(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第二章2第二节函数的单调性与最值课件.pptx
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1、第二节 函数的单调性与最值,1.函数的单调性,2.函数的最值,教材研读,考点一 函数单调性的判断与证明,考点二 求函数的单调区间,考点突破,考点三 函数的最值,考点四 函数单调性的应用,1.函数的单调性 (1)单调函数的定义,教材研读,(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间I上是 单调增函数 或 单调减函数 ,则称函 数f(x)在这一区间上具有单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. (3)判断函数单调性的方法 (i)定义法:利用定义判断. (ii)利用函数的性质:如,若y=f(x)、y=g(x)在公共定义域内为增函数,则 a.y=f(x)+g(x)为增函数; b.y= 为减函数(f(x
2、)0);,c.y= 为增函数(f(x)0); d.y=f(x)g(x)为增函数(f(x)0,g(x)0); e.y=-f(x)为减函数. (iii)利用复合函数的关系判断单调性. 法则是“同增异减”,即若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数 组成的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函 数组成的复合函数为减函数.,(iv)图象法. (v)导数法.,2.函数的最值,知识拓展 函数最值的有关结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值,当函数在闭区间上 单调时,最值一定在端点处取得. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(最小值).,1.(教材习题改编)若函数y=
3、f(x)的图象如图所示,则其单调增区间是 .,答案 1,4)和4,6,2.(教材习题改编)已知f(x)= ,x2,6,则f(x)的最大值为 ,最 小值为 .,答案 2;,解析 易知函数f(x)= 在x2,6上为减函数,故f(x)max=f(2)=2, f(x)min= f(6)= .,3.“a0”是“函数f(x)= 在(-,-1)上是减函数”的 条件.,答案 必要不充分,解析 函数f(x)= =a- 在(-,-1)上是减函数a+10,即a-1,所 以“a0”是“a-1”的必要不充分条件.,4.若函数y=|2x-1|在(-,m上单调递减,则实数m的取值范围是 .,答案 (-,0,解析 在直角坐标
4、系中作出y=2x的图象,把图象沿y轴 向下平移1个单位得到y=2x-1的图象,再把y=2x-1的图象 在x轴下方的部分翻折到x轴上方,其余部分不变,如图, 由图象可知y=|2x-1|在(-,0上单调递减,m(-, 0.,考点一 函数单调性的判断与证明 典例1 判断函数f(x)= (a0)在x(-1,1)上的单调性,并给出证明.,考点突破,解析 函数f(x)= (a0)在x(-1,1)上是单调减函数. 证明如下:任取x1,x2(-1,1),且令x10,x1x2+10,( -1)( -1)0.,又a0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1) f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上是单调减函数.
5、 方法技巧 证明函数单调性的方法常用的有两种,即定义法和导数法,利用定义法 证明函数单调性的步骤:取值作差变形确定符号得出结论;利 用导数法证明可导函数单调性的步骤:求f (x);证明f (x)0( f (x)0),xD成立;得出结论,即f(x),xD递增(减).,1-1 (2017江苏泰州高三期中)已知函数f(x)= . (1)证明:函数f(x)在(-1,+)上为增函数; (2)若x0,2,求函数f(x)的值域.,解析 (1)证明: f(x)= = =2- . 设x1,x2是区间(-1,+)上的任意两个实数,且x1x1-1,所以x1+10,x2+10,x2-x10, 所以f(x2)-f(x1
6、)0,所以f(x1)f(x2), 所以函数f(x)在(-1,+)上为增函数. (2)由(1)可知,函数f(x)在0,2上为单调增函数,所以当x0,2时, f(x)min=f(0)=1, f(x)max=f(2)= . 所以当x0,2时,函数f(x)的值域为 .,考点二 求函数的单调区间 典例2 求下列函数的单调区间. (1)f(x)=-x2+2|x|+3;,(2)y=log2(x2-1).,解析 (1)依题意可得 f(x)= 由二次函数的图象(图略)知,函数f(x)=-x2+2|x|+3的单调增区间为(-,-1 和0,1,单调减区间为-1,0和1,+).,(2)易知函数y=log2(x2-1)
7、的定义域为(-,-1)(1,+).,y=log2(x2-1)可看作由y=log2 和=x2-1两个函数复合而成,且y=log2 在 (0,+)上为增函数,而=x2-1在x(-,-1)上为减函数且0, 在x(1,+)上为增函数且0, 函数y=log2(x2-1)的单调递减区间为(-,-1),单调递增区间为(1,+).,易错警示 求函数的单调区间要注意的问题 (1)单调区间是定义域的子集,故求单调区间应以“定义域优先”为原 则. (2)单调区间只能用区间表示,不能用集合或不等式表示. (3)图象不连续的单调区间要分开写,用“和”或“,”连接,不能用 “”连接.,2-1 (2018江苏如东高级中学高
8、三期中)函数f(x)=lg(-x2+2x+3)的单调递 减区间是 .,答案 (1,3) 解析 由-x2+2x+30得函数的定义域是(-1,3),则结合题意知函数f(x)的 减区间是(1,3).,考点三 函数的最值 角度一 已知函数的解析式求最值,典例3 (1)函数f(x)= -log2(x+2)在-1,1上的最大值为 .,(2)若xlog52-1,则函数f(x)=4x-2x+1-3的最小值为 . (3)函数f(x)= 的最大值为 .,答案 (1)3 (2)-4 (3)2,解析 (1)因为y= 在-1,1上递减,y=-log2(x+2),x-1,1递减,所以函 数f(x)= -log2(x+2)
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