（浙江专用）2020版高考数学新增分大一轮复习第五章三角函数、解三角形5.3三角函数的图象与性质讲义（含解析）.docx

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1、15.3 三角函数的图象与性质最新考纲 考情考向分析1.理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质2.了解三角函数的周期性.以考查三角函数的图象和性质为主，题目涉及三角函数的图象及应用、图象的对称性、单调性、周期性、最值、零点考查三角函数性质时，常与三角恒等变换结合，加强数形结合思想、函数与方程思想的应用意识题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.1用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数 ysin x， x0,2的图象中，五个关键点是：(0,0)， ，(，0)，( 2， 1)，(2，0)(32， 1)(2)在余弦函数 ycos x， x0,2的图象中，五个关键点是：

2、(0,1)， ，(，1)，( 2， 0)，(2，1)(32， 0)2正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中 kZ)函数 ysin x ycos x ytan x图象定义域 R R x|x R， 且 x k 2值域 1,1 1,1 R周期性 2 2 2奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数递增区间 2k 2， 2k 22k，2 k (k 2， k 2)递减区间 2k + 2， 2k 322k，2 k 无对称中心 (k，0) (k 2， 0) (k2， 0)对称轴方程 x k 2x k 无概念方法微思考1正(余)弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是多少？相邻两个对称中心的距离呢？提示 正(余)弦曲线相邻两条

3、对称轴之间的距离是半个周期；相邻两个对称中心的距离也为半个周期2思考函数 f(x) Asin(x )(A0， 0)是奇函数，偶函数的充要条件？提示 (1) f(x)为偶函数的充要条件是 k( kZ)； 2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)题组一 思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)ysin x 在第一、第四象限是增函数( )(2)由 sin sin 知， 是正弦函数 ysin x(xR)的一个周期( )( 6 23) 6 23(3)正切函数 ytan x 在定义域内是增函数( )(4)已知 y ksinx1， xR，则 y 的最大值为 k1.( )(5)

4、ysin| x|是偶函数( )题组二 教材改编2P35 例 2函数 f(x)cos 的最小正周期是_(2x 4)答案 3P46A 组 T2y3sin 在区间 上的值域是_(2x 6) 0， 2答案 32， 33解析 当 x 时，2 x ，0， 2 6 6， 56sin ，(2x 6) 12， 1故 3sin ，(2x 6) 32， 3即 y3sin 的值域为 .(2x 6) 32， 34P47B 组 T2函数 ytan 的单调递减区间为_(2x34)答案 (kZ)( 8 k2， 58 k2)解析 由 kcos23cos97解析 sin68cos22，又 ycos x 在0，180上是减函数，s

5、in68cos23cos97.题型一 三角函数的定义域1函数 f(x)2tan 的定义域是( )(2x 6)A.Error!B.Error!C.Error!D.Error!答案 D解析 由正切函数的定义域，得 2x k ， kZ，即 x (kZ)，故选 D. 6 2 k2 62函数 y 的定义域为_sinx cosx答案 (kZ)2k 4， 2k 54解析 方法一 要使函数有意义，必须使 sinxcos x0.利用图象，在同一坐标系中画出0,2上 ysin x 和 ycos x 的图象，如图所示在0,2内，满足 sinxcos x 的 x 为 ， ，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以 45

6、45原函数的定义域为Error!.方法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图中阴影部分所示)所以定义域为Error!.3函数 ylg(sin x) 的定义域为_cosx 12答案 Error!解析 要使函数有意义，则Error!即Error! 解得Error!所以 2k 时， f( x)0， f(x)单调递增，12当 cosx 时， f(x)有最小值12又 f(x)2sin xsin2 x2sin x(1cos x)，当 sinx 时， f(x)有最小值，32即 f(x)min2 .(32) (1 12) 332思维升华求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如 y a

