1、1山东省济南外国语学校 2019 届高三数学上学期 12 月月考试题 文一、单选题1已知全集 ，函数 的定义域为 ，集合 ，则下列结论正确的是A B C D 2已知 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）17a16log7b17log6cabcA B C D cab3下列命题中错误的是A 命题“若 ，则 ”的逆否命题是真命题B 命题“ ”的否定是“ ”C 若 为真命题，则 为真命题D 使“ ”是“ ”的必要不充分条件4i 为虚数单位，A i B C 1 D 5已知函数 ，将 的图象向右平移 个单位，所得函数的部分图象如图所示，则 的值为（ ）A B C D 6已知点 分别在正方形 的边 上运
2、动，且 ，设 ， ，若，则 的最大值为（ ）2A 2 B 4 C D 7某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积 （单位：cm 3）是A 8 B C 16 D 168我国古代数学著作孙子算经中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩一，五五数之剩三，七七数之剩六，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理” 若正整数 N 除以正整数 m 后的余数为 n，则记为 Nn（modm） ，例如 102（mod4） 现将该问题以程序框图给出，执行该程序框图，则输出的 n 等于（ ）A 13 B 11 C 15 D 89已知数列 为等差数列，且 ，则 （ ）A B C D 10在
3、 中，内角 所对的边分别是 ，若 ，则3（ ）A B C D 11函数 在 上的图像大致为（ ）A B C D 12已知函数 ，若 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）A B C D 二、填空题13已知直线 与 互相垂直，且 经过点 ，则 _14曲线 在点 处的切线方程是_.15已知 是定义在 上的周期为 2 的奇函数，当 时 ，则 _。16已知实数 满足 则目标函数 的最大值为_三、解答题17设 ，命题 “方程 有实数根” ， 命题 “对任意实数， 恒成立”.（1）若 为真命题，求的最大值；（2）若 为真命题，且 为假命题，求的取值范围.418在 中，角 的对边分别是 ，且 .（）求角 的大小
4、；（）若 ，求 面积的最大值19已知首项为 的等差数列 中， 是 的等比中项.(1) 求数列 的通项公式；(2) 若数列 是单调数列，且数列 满足 ，求数列 的前项和 .20如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是正方形，点 是 的中点， ，且交 于点 ， .（1）求证： ；（2）若 ，求三棱锥 的体积.21在平面内，已知点 ，圆 C： ，点 P 是圆 C 上的一个动点，记线段 PA 的中点为 Q求点 Q 的轨迹方程；若直线 l： 与 Q 的轨迹交于 M， N 两点，是否存在直线 l，使得 为坐标原点，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由22已知函数 .ln1xfme（）当 时，求曲线
5、在点 处的切线方程；1yf1f，（）当 时，证明： .x参考答案1A【解析】【分析】先求函数 的定义域 ，再求集合 ，再结合选项判断即可.【详解】函数 的定义域为 , ,结合选项 正确，选 A.【点睛】本题考查了对数函数的定义域以及集合的运算，属基础题.2A【解析】由题易知： ，1716161717log7loglog6log0222abc， ， ， ， c故选：A点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊
6、值的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小0,13C【解析】【分析】由原命题与逆否命题真假性相同判断 A，由特称命题的否定形式判断 B,由复合命题的真假判断 C，由充分性必要性条件判断 D.【详解】A.“若 ，则 ”为真命题，则其逆否命题为真命题，A 正确.B.特称命题的否定需要将存在量词变为全称量词，再否定其结论，故 B 正确.C. 为真命题，包含 有一个为真一个为假和 均为真， 为真则需要两者均为真，故若 为真命题， 不一定为真.C 错.D.若 ， ，使 成立，反之不一定成立.故 D 正确。故本题选 C.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，充分必要条件的判断方法，全称命题与特称命题
7、的否定，以及逆否命题等基础知识，是基础题.4D【解析】【分析】复数的分子复杂，先化简，然后再化简整个复数，可得到结果【详解】，故选：D【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，i 的幂的运算，是基础题5A【解析】由题意得 = ,则,由图知 ,则 ,由 ,得 ,解得 的值为 ,故选 A.6C【解析】 ,又因为 , ,当且仅当 x=y 时取等号, ,即 的最大值为 ,故选 C.7B【解析】【分析】由题意三视图可知，几何体是等边圆柱斜削一半，求出圆柱体积的一半即可【详解】由三视图的图形可知，几何体是等边圆柱斜切一半，所求几何体的体积为： =8故选 B【点睛】本题是基础题，考查几何体的体积的求法，有三视图
8、推出几何体的形状是本题的关键8A【解析】【分析】按照程序框图的流程逐一写出前面有限项，最后得出输出的结果。【详解】第一步：第二步：第三步：第四步：最后： ，输出 的值，故选 A。【点睛】程序框图的题学生只需按照程序框图的意思列举前面有限步出来，观察规律，得出所求量与步数之间的关系式。9A【解析】分析：先化简 ，再求 .详解：由题得所以 故答案为：A点睛：（1）本题主要考查等差中项和简单三角函数求值，意在考查学生对这些知识的掌握水平. (2) 等差数列 中，如果 ,则 ,特殊地， 时，则 ， 是 的等差中项.10B【解析】【分析】根据三角形的面积公式求得 b 的值，再根据余弦定理求得 c 的值，
9、再根据正弦定理求解的值.【详解】，得 ，又根据余弦定理得：，即 ，所以 故选 B.【点睛】本题考查了三角形的面积公式，正弦定理，余弦定理的应用,考查了运算求解能力 ;熟练掌握公式和定理是解答本题的关键.11B【解析】【分析】利用函数 为偶函数及特殊值的函数值对选项逐一判断.【详解】因为函数 为偶函数，排除 A、D,又 = 7,排除 C,故选 B.【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是确定函数的单调性、奇偶性与极值，利用函数的奇偶性和导数是解决本题的关键12B【解析】【分析】由题意， 恒成立，等价于直线 始终落在函数 图象的下方，即直线夹在 过点 的切线与直线 之间，从而将问题转化为求切线斜率
