的形式 画出对应的可行域 (2)设出总收视人数, 列出目标函数 作出基本直线l0,平移l0,得出最优解 把实际问题转化成数学问题进行作答,解析 (1)由已知得,x,y满足的数学关系式为 即该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:,图1 (2)设总收视人次为z万,则目标函数为z=60x+25y. 考虑z=60x+25y,将它变形为y=- x+ ,这是斜率为- ,随z变化的一族 平行直线. 为直线在y轴上的截距,当 取得最大值时,z的值最大.又因,为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=60x+25y经过可行域上的 点M时,截距 最大,即z最大.图2 解方程组 得点M的坐标为(6,3).,所以,电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次 最多.,