7、sinx bcosx c 的三角函数化为 y Asin(x ) c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如 y asin2x bsinx c 的三角函数，可先设 sinx t，化为关于 t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如 y asinxcosx b(sinxcosx) c 的三角函数，可先设 tsin xcosx，化为关于t 的二次函数求值域(最值)(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值跟踪训练 1(1)(2017台州模拟)已知函数 f(x)sin ，其中 x ，若 f(x)(x 6) 3， a的值域是 ，则实数 a 的取值范围是_12， 1答案 3， 解析

8、x ， x ， 3， a 6 6， a 6当 x 时， f(x)的值域为 ， 6 6， 2 12， 17由函数的图象(图略)知， a ， 2 6 76 a. 3(2)函数 ysin xcos xsin xcosx 的值域为_答案 12 2， 1解析 设 tsin xcos x，则 t2sin 2xcos 2x2sin xcosx，sin xcosx ，且1 t22 t .2 2 y t (t1) 21， t ， t22 12 12 2 2当 t1 时， ymax1；当 t 时， ymin .212 2函数的值域为 .12 2， 1题型三 三角函数的周期性、奇偶性、对称性命题点 1 三角函数的周

9、期性例 2(1)(2016浙江)设函数 f(x)sin 2x bsinx c，则 f(x)的最小正周期( )A与 b 有关，且与 c 有关B与 b 有关，但与 c 无关C与 b 无关，且与 c 无关D与 b 无关，但与 c 有关答案 B解析 因为 f(x)sin 2x bsinx c bsinx c ，其中当 b0 时， f(x)cos2x2 12 c ， f(x)的周期为 ； b0 时， f(x)的周期为 2.即 f(x)的周期与 b 有关但与cos2x2 12c 无关，故选 B.(2)若函数 f(x)2tan 的最小正周期 T 满足 10， | | 2) 4 4y f(x)图象的对称轴，且

10、 f(x)在 上单调，则 的最大值为_(18， 536)答案 99解析 因为 x 为 f(x)的零点， x 为 f(x)的图象的对称轴，所以 4 4 ， 4 ( 4) T4 kT2即 T ，所以 2 k1( kN)， 2 2k 14 2k 14 2又因为 f(x)在 上单调，(18， 536)所以 ，即 12，536 18 12 T2 22若 11，又| | ，则 ， 2 4此时， f(x)sin ， f(x)在 上单调递增，在 上单调递减，不满(11x 4) (18， 344) (344， 536)足条件若 9，又| | ，则 ， 2 4此时， f(x)sin ，满足 f(x)在 上单调的条

11、件(9x 4) (18， 536)由此得 的最大值为 9.思维升华 (1)对于函数 y Asin(x )(A0， 0)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点(2)求三角函数周期的方法利用周期函数的定义利用公式： y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 ，2| |ytan( x )的最小正周期为 .| |跟踪训练 2(1)函数 y2sin 的图象( )(2x 3)A关于原点对称B关于点 对称( 6， 0)C关于 y 轴对称D关于直线 x 对称 6答案 B解析 当 x 时，函数 y2sin 0， 6 ( 62 3)10函数图象关于点 对称( 6

12、， 0)(2)若直线 x 和 x 是函数 ycos( x )( 0)图象的两条相邻对称轴，则 54 94的一个可能取值为( )A. B. C. D.34 2 3 4答案 A解析 由题意，函数的周期 T2 2， 1， ycos( x )，当(94 54 ) 2Tx 时，函数取得最大值或最小值，即 cos 1，可得54 (54 ) k， kZ， k ， kZ.当 k2 时，可得 .54 54 34题型四 三角函数的单调性命题点 1 求三角函数的单调区间例 5(1)函数 f(x)sin 的单调递减区间为_( 2x 3)答案 (kZ)k 12， k 512解析 f(x)sin sin( 2x 3) (

