2018年高中数学第四章定积分4.1.1定积分背景——面积和路程问题课件3北师大版选修2_2.ppt

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1、,一道残阳铺水中，半江瑟瑟半江红,举世瞩目的长江三峡大坝，截面图形如图所示，其最上面的 段是一段抛物线，中间 是一条直线段，下面 是段圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的图像尽可能准确的计算它的面积，我们想一想，能否求出该截面面积？,举世瞩目的长江三峡大坝，截面图形如图所示，其最上面的 段是一段抛物线，中间 是一条直线段，下面 是段圆弧。建造这样的大坝自然要根据它的图像尽可能准确的计算它的面积，我们想一想，能否求出该截面面积？,定积分的概念,1.1、定积分的背景面积和路程问题,曹冲称象的故事,为零化整,为整 积零,（1）大象的重量等价成一堆小石子的重量,（2）将小石子的重量称出来,得到的小石子重

2、量和就是大象的重量,化归与转化的思想,分成4份,分成4份,分成8份,分成8份,分成16份,分成16份,分成32份,分的份数越多，拼成的图形越接近长方形。,r,无限分割,以直代曲,为零化整,为整 积零,我们有没有一步到位的算出圆面积的精确解呢？,分割,当分割份数较少：,当分割份数较少时：,这时，我们如何减少误差、提高精确度的呢？,为零化整,为整 积零,无限分割,以直代曲,O,x,y,y=f (x),一. 求曲边梯形的面积,x=a,x=b,（1）将曲边梯形切割成n份,（2）将这n个部分的面积加起来,为零化整,为整 积零,一. 求曲边梯形的面积,【问题1】求直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x2所

3、围成的曲边三角形的面积S.,分组讨论：,1、如何分割曲边梯形更方便面积和的计算？,2、分割以后，又用什么图形的面积作为近似解更方便计算？,1、化整为零：将原图形分割成许多小曲边梯形。,2、以直代曲：对任意一个小曲边梯形，将不易 计算的“曲边”问题转化为容易计算的“直边” 问题，将曲边梯形面积问题转化为长方形的面积 问题来解决。,2、用什么图形的面积作为原面积的近似解更方便计算？,那怎样作出长方形呢？,用大于曲边梯形的面积 来近似代替。,过剩估计,方案1,3、求和,用小于曲边梯形的面积 来近似代替。,不足估计,3、求和,【练一练】 如果将区间【0,1】五等分，你能不能求出该曲边三角形面积的过剩估

4、计S1和不足估计S2呢？,继续分割,当曲边梯形分割的越细，我们就会得到更加精确的估计 值。过剩估计和不足估计都会越接近曲边梯形的面积。,1、分割；2、近似代替；3、求和；4、取极限值,定 积 分,分割,累积,定值,割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体而无所失矣.,刘徽,魏晋时期的数学家刘徽的割圆术,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”,刘徽,古希腊数学家阿基米德,分割：,将球面任意分割成一些“小球面片”，它们的面积分别用 表示，则球的表面积,分割：,将球面任意分割成一些“小球面片”，它们的面积分别用 表示，则球的表面积,O,Si,化整为零无限分,分割,不变代变得微分,近似,积零为整微分和,求和,和式极限是积分,极限,【课堂小结】,假如AB段抛物线的方程为： ，且OE=5m，则截面曲边梯形AOEB的面积是多少？请同学们求出将OE五等分时的过剩估计和不足估计值。,布置作业,