2020版高考数学一轮复习第7章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系讲义理（含解析）.doc

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1、1第 3 讲 空间点、直线、平面之间的位置关系考纲解读 1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，并运用它们证明一些空间图形的位置关系的简单命题(重点)2.主要考查平面的基本性质，空间两直线的位置关系及线面、面面的位置关系，能正确求出异面直线所成的角(重点、难点)考向预测 从近三年高考情况来看，尽管空间点、线、面的位置关系是立体几何的理论基础，但却很少独立命题预测 2020 年高考会有以下两点命题方式：以命题形式考查空间点、线、面的位置关系；以几何体为载体考查线、面的位置关系或求异面直线所成的角题型为客观题，难度一般不大，属中档题型.1空间两条直线的位置关系(1

2、)位置关系分类：Error!位 置关 系(2)异面直线所成的角定义：设 a， b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作直线 a a， b b，把 a与 b所成的 锐角(或直角)叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)04 范围： .05 (0， 2(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角 相等或互补06 2空间直线与平面、平面与平面的位置关系23必记结论(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行过一点有且只有一个平面与已知直线垂直过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行过一点有且只有一条直线与已知平面垂直(2)异面直线的判定定理平面外一点 A 与

3、平面内一点 B 的连线与平面内不经过 B 点的直线互为异面直线1概念辨析(1)两两相交的三条直线最少可以确定三个平面( )(2)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合( )(3)已知 a， b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a，那么 c 与 b 不可能是平行直线( )(4)两个平面 ， 有一个公共点 A，就说 ， 相交于过 A 点的任意一条直线( )3答案 (1) (2) (3) (4)2小题热身(1)对于任意的直线 l 与平面 ，在平面 内必有直线 m，使 m 与 l( )A平行 B相交C垂直 D互为异面直线答案 C解析 不论 l ， l 还是 l 与 相交， 内都存在直线 m 使得

4、 m l.(2)以下四个命题中，正确命题的个数是( )不共面的四点中，其中任意三点不共线；若点 A， B， C， D 共面，点 A， B， C， E 共面，则 A， B， C， D， E 共面；若直线 a， b 共面，直线 a， c 共面，则直线 b， c 共面；依次首尾相接的四条线段必共面A0 B1C2 D3答案 B解析 显然是正确的，可用反证法证明；中若 A， B， C 三点共线，则A， B， C， D， E 五点不一定共面；构造长方体或正方体，如图显然 b， c 异面，故不正确；中空间四边形中四条线段不共面故正确的个数为 1.(3)如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E，

5、 F 分别是 AB， AD 的中点，则异面直线B1C 与 EF 所成角的大小为( )4A30 B45C60 D90答案 C解析 连接 B1D1， D1C，则 B1D1 EF，故 D1B1C 即为所求的角又B1D1 B1C D1C， B1D1C 为等边三角形， D1B1C60.(4)设 P 表示一个点， a， b 表示两条直线， ， 表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是_ P a， P a ； a b P， b a ； a b， a ， P b， P b ； b， P ， P P b.答案 题型 平面的基本性质一如图所示，四边形 ABEF 和 ABCD 都是梯形， BC 綊 AD，

6、BE 綊 FA， G， H 分别为 FA， FD12 12的中点(1)证明：四边形 BCHG 是平行四边形；(2)C， D， F， E 四点是否共面？为什么？解 (1)证明：由已知 FG GA， FH HD，得 GH 綊 AD.12又 BC 綊 AD，所以 GH 綊 BC，所以四边形 BCHG 是平行四边形12(2)由 BE 綊 AF， G 为 FA 中点，知 BE 綊 GF，12所以四边形 BEFG 为平行四边形，所以 EF BG.由(1)知 BG CH，所以 EF CH.所以 EF 与 CH 共面，又 D FH，所以 C， D， F， E 四点共面5结论探究 若举例说明中条件不变，证明：

7、FE， AB， DC 交于一点证明 由举例说明可知，四边形 EBGF 和四边形 BCHG 都是平行四边形，故可得四边形ECHF 为平行四边形， EC HF，且 EC DF，四边形 ECDF 为梯形12 FE， DC 交于一点，设 FE DC M. M FE， FE平面 BAFE， M平面 BAFE.同理 M平面 BADC.又平面 BAFE平面 BADC BA， M BA， FE， AB， DC 交于一点1证明点共面或线共面的常用方法(1)直接法：证明直线平行或相交，从而证明线共面(2)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内如举例说明(2)(3)辅助平面法：先证明有关的点、线确定

8、平面 ，再证明其余元素确定平面 ，最后证明平面 ， 重合2证明空间点共线问题的方法(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理 3 证明这些点都在这两个平面的交线上(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上3证明线共点问题的常用方法先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点如举例说明中的结论探究 如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， E， F 分别是 AB 和 AA1的中点求证：(1)E， C， D1， F 四点共面；(2)CE， D1F， DA 三线共点证明 (1)如图，连接 EF， CD1， A1B.6 E， F 分别是

9、AB， AA1的中点， EF BA1.又 A1B D1C， EF CD1， E， C， D1， F 四点共面(2) EF CD1， EFCD1， CE 与 D1F 必相交，设交点为 P，如图所示则由 P CE， CE平面 ABCD，得 P平面 ABCD.同理 P平面 ADD1A1.又平面 ABCD平面 ADD1A1 DA， P直线 DA， CE， D1F， DA 三线共点题型 空间两直线的位置关系二1(2018金华模拟)如图， G， H， M， N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线 GH， MN 是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案 解析 在图中，直线 GH MN；