13、2x 3)sin ，(2x 3)由 2k 2 x 2 k ， kZ， 2 3 2得 k x k ， kZ.12 512故所求函数的单调递减区间为 (kZ)k 12， k 512(2)函数 f(x)tan 的单调递增区间是_(2x 3)答案 (kZ)(k2 512， k2 12)解析 由 k 0，函数 f(x)sin 在 上单调递减，则 的取值范围是( x 4) ( 2， )_答案 12， 54解析 由 0，得 0， kZ，得 k0，所以 .12 (2k 54) 54 12， 54引申探究本例中，若已知 0，函数 f(x)cos 在 上单调递增，则 的取值范围( x 4) ( 2， )是_12答

14、案 32， 74解析 函数 ycos x 的单调递增区间为2 k，2 k， kZ，则 Error!kZ，解得 4k 2 k ， kZ，52 14又由 4k 0， kZ 且 2k 0， kZ，52 (2k 14) 14得 k1，所以 .32， 74思维升华 (1)已知三角函数解析式求单调区间求形如 y Asin(x )或 y Acos(x )(其中 0)的单调区间时，要视“x ”为一个整体，通过解不等式求解但如果 0)的部分图象如图所示，则 f(x)的单调递减区间为_答案 ， kZ(2k14， 2k 34)解析 由图象知，周期 T2 2， 2， .由(54 14) 2 2 k， kZ，不妨取 ，

15、14 2 4 f(x)cos .由 2k0， 0)若 f(x)在区间15上具有单调性，且 f f f ，则 f(x)的最小正周期为_ 6， 2 ( 2) (23) ( 6)答案 解析 记 f(x)的最小正周期为 T.由题意知 ，T2 2 6 3又 f f f ，且 ，( 2) (23) ( 6) 23 2 6可作出示意图如图所示(一种情况)： x1 ，( 2 6) 12 3x2 ，( 2 23) 12 712 x2 x1 ， T.T4 712 3 41(2018浙江六校协作体期末联考)“ k (kZ)”是“函数 f(x)cos( x )是 2奇函数”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C

16、充要条件 D既不充分也不必要条件答案 C解析 若 k (kZ)，则 f(x)cos( x )cos sin x ， 2 ( x k 2)函数 f(x)为奇函数，所以充分性成立；反之，若函数 f(x)cos( x )是奇函数，则 0 k (kZ)，即 2 k (kZ)，因此必要性成立所以“ k (kZ)”是“函数 f(x) 2 2cos( x )是奇函数”的充要条件，故选 C.2函数 f(x)sin 在区间 上的最小值为( )(2x 4) 0， 216A1B C. D022 22答案 B解析 由已知 x ，得 2x ，0， 2 4 4， 34所以 sin ，故函数 f(x)sin 在区间 上的最

17、小值为 .(2x 4) 22， 1 (2x 4) 0， 2 22故选 B.3(2019舟山模拟)函数 ysin x2的图象是( )答案 D解析 函数 ysin x2为偶函数，排除 A，C；又当 x 时函数取得最大值，排除 B，故选 2D.4函数 ycos 2x2sin x 的最大值与最小值分别为( )A3，1 B3，2C2，1 D2，2答案 D解析 ycos 2x2sin x1sin 2x2sin xsin 2x2sin x1，令 tsin x，则 t1,1， y t22 t1( t1) 22，所以 ymax2， ymin2.5已知函数 f(x)2sin(2 x ) 的图象过点(0， )，则

18、f(x)图象的一个对称(| |0，则 f(x)的单调递减区间是( )( 6)A. (kZ)k ， k 4B. (kZ)k 4， k 4C. (kZ)k 4， k 34D. (kZ)k 2， k 答案 C解析 由题意可得函数 f(x)sin(2 x )的图象关于直线 x 对称，故有 42 k ， kZ，即 k， kZ.又 f sin 0，所以 4 2 ( 6) ( 3 ) 2 n， nZ，所以 f(x)sin(2 x2 n)sin2 x.令2k 2 x2 k ， kZ，求得 k x k ， kZ，故函数 f(x)的单调 2 32 4 34递减区间为 ， kZ.k 4， k 347函数 y 的定义

