（浙江专用）2020版高考数学一轮总复习专题8立体几何8.3直线、平面平行的判定和性质检测.doc

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1、18.3 直线、平面平行的判定和性质挖命题【考情探究】5 年考情考点 内容解读考题示例 考向 关联考点预测热度2018 浙江,6线线平行与线面平行的判定和性质直线与平面的位置关系2017 浙江,19线面平行的判定和性质直线与平面所成的角平行的判定和性质1.了解直线与平面、平面与平面的位置关系.2.理解直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3.理解直线与平面平行、平面与平面平行的性质定理,并能够证明.4.能够证明空间平行位置关系的简单命题.2015 浙江文,4线线平行、线面平行、面面平行的判定和性质面面垂直、线面垂直、线线垂直的判定和性质分析解读 1.平行关系是立体几何中的一种重要关系.判断

2、命题及位置关系常以选择题、填空题形式出现.2.直线与平面、平面与平面平行的判定与性质是高考考查的重点和热点,常以棱锥、棱柱及不规则几何体为背景,以解答题的形式出现.3.预计 2020 年高考中,直线与平面、平面与平面平行的判定与性质的应用,证明线面、面面的平行关系,仍是高考的考查的重点.破考点【考点集训】考点 平行的判定和性质1.(2017 浙江镇海中学模拟训练(一),3)若有直线 m、n 和平面 、,则下列四个命题中,为真命题的是( )A.若 m,n,则 mnB.若 m,n,m,n 则 C.若 ,m,则 m2D.若 ,m,m,则 m答案 D 2.(2018 浙江重点中学 12 月联考,19)

3、在等腰梯形 ABCD 中(如图 1),AB=4,BC=CD=DA=2,F 为线段 CD 的中点,E、M 为线段 AB 上的点,AE=EM=1,现将四边形 AEFD 沿 EF 折起(如图 2).图 1图 2(1)求证:AM平面 BCD;(2)若 BD= ,求直线 CD 与平面 BCFE 所成角的正弦值.302解析 (1)证明:连接 CM,EMFC 且 EM=FC=1,四边形 EFCM 为平行四边形,(2 分)EFCM 且 EF=CM.又 EFAD 且 EF=AD,CMAD 且 CM=AD,(4 分)四边形 ADCM 为平行四边形,AMDC,又DC平面 BCD,AM平面 BCD,AM平面 BCD.

4、(6 分)(2)过点 D 作 DHEF 于 H,连接 BH,CH,在 RtDFH 中,易知DFH=60,又 DF=1,DH= ,FH=,在BEH 中,EH=EF-FH=,(10 分)32HEB=60,EB=3,HB 2= +32-23cos 60= .(32)2 274在BDH 中,DH= ,BH= ,BD= ,DH 2+BH2=BD2,32 332 302DHHB,又 DHEF,DH平面 BCFE.(13 分)CH 为 CD 在平面 BCFE 内的射影,DCH 为 CD 与平面 BCFE 所成的角,在FCH 中,易知CFH=120,3CH= = ,2+2-2cos 12072在 RtCDH

5、中,CD= = ,sinDCH= = ,(14 分)2+2102 3010CD 与平面 BCFE 所成角的正弦值为 .(15 分)3010炼技法【方法集训】方法 平行关系判定的方法1.(2018 浙江嘉兴教学测试(4 月),19,15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为4 的正方形,侧面 PCD 为正三角形且二面角 P-CD-A 的平面角为 60.(1)设侧面 PAD 与平面 PBC 的交线为 m,求证:mBC.(2)设底边 AB 与侧面 PBC 所成的角为 ,求 sin 的值.解析 (1)证明:因为 BCAD,BC侧面 PAD,AD侧面 PAD,所以 BC侧面 P

6、AD,(2 分)又因为侧面 PAD 与平面 PBC 的交线为 m,所以 mBC.(5 分)(2)解法一:取 CD 的中点 M、AB 的中点 N,连接 PM、MN,则 PMCD、MNCD,所以PMN 是侧面 PCD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角.从而PMN=60.(8 分)作 POMN 于 O,则 PO底面 ABCD.因为 CM=2,PM=2 ,3所以 OM= ,OP=3.3以 O 为原点,ON 所在直线为 x 轴,OP 所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,如图.(10 分)则 =(0,4,0), =(4- ,2,-3), =(- ,2,-3). 3 3设 n=(x,y,z)是平面

