2019版高考数学二轮复习专题四数列2.4.2.1等差、等比数列的综合问题课件文.ppt

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1、4.2 数列大题,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.由递推关系式求数列的通项公式 (1)形如an+1=an+f(n),利用累加法求通项. (2)形如an+1=anf(n),利用累乘法求通项. (3)形如an+1=pan+q,等式两边同时加 转化为等比数列求通项.,-7-,2.数列求和的常用方法 (1)公式法:利用等差数列、等比数列的求和公式. (2)错位相减法:适合求数列anbn的前n项和Sn,其中an,bn一个是等差数列,另一个是等比数列. (3)裂项相消法:即将数列的通项分成两个式子的代数和,通过累加抵消中间若干项的方法. (4)拆项分组法:先把数列的每一项拆成两项(或多项),再

2、重新组合成两个(或多个)简单的数列,最后分别求和. (5)并项求和法:把数列的两项(或多项)组合在一起,重新构成一个数列再求和,适用于正负相间排列的数列求和.,4.2.1 等差、等比数列的综合问题,-9-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差(比)数列的判断与证明 例1已知数列an满足an+1=2an+n-1,且a1=1. (1)求证:数列an+n为等比数列; (2)求数列an的前n项和Sn.,-10-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得1.判断和证明数列是等差(比)数列的三种方法. (1)定义法:对于n1的任意自然数,验证an+1-an 为同一常数. (2)通项公式法:

3、若an=kn+b(nN*),则an为等差数列;若an=pqkn+b(nN*),则an为等比数列. (3)中项公式法:若2an=an-1+an+1(nN*,n2),则an为等差数列;若 =an-1an+1(nN*,n2),则an为等比数列. 2.对已知数列an与Sn的关系,证明an为等差或等比数列的问题,解题思路是:由an与Sn的关系递推出n+1时的关系式,两个关系式相减后,进行化简、整理,最终化归为用定义法证明.,-11-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 1设Sn为等比数列an的前n项和,已知S2=2,S3=-6. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn

4、,Sn+2是否成等差数列.,-12-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差数列的通项及求和 例2(2018北京卷,文15)设an是等差数列,且a1=ln 2,a2+a3=5ln 2. (1)求an的通项公式;,-13-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解: (1)设等差数列an的公差为d, a2+a3=5ln 2. 2a1+3d=5ln 2, 又a1=ln 2,d=ln 2. an=a1+(n-1)d=nln 2. (2)由(1)知an=nln 2.,-14-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得已知等差数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等差

5、数列的通项公式及求和公式得到几个方程求解即可.,-15-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 2(2018全国卷2,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15. (1)求an的通项公式; (2)求Sn,并求Sn的最小值.,解: (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15. 由a1=-7得d=2. 所以an的通项公式为an=2n-9. (2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.,-16-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等比数列的通项及求和 例3(2018全国卷3,文17)等比数

6、列an中,a1=1,a5=4a3. (1)求an的通项公式; (2)记Sn为an的前n项和,若Sm=63,求m.,解: (1)设an的公比为q, 由题设得an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2. 故an=(-2)n-1或an=2n-1. (2)若an=(-2)n-1,则 .由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.综上,m=6.,-17-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得已知等比数列前几项或者前几项的关系,求其通项及前n项和时,只需利用等比数列的通项公式及

7、求和公式得到几个方程求解即可.,-18-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 3(2018北京朝阳期末,文15)已知由实数构成的等比数列an满足a1=2,a1+a3+a5=42. (1)求数列an的通项公式; (2)求a2+a4+a6+a2n.,-19-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,等差、等比数列的综合问题 例4(2018北京海淀模拟,文15)已知等差数列an的前n项和Sn,且a2=5,S3=a7. (1)数列an的通项公式; (2)若bn= ,求数列an+bn前n项和.,-20-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,-21-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向

8、五,解题心得对于等差、等比数列的综合问题,解决的思路主要是方程的思想,即运用等差、等比数列的通项公式和前n项和公式将已知条件转化成方程或方程组,求出首项、公差、公比等基本量,再由基本量求出题目要求的量.,-22-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练4已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求bn的通项公式; (2)若T3=21,求S3.,解 (1)设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2得d+q=3. 由a3+b3=5,得2d+q2=6.

9、因此bn的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由得d=8,则S3=21. 当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.,-23-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,可转化为等差、等比数列的问题,例5(2018全国卷1,文17)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an.设 (1)求b1,b2,b3; (2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由; (3)求an的通项公式.,-24-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.,-25-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,对点训练 5(2018河北唐山三模,文17)已知数列an是等差数列,bn是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13. (1)求an和bn的通项公式;,-26-,考向一,考向二,考向三,考向四,考向五,