19、域为_1tan(x 4)答案 Error!解析 要使函数有意义必须有 tan 0，(x 4)则Error!18所以 x ， kZ，所以 x ， kZ， 4 k2 k2 4所以原函数的定义域为Error!.8设函数 f(x)3sin ，若存在这样的实数 x1， x2，对任意的 xR，都有 f(x1)( 2x 4) f(x) f(x2)成立，则| x1 x2|的最小值为_答案 2解析 | x1 x2|的最小值为函数 f(x)的半个周期，又 T4，| x1 x2|的最小值为 2.9(2018浙江温州中学模拟)函数 f(x)2cos 2xcos 1，则函数的最小正周期(2x 3)为_，在0，内的对称轴

20、方程是_答案 x 和 x12 712解析 因为 f(x)1cos2 x cos2x sin2x112 32 sin2x cos2x sin ，32 32 3 (2x 3)所以最小正周期 T .解 sin 1，22 (2x 3)得 f(x)的对称轴方程为 x (kZ)12 k2由于 x0，所以在0，内的对称轴方程是 x 和 x .12 71210已知函数 f(x) ，则下列说法正确的是_(填序号)|tan(12x 6)| f(x)的周期是 ； 2 f(x)的值域是 y|yR，且 y0；直线 x 是函数 f(x)图象的一条对称轴；53 f(x)的单调递减区间是 ， kZ.(2k 23， 2k 3答

21、案 解析 函数 f(x)的周期为 2，错； f(x)的值域为0，)，错；当 x 时， x53 12 ， kZ， x 不是 f(x)的对称轴，错；令 6 23 k2 5319k sinx，此时 f(x)sin x， f(x) 1,0综上 4 54 0， 22)知 f(x)的值域为 . 1，222114已知函数 f(x)2cos( x )1 ，其图象与直线 y3 相邻两个( 0， | |1 对任意 x 恒成立，则 的取值范围是( )23 ( 12， 6)A. B. 6， 6 4， 0C. D.( 3， 12 0， 4答案 B解析 由题意可得函数 f(x)2cos( x )1 的最大值为 3. f(

22、x)的图象与直线 y3相邻两个交点的距离为 ， f(x)的周期 T ， ，解得 3， f(x)23 23 2 232cos(3 x )1. f(x)1 对任意 x 恒成立，2cos(3 x )11，即(12， 6)cos(3x )0 对任意 x 恒成立， 2 k 且(12， 6) 4 2 2 k ， kZ，解得 2 k 且 2 k， kZ，即 2 2 42k 2 k， kZ.结合| | 可得，当 k0 时， 的取值范围为 . 4 2 4， 015已知函数 f(x)cos(2 x ) 在 上单调递增，若(0 2) 38， 6f m 恒成立，则实数 m 的取值范围为_( 4)答案 0，)解析 f(

23、x)cos(2 x ) ，(0 2)当 x 时， 2 x ，38， 6 34 3由函数 f(x)在 上是增函数得38， 6Error!kZ，则 2k 2 k (kZ) 4 3又 0 ，0 ， f cos ， 2 3 ( 4) ( 2 )又 ， f max0， m0. 2 2 56 ( 4)2216设函数 f(x)2sin m 的图象关于直线 x 对称，其中 0 .(2 x 6) 12(1)求函数 f(x)的最小正周期(2)若函数 y f(x)的图象过点(，0)，求函数 f(x)在 上的值域0，32解 (1)由直线 x 是 y f(x)图象的一条对称轴，可得 sin 1，(2 6)2 k (kZ)， 6 2即 (kZ)k2 13又 0 ， ，12 13函数 f(x)的最小正周期为 3.(2)由(1)知 f(x)2sin m，(23x 6) f()0，2sin m0， m2，(23 6) f(x)2sin 2，(23x 6)当 0 x 时， x ，32 6 23 6 56 sin 1.12 (23x 6)3 f(x)0，故函数 f(x)在 上的值域为 .0，32 3， 023