7、PBC 的法向量,4则 得 可取 n=(0,3,2),(13 分)=0,=0, (4- 3)+2-3=0,- 3+2-3=0, 则 sin =|cos|= = .(15 分)1213431313解法二:取 CD 的中点 M、AB 的中点 N,连接 PM、MN,则 PMCD、MNCD.所以PMN 是侧面 PCD 与底面 ABCD 所成二面角的平面角.从而PMN=60.(8 分)作 POMN 于 O,则 PO底面 ABCD.因为 CM=2,PM=2 ,所以 OP=3.(10 分)3作 OEAB 交 BC 于 E,连接 PE.因为 BCPO,BCOE,所以 BC平面 POE,又 BC平面 PBC,所

8、以平面 POE平面 PBC,所以PEO 就是 OE 与平面 PBC 所成的角,(13 分)在POE 中,tan = =.故 sin = .(15 分) 313132.(2018 浙江宁波高三上学期期末,19,15 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,侧面 PCD底面ABCD,四边形 ABCD 为矩形,E 为 PA 的中点,AB=2a,BC=a,PC=PD= a.2(1)求证:PC平面 BDE;(2)求直线 AC 与平面 PAD 所成角的正弦值.解析 (1)证明:如图,设 AC 与 BD 的交点为 O,连接 EO.因为四边形 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 的中点.在PAC 中,由 E

9、为 PA 的中点,得 EOPC.(4 分)又 EO平面 BDE,PC平面 BDE,所以 PC平面 BDE.(7 分)5(2)解法一:在PCD 中,DC=2a,PC=PD= a,2所以 DC2=PD2+PC2,所以 PCPD.因为平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCD=CD,AD平面 ABCD,ADCD,所以 AD平面 PCD,故 ADPC,又因为 ADPD=D,AD,PD平面 PAD,所以 PC平面 PAD,故PAC 就是直线 AC 与平面 PAD 所成的角.(12 分)在直角PAC 中,AC= a,PC= a,5 2所以 sinPAC= = = ,25 105即直线 AC 与

10、平面 PAD 所成角的正弦值为 .(15 分)105解法二:如图,取 CD 的中点 F,连接 PF.因为 PC=PD,所以 PFCD.又因为平面 PCD平面 ABCD,平面 PCD平面 ABCD=CD,所以 PF平面 ABCD.如图,建立空间直角坐标系 F-xyz.可得 C(0,a,0),D(0,-a,0),P(0,0,a),A(a,-a,0),6则 =(-a,2a,0), =(a,-a,-a), =(a,0,0),(11 分) 设平面 PAD 的法向量为 m=(x,y,z),则 即 可取 m=(0,1,-1),(13 分)=0,=0, -=0,=0, 设直线 AC 与平面 PAD 所成角的大

11、小为 ,则 sin =|cos|= = = ,| 22 5 105所以直线 AC 与平面 PAD 所成角的正弦值为 .(15 分)105过专题【五年高考】A 组 自主命题浙江卷题组考点 平行的判定和性质(2018 浙江,6,4 分)已知平面 ,直线 m,n 满足 m,n,则“mn”是“m”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A B 组 统一命题、省(区、市)卷题组考点 平行的判定和性质1.(2017 课标全国文,6,5 分)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB

12、与平面 MNQ 不平行的是( )答案 A 72.(2016 课标全国,14,5 分), 是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题:如果 mn,m,n,那么 .如果 m,n,那么 mn.如果 ,m,那么 m.如果 mn,那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等.其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号) 答案 3.(2018 江苏,15, 14 分)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,AA 1=AB,AB1B 1C1.求证:(1)AB平面 A1B1C;(2)平面 ABB1A1平面 A1BC.证明 本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能

13、力和推理论证能力.(1)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,ABA 1B1.因为 AB平面 A1B1C,A1B1平面 A1B1C,所以 AB平面 A1B1C.(2)在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中,四边形 ABB1A1为平行四边形.又因为 AA1=AB,所以四边形 ABB1A1为菱形,所以 AB1A 1B.因为 AB1B 1C1,BCB 1C1,所以 AB1BC.又因为 A1BBC=B,A 1B平面 A1BC,BC平面 A1BC,所以 AB1平面 A1BC,又因为 AB1平面 ABB1A1,所以平面 ABB1A1平面 A1BC.4.(2017 江苏,15,14 分)如图,在三