10、7在图中， G， H， N 三点共面，但 M平面 GHN， NGH，因此直线 GH 与 MN 异面；在图中，连接 GM， GM HN，因此 GH 与 MN 共面；在图中， G， M， N 共面，但 H平面 GMN， GMN，因此 GH 与 MN 异面所以在图中 GH 与 MN 异面2(2018邯郸调研)在三棱锥 S ABC 中， G1， G2分别是 SAB 和 SAC 的重心，则直线 G1G2与 BC 的位置关系是_答案 G1G2 BC解析 如图所示，连接 SG1并延长交 AB 于 M，连接 SG2并延长交 AC 于 N，连接 MN.由题意知 SM 为 SAB 的中线，且 SG1 SM， SN

11、 为 SAC 的中线，且 SG2 SN，23 23在 SMN 中， ，SG1SM SG2SN G1G2 MN，易知 MN 是 ABC 的中位线， MN BC，因此可得 G1G2 BC.1异面直线的判定方法(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面此法在异面直线的判定中经常用到(2)定理：平面外一点 A 与平面内一点 B 的连线和平面内不经过点 B 的直线是异面直线2判定平行直线的常用方法(1)三角形中位线的性质(2)平行四边形的对边平行(3)平行线分线段成比例定理(4)公理 4. 8如图，在正方体 ABC

12、D A1B1C1D1中， M， N 分别是 BC1， CD1的中点，则下列说法错误的是( )A MN 与 CC1垂直B MN 与 AC 垂直C MN 与 BD 平行D MN 与 A1B 平行答案 D解析 如图，连接 C1D， CC1平面 ABCD， CC1 BD， MN 与 CC1垂直，故 A 正确； AC BD， MN BD， MN 与 AC 垂直，B 正确；在三角形 C1DB 中， MN BD，故 C 正确 A1B 与 BD 相交， MN BD， MN 与 A1B 不可能平行，D 错误题型 异面直线所成的角三(2017全国卷)已知直三棱柱 ABC A1B1C1中， ABC120，AB2，

13、BC CC11，则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( )A. B32 155C D105 339答案 C解析 解法一：如图所示，分别延长 CB， C1B1至 D， D1，使 CB BD， C1B1 B1D1，连接DD1， B1D.由题意知， C1B 綊 B1D，则 AB1D 即为异面直线 AB1与 BC1所成的角连接 AD，在 ABD 中，由 AD2 AB2 BD22 ABBDcos ABD，得 AD .又3B1D BC1 ， AB1 ，2 5cos AB1D .AB21 B1D2 AD22AB1B1D 5 2 3252 105解法二：将直三棱柱 ABC A1B1C1补形为直四棱柱

14、ABCD A1B1C1D1，如图所示，连接AD1， B1D1， BD.由题意知 ABC120， AB2， BC CC11，所以 AD1 BC1 ， AB1 ， DAB60.2 5在 ABD 中，由余弦定理知 BD22 21 2221cos603，所以 BD ，所以 B1D1 .3 3又 AB1与 AD1所成的角即为 AB1与 BC1所成的角 ，所以 cos .AB21 AD21 B1D212AB1AD1 5 2 3252 105解法三：过 B 作 BH BC，交 AC 于 H.10以 B 为原点，以 ， ， 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立如图所示的空间直角坐BC BH BB1 标

15、系 Bxyz.则 A(1， ，0)， B1(0,0,1)， C1(1,0,1)，3 (1， ，1)， (1,0,1)，AB1 3 BC1 cos ， ，AB1 BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 1 152 105异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 .105条件探究 把举例说明的条件改为“正三棱柱 ABC A1B1C1中， D 是 AC 的中点，AA1 AB 1” ，求异面直线 AB1与 BD 所成的角2解 取 A1C1的中点 E，连接 B1E， ED， AE，易知 BD B1E.在 Rt AB1E 中， AB1E 为异面直线 AB1与 BD 所成的角设 AB1，则 A1A

16、 ，2AB1 ， B1E ，332所以 cos AB1E ，B1EAB1 12因此 AB1E ， 3故异面直线 AB1与 BD 所成的角为 . 311求异面直线所成角的方法(1)几何法作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上证：证明作出的角为所求角求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角(2)向量法建立空间直角坐标系，利用公式|cos | 求出异面直线的方向向量的夹|mn|m|n|角若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的补角(2018全国卷)在长方体 ABCD A1B1C1D1中， AB BC1， AA1 ，则异面直线 AD13与 DB1所成角的余弦值为( )A. B15 56C D55 22答案 C解析 以 D 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 x， y， z 轴的正方向建立空间直角坐DA DC DD1 标系，则 D(0，0,0)， A(1，0,0)， B1(1,1， )， D1(0,0， )，所以 (1,0， )，3 3 AD1 3(1,1， )，因为 cos ， ，所以异面直线 AD1DB1 3 AD1 DB1 AD1 DB1 |AD1 |DB1 | 1 325 55与 DB1所成角的余弦值为 ，选 C.5512