14、棱锥 A-BCD 中,ABAD,BCBD,平面 ABD平面 BCD,点E,F(E 与 A,D 不重合)分别在棱 AD,BD 上,且 EFAD.8求证:(1)EF平面 ABC;(2)ADAC.证明 (1)在平面 ABD 内,因为 ABAD,EFAD,所以 EFAB.又因为 EF平面 ABC,AB平面 ABC,所以 EF平面 ABC.(2)因为平面 ABD平面 BCD,平面 ABD平面 BCD=BD,BC平面 BCD,BCBD,所以 BC平面 ABD.因为 AD平面 ABD,所以 BCAD.又 ABAD,BCAB=B,AB平面 ABC,BC平面 ABC,所以 AD平面 ABC.又因为 AC平面 A

15、BC,所以 ADAC.5.(2016 山东,17,12 分)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆 O 的直径,EF 是上底面圆 O的直径,FB 是圆台的一条母线.(1)已知 G,H 分别为 EC,FB 的中点.求证:GH平面 ABC;(2)已知 EF=FB=AC=2 ,AB=BC.求二面角 F-BC-A 的余弦值.3解析 (1)证明:设 FC 中点为 I,连接 GI,HI.在CEF 中,因为点 G 是 CE 的中点,所以 GIEF.又 EFOB,所以 GIOB.在CFB 中,因为 H 是 FB 的中点,所以 HIBC.又 HIGI=I,所以平面 GHI平面 ABC.9因为 GH平面 GHI,所

16、以 GH平面 ABC.(2)解法一:连接 OO,则 OO平面 ABC.又 AB=BC,且 AC 是圆 O 的直径,所以 BOAC.以 O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 O-xyz.由题意得 B(0,2 ,0),C(-2 ,0,0),3 3所以 =(-2 ,-2 ,0), 3 3过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M.所以 FM= =3,可得 F(0, ,3).2-2 3故 =(0,- ,3). 3设 m=(x,y,z)是平面 BCF 的法向量.由 =0,=0,可得 -23-23=0,- 3+3=0. 可得平面 BCF 的一个法向量 m= .(-1,1, 33)因为平面 ABC 的

17、一个法向量 n=(0,0,1),所以 cos= = .| 77所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 .77解法二:连接 OO.过点 F 作 FM 垂直 OB 于点 M.则有 FMOO.又 OO平面 ABC,所以 FM平面 ABC.10可得 FM= =3.2-2过点 M 作 MN 垂直 BC 于点 N,连接 FN.可得 FNBC,从而FNM 为二面角 F-BC-A 的平面角.又 AB=BC,AC 是圆 O 的直径,所以 MN=BMsin 45= .62从而 FN= ,422可得 cosFNM= .77所以二面角 F-BC-A 的余弦值为 .77评析 本题考查了线面平行、垂直的位置关系;考查了二面

18、角的求解方法;考查了空间想象能力和逻辑推理能力.正确找到二面角的平面角或正确计算平面的法向量是求解的关键.C 组 教师专用题组考点 平行的判定和性质 1.(2016 四川,18,12 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,ADBC,ADC=PAB=90,BC=CD=AD,E为棱 AD 的中点,异面直线 PA 与 CD 所成的角为 90.(1)在平面 PAB 内找一点 M,使得直线 CM平面 PBE,并说明理由;(2)若二面角 P-CD-A 的大小为 45,求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值.解析 (1)在梯形 ABCD 中,AB 与 CD 不平行.延长 AB,DC,相交于点 M(M平

19、面 PAB),点 M 即为所求的一个点.理由如下:由已知,BCED,且 BC=ED.所以四边形 BCDE 是平行四边形.从而 CMEB.又 EB平面 PBE,CM平面 PBE,11所以 CM平面 PBE.(说明:延长 AP 至点 N,使得 AP=PN,则所找的点可以是直线 MN 上任意一点)(2)解法一:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.从而 CDPD.所以PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以PDA=45.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.过点 A 作 AHCE,交 CE 的延长线于点 H,连接 PH.易知 PA平面 ABCD,又 C

20、E平面 ABCD,从而 PACE.于是 CE平面 PAH.所以平面 PCE平面 PAH.过 A 作 AQPH 于 Q,则 AQ平面 PCE.所以APH 是 PA 与平面 PCE 所成的角.在 RtAEH 中,AEH=45,AE=1,所以 AH= .22在 RtPAH 中,PH= = ,2+2322所以 sinAPH= =.解法二:由已知,CDPA,CDAD,PAAD=A,所以 CD平面 PAD.于是 CDPD.从而PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角.所以PDA=45.由 PAAB,可得 PA平面 ABCD.设 BC=1,则在 RtPAD 中,PA=AD=2.作 AyAD,以 A 为原点,

21、以 , 的方向分别为 x 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz,则 A(0,0,0),P(0,0,2),C(2,1,0),E(1,0,0),12所以 =(1,0,-2), =(1,1,0), =(0,0,2). 设平面 PCE 的法向量为 n=(x,y,z),由 得=0,=0, -2=0,+=0,设 x=2,则可得 n=(2,-2,1).设直线 PA 与平面 PCE 所成角为 ,则 sin = = =.|22 22+(-2)2+12所以直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值为.2.(2016 江苏,16,14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,D,E 分

22、别为 AB,BC 的中点,点 F 在侧棱 B1B 上,且 B1DA 1F,A1C1A 1B1.求证:(1)直线 DE平面 A1C1F;(2)平面 B1DE平面 A1C1F.证明 (1)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1C1AC.在ABC 中,因为 D,E 分别为 AB,BC 的中点,所以 DEAC,于是 DEA 1C1.又因为 DE平面 A1C1F,A1C1平面 A1C1F,所以直线 DE平面 A1C1F.(2)在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,A 1A平面 A1B1C1.因为 A1C1平面 A1B1C1,所以 A1AA 1C1.又因为 A1C1A 1B1,A1A平面 ABB1A1,

23、A1B1平面 ABB1A1,A1AA 1B1=A1,所以 A1C1平面 ABB1A1.因为 B1D平面 ABB1A1,所以 A1C1B 1D.又因为 B1DA 1F,A1C1平面 A1C1F,A1F平面 A1C1F,A1C1A 1F=A1,所以 B1D平面 A1C1F.13因为直线 B1D平面 B1DE,所以平面 B1DE平面 A1C1F.评析 本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.3.(2015 江苏,16,14 分)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,已知 ACBC,BC=CC 1,设 AB1的中点为 D,B1CBC 1=E.求证

24、:(1)DE平面 AA1C1C;(2)BC1AB 1.证明 (1)由题意知,E 为 B1C 的中点,又 D 为 AB1的中点,因此 DEAC.又因为 DE平面 AA1C1C,AC平面 AA1C1C,所以 DE平面 AA1C1C.(2)因为棱柱 ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以 CC1平面 ABC.因为 AC平面 ABC,所以 ACCC 1.又因为 ACBC,CC 1平面 BCC1B1,BC平面 BCC1B1,BCCC 1=C,所以 AC平面 BCC1B1.又因为 BC1平面 BCC1B1,所以 BC1AC.因为 BC=CC1,所以矩形 BCC1B1是正方形,因此 BC1B 1C.因为 AC

25、,B1C平面 B1AC,ACB 1C=C,所以 BC1平面 B1AC.又因为 AB1平面 B1AC,所以 BC1AB 1.14评析 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.4.(2015 安徽,19,13 分)如图所示,在多面体 A1B1D1DCBA 中,四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD 均为正方形,E 为 B1D1的中点,过 A1,D,E 的平面交 CD1于 F.(1)证明:EFB 1C;(2)求二面角 E-A1D-B1的余弦值.解析 (1)证明:由正方形的性质可知 A1B1ABDC,且 A1B1=AB=DC,所以四边形 A1B1CD 为平行

26、四边形,从而 B1CA 1D,又 A1D面 A1DE,B1C面 A1DE,于是 B1C面 A1DE.又 B1C面 B1CD1,面 A1DE面 B1CD1=EF,所以 EFB 1C.(2)因为四边形 AA1B1B,ADD1A1,ABCD 均为正方形,所以 AA1AB,AA 1AD,ABAD 且AA1=AB=AD,以 A 为原点,分别以 , , 为 x 轴,y 轴和 z 轴单位正向量建立如图所示的空1间直角坐标系,可得点的坐标 A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),D1(0,1,1),而 E 点为 B1D1的中点,所以 E 点的坐标为(0.5

27、,0.5,1).设面 A1DE 的法向量 n1=(r1,s1,t1),而该面上向量 =(0.5,0.5,0), =(0,1,- 1),由 n11 1,n1 得 r1,s1,t1应满足的方程组 (-1,1,1)为其一组解,1 1 0.51+0.51=0,1-1=0, 所以可取 n1=(-1,1,1).设面 A1B1CD 的法向量 n2=(r2,s2,t2),而该面上向量 =(1,0,0), =(0,1,-1),11 1由此同理可得 n2=(0,1,1).所以结合图形知二面角 E-A1D-B1的余弦值为|12|1|2|15= = .23 2 63评析 本题考查直线与直线的平行关系以及二面角的求解,

28、考查空间想象能力、逻辑推理能力以及运算求解能力.正确求解各点坐标以及平面法向量是解决问题的关键.5.(2015 山东,17,12 分)如图,在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别为 AC,BC 的中点.(1)求证:BD平面 FGH;(2)若 CF平面 ABC,ABBC,CF=DE,BAC=45,求平面 FGH 与平面 ACFD 所成的角(锐角)的大小.解析 (1)连接 DG,CD,设 CDGF=O,连接 OH.在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的中点,可得 DFGC,DF=GC,所以四边形 DFCG 为平行四边形.则 O 为 CD 的中点,又 H 为

29、BC 的中点,所以 OHBD,又 OH平面 FGH,BD平面 FGH,所以 BD平面 FGH.(2)设 AB=2,则 CF=1.在三棱台 DEF-ABC 中,G 为 AC 的中点,由 DF=AC=GC,可得四边形 DGCF 为平行四边形,因此DGFC.又 FC平面 ABC,所以 DG平面 ABC.在ABC 中,由 ABBC,BAC=45,G 是 AC 中点,所以 AB=BC,GBGC,因此 GB,GC,GD 两两垂直.以 G 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系 G-xyz.16所以 G(0,0,0),B( ,0,0),C(0, ,0),D(0,0,1).2 2可得 H ,F(0, ,1)

30、,(22, 22,0)2故 = , =(0, ,1).(22, 22,0) 2设 n=(x,y,z)是平面 FGH 的法向量,则由 =0,=0,可得 +=0,2+=0.可得平面 FGH 的一个法向量 n=(1,-1, ).2因为 是平面 ACFD 的一个法向量, =( ,0,0), 2所以 cos= = =.| 222所以平面 FGH 与平面 ACFD 所成角(锐角)的大小为 60.6.(2015 福建,17,13 分)如图,在几何体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是矩形,AB平面BEC,BEEC,AB=BE=EC=2,G,F 分别是线段 BE,DC 的中点.(1)求证:GF平面 ADE;

31、(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.解析 (1)证明:如图,取 AE 的中点 H,连接 HG,HD,17又 G 是 BE 的中点,所以 GHAB,且 GH=AB.又 F 是 CD 的中点,所以 DF=CD.由四边形 ABCD 是矩形得,ABCD,AB=CD,所以 GHDF,且 GH=DF,从而四边形 HGFD 是平行四边形,所以 GFDH.又 DH平面 ADE,GF平面 ADE,所以 GF平面 ADE.(2)如图,在平面 BEC 内,过 B 点作 BQEC.因为 BECE,所以 BQBE.又因为 AB平面 BEC,所以 ABBE,ABBQ.以 B 为原点,分别以 , ,

32、 的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(0,0,0),E(2,0,0),F(2,2,1).因为 AB平面 BEC,所以 =(0,0,2)为平面 BEC 的法向量 .设 n=(x,y,z)为平面 AEF 的法向量.又 =(2,0,-2), =(2,2,-1), 由 得=0,=0, 2-2=0,2+2-=0,取 z=2,得 n=(2,-1,2).从而 cos= = =,| 432所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为.187.(2015 四川,18,12 分)一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示.在正方体中,设 B

33、C 的中点为 M,GH 的中点为 N.(1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);(2)证明:直线 MN平面 BDH;(3)求二面角 A-EG-M 的余弦值.解析 (1)点 F,G,H 的位置如图所示.(2)证明:连接 BD,设 O 为 BD 的中点.因为 M,N 分别是 BC,GH 的中点,所以 OMCD,且 OM=CD,HNCD,且 HN=CD.所以 OMHN,OM=HN.所以 MNHO 是平行四边形,从而 MNOH.又 MN平面 BDH,OH平面 BDH,所以 MN平面 BDH.(3)解法一:连接 AC,过 M 作 MPAC 于 P.在正方体 ABCD-EFGH

34、 中,ACEG,所以 MPEG.过 P 作 PKEG 于 K,连接 KM,所以 EG平面 PKM,从而 KMEG.所以PKM 是二面角 A-EG-M 的平面角.设 AD=2,则 CM=1,PK=2.在 RtCMP 中,PM=CMsin 45= .2219在 RtPKM 中,KM= = .2+2322所以 cosPKM= = .223即二面角 A-EG-M 的余弦值为 .223解法二:如图,以 D 为坐标原点,分别以 , , 方向为 x,y,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系 D-xyz.设 AD=2,则 M(1,2,0),G(0,2,2),E(2,0,2),O(1,1,0),所以, =(2,-

35、2,0), =(-1,0,2). 设平面 EGM 的法向量为 n1=(x,y,z),由 得1=0,1=0, 2-2=0,-+2=0,取 x=2,得 n1=(2,2,1).在正方体 ABCD-EFGH 中,DO平面 AEGC,则可取平面 AEG 的一个法向量为 n2= =(1,1,0),所以 cos= = = ,12|1|2| 2+2+04+4+1 1+1+0223故二面角 A-EG-M 的余弦值为 .223评析 本题主要考查简单空间图形的直观图、空间线面平行的判定与性质、二面角的平面角的计算等基础知识,考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.8.(2014 课标,18,12 分)如图,四

36、棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA平面 ABCD,E 为PD 的中点.(1)证明:PB平面 AEC;(2)设二面角 D-AE-C 为 60,AP=1,AD= ,求三棱锥 E-ACD 的体积.320解析 (1)证明:连接 BD 交 AC 于点 O,连接 EO.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 BD 的中点.又 E 为 PD 的中点,所以 EOPB.又 EO平面 AEC,PB平面 AEC,所以 PB平面 AEC.(2)因为 PA平面 ABCD,ABCD 为矩形,所以 AB,AD,AP 两两垂直.如图,以 A 为坐标原点, 的方向为 x 轴的正方向,| |为单位长,建立空间直角

37、坐标系 A- xyz,则 D(0, ,0),E , = .3 (0, 32,12) (0, 32,12)设 B(m,0,0)(m0),则 C(m, ,0), =(m, ,0).3 3设 n1=(x,y,z)为平面 ACE 的法向量,则 即1=0,1=0, + 3=0,32+12=0,可取 n1= .(3,-1, 3)又 n2=(1,0,0)为平面 DAE 的法向量,由题设得|cos|=,即 =,解得 m=.33+42因为 E 为 PD 的中点,所以三棱锥 E-ACD 的高为.三棱锥 E-ACD 的体积 V= = .338评析 本题考查线面平行的判定,利用空间向量解二面角问题,考查了学生的空间想

38、象能力.9.(2014 江苏,16,14 分)如图,在三棱锥 P-ABC 中,D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点.已知PAAC,PA=6,BC=8,DF=5.求证:(1)直线 PA平面 DEF;21(2)平面 BDE平面 ABC.证明 (1)因为 D,E 分别为棱 PC,AC 的中点,所以 DEPA.又因为 PA平面 DEF,DE平面 DEF,所以直线 PA平面 DEF.(2)因为 D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点,PA=6,BC=8,所以 DEPA,DE=PA=3,EF=BC=4.又因为 DF=5,故 DF2=DE2+EF2,所以DEF=90,即 DEEF.又 PA

39、AC,DEPA,所以 DEAC.因为 ACEF=E,AC平面 ABC,EF平面 ABC,所以 DE平面 ABC.又 DE平面 BDE,所以平面 BDE平面 ABC.评析 本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.【三年模拟】一、选择题(每小题 4 分,共 8 分)1.(2018 浙江新高考调研卷四(金华一中),4)已知 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( )A.若 m,=n,则 mnB.若 m,n,则 mnC.若 m,mn,则 nD.若 m,m,则 答案 D 2.(2018 浙江镇海中学模拟,5)已知两条不相交的

40、空间直线 a 和 b,则( )A.必定存在平面 ,使得 a,b 22B.必定存在平面 ,使得 a,bC.必定存在直线 c,使得 ac,bcD.必定存在直线 c,使得 ac,bc答案 B 二、填空题(单空题 4 分,多空题 6 分,共 4 分)3.(2018 浙江“七彩阳光”联盟期中,15)已知 m,n,l 是互不相同的直线, 是两个不重合的平面,给出以下四个命题:m,n 是两条异面直线,m,n ,且 m,n,则 ;若 m,n=A,且点 Am,则 m,n 是两条异面直线;若 m,n 是异面直线,m,n,且 lm,ln,则 l;已知直线 m平面 ,直线 n平面 , mn.其中为真命题的序号是 .(

41、把所有真命题的序号都填上) 答案 三、解答题(共 45 分)4.(2019 届金丽衢十二校高三第一次联考,19)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA平面 ABCD,且四边形 ABCD 为直角梯形,ABC=BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1,点 M,E 分别是 PA,PD 的中点.(1)求证:CE平面 BMD;(2)点 Q 为线段 BP 的中点,求直线 PA 与平面 CEQ 所成角的余弦值.解析 (1)证明:连接 ME,因为点 M,E 分别是 PA,PD 的中点,所以 ME=AD,MEAD,所以BCME,BC=ME,所以四边形 BCEM 为平行四边形,所以 CEBM.又因为 BM平面 B

42、MD,CE平面BMD,所以 CE平面 BMD.(6 分)(2)如图,以 A 为坐标原点建立空间直角坐标系 A-xyz,23则 A(0,0,0),C(1,1,0),P(0,0,2),Q ,E(0,1,1),所以 = , =(-1,0,1),(12,0,1)(-12,-1,1)=(0,0,-2).设平面 CEQ 的法向量为 n=(x,y,z),由 n=0, n=0,得 -12-+=0,-+=0, 令 x=2,则 z=2,y=1,所以平面 CEQ 的一个法向量为 n=(2,1,2).设直线 PA 与平面 CEQ 所成角的大小为 ,于是sin = =,|进而求得 cos = .53所以直线 PA 与平

43、面 CEQ 所成角的余弦值为 .(15 分)535.(2019 届浙江温州九校联考,19)如图,将矩形 ABCD 沿 AE 折成二面角 D1-AE-B,其中 E 为CD 的中点,已知 AB=2,BC=1,BD1=CD1,F 为 D1B 的中点.(1)求证:CF平面 AD1E;(2)求 AF 与平面 BD1E 所成角的正弦值.解析 (1)证明:取 AD1的中点 G,连接 GF,GE,易得 GFEC,GF=EC,所以四边形 CEGF 是平行四边形,所以 CFGE.(4 分)又 GE平面 AD1E,CF平面 AD1E,所以 CF平面 AD1E.(6 分)24(2)解法一:取 AE 的中点 H,BC

44、的中点 M,连接 D1H,HM,D1M,因为 BD1=CD1,所以 D1MBC,又HMBC,D 1MHM=M,所以 BC平面 D1HM,所以 BCD 1H,又 D1HAE,所以 D1H平面 ABCE,因为 D1H平面 AD1E,所以平面 AD1E平面 ABCE.(8 分)又易知 BEAE,所以 BE平面 AD1E,(9 分)所以 BEAD 1,又 AD1D 1E,所以 AD1平面 BD1E,(10 分)所以AFD 1是 AF 与平面 BD1E 所成的角.(12 分)又 AD1=1,D1F= ,32所以 AF= ,(14 分)72所以 sinAFD 1= = .(15 分)1277解法二:建立如

45、图所示的空间直角坐标系 D-xyz,则 A(1,0,0),E(0,1,0),B(1,2,0),C(0,2,0),设 D1(x,y,z),由 1=1,1=1,1=1,即 (9 分)(-1)2+2+2=1,2+(-1)2+2=1,(-1)2+(-2)2+2=2+(-2)2+2,解得 (10 分)=12,=12,= 22,25所以 D1 ,F ,则 = ,(12,12, 22) (34,54, 24)(-14,54, 24)= ,易知 =(1,1,0),1(12,-12, 22)设平面 BD1E 的法向量为 n=(x1,y1,z1),由 得1=0,=0, 121-121+ 221=0,1+1=0, 令 x1=1,则 y1=-1,z1=- ,所以 n=(1,-1,- ).(12 分)2 2设 AF 与平面 BD1E 所成角的大小为 ,则 sin = = = .(1