10、.【详解】由题意可以作出函数 与 的图象，如图所示若不等式 恒成立，必有 ，其中是 过点 的切线斜率设切点为 ，因为 ，所以，解得 ，所以 ，故【点睛】该题考查利用导数研究函数的单调性和恒成立问题，考查创新意识和推理论证能力.13-2【解析】【分析】将点 代入直线 l1，可得 a,经检验可得直线 l1的斜率存在，由斜率之积等于1 建立方程，解方程求得 b 的值【详解】由于 经过点 ，可得 a=1又直线 与 互相垂直， 的斜率必存在且为又 ， ，解得 b=2， 故答案为-2.【点睛】本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于1，注意考虑斜率不存在的情况，属于基础题14 x y20【解析
11、】试题分析：根据导数的几何意义求出函数在 x=1 处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可解：y=2+3x 2y|x=1 =1而切点的坐标为（1，1）曲线 y=x32x 在 x=1 的处的切线方程为 xy2=0故答案为：xy2=015【解析】【分析】由函数的周期为 ，结合函数为奇函数，即可得解【详解】由于函数的周期为 ，故 ，由于函数为奇函数，所以.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性以及函数值的求解策略.将大的数，通过周期变为小的数来求解.属于基础题.1614【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，求出最优
12、解的坐标，代入目标函数得答案.【详解】作可行域如图所示，由图可知，当过点 时，取得最大值 14【点睛】该题考查的是线性规划问题，考查数形结合思想以及运算求解能力.17 （1） ；（2）【解析】【分析】（1）不等式左右变量分离，只需求解不等式 的解集即可.（2） 为真命题，且 为假命题,可知 p、q 真假情况是：一真一假，然后分类讨论求解 t 的范围.【详解】（1）若 为真命题, 则 , 解得 .故的最大值是 . （2）若命题 为真命题, 则 解得 .若 为真命题，且 为假命题，则“ 真 假”或“ 假 真” ，即或 ,解得 或故的取值范围是 .【点睛】本题考查了利用复合命题的真假判断求解参数的范
13、围、复合命题的真值表、分类讨论思想，题目综合性较强，属于中档题； 在解题中需要认真审题，仔细运算，防止一点错误而“满盘皆输”.18 （） ；（） .【解析】分析：（1）由正弦定理进行边角互化得 。（2）由余弦定理 结合基本不等式进行求解。详解：（）由正弦定理可得：从而可得： ，即又 为三角形内角，所以 ，于是又 为三角形内角，所以 （）由余弦定理： 得： ，所以 ，所以 .点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题。19 （1） 或 （2）【解析】试题分析：（1）由首项为 ， 是 的等比中项，即可求出公差，从而求出数列 的通项公式；（2）由（1）及数列
14、 是单调数列得 ，再根据 ，利用错位相减法即可求出试题解析：(1) 是 的等比中项， 是等差数列或 或(2)由(1)及 是单调数列知 得 点睛：错位相减法求和的注意事项：要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求解20 （1）见证明；（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证 AM 平面 SCD，再由线面垂直的性质定理可得 AM SC，已知 ，可证 ，即可证明 ；（2）M 是 SD 的中点，由（
15、1）三知：三棱锥 的体积，只需求解三棱锥 的体积.【详解】（1）证明：由已知，得 ，又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， .又 ， 是 的中点， ，又 ， 平面 ， 平面 ，又 平面 ，由已知 ，易得 平面 . 平面 ， .（2）解：由题意可知，在 中， .由 ，可得 ，则 ， ，故三棱锥 的体积.【点睛】解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质 ；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直
16、时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.21 （1） ；（2）存在直线 l，使得 ，此时 .【解析】【分析】设出点 Q，根据 Q 是 PA 中点的坐标，利用中点坐标公式求出 P 的坐标，根据 P 在圆上，得到 Q 轨迹方程；设 ， ，将 代入圆的方程，可得 ，由 ，得 k 的取值范围，利用根与系数的关系可得 的 k 值【详解】设 ，点 P 的坐标为 ，点 ，且 Q 是线段 PA 的中点， ，在圆 C： 上运动，即 ；点 Q 的轨迹方程为 ；设 ， ，将 代入方程圆的方程，即 ， 由 ，得 ， ，即 ，解得 舍，或 存在直线 l，使得 ，此时 【点睛】本题考查了直线与圆相交关系、一元二
17、次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、中垂线的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题22 （1） （2）见解析1yex【解析】试题分析：（）先代入 ，对 求导数，再算出 ， ，进而1mfx1ff可得曲线 在点 处的切线方程；（）先构造函数 ，yfx,f ln2xge再利用导数可得 的最小值， ，进而可证当 时， gfx试题解析：（）解：当 时， ，1mln1xfe所以 xfe所以 ， .1fe所以曲线 在点 处的切线方程为 yx1， 11yex即 .1yex（）证法一：当 时， .mln1lxxfee要证明 ，只需证明 .fxl20x以下给出三种思路证明 .ne思路 1：设 ，则 .
18、lxg1xge设 ，则 ，xhe20xhe所以函数 在 上单调递增1+（ ， ）因为 ， ，120ge0ge所以函数 在 上有唯一零点 ，且x+（ ， ） 0x1,2因为 时，所以 ，即0g01xe0ln当 时， ；当 时， 0,xg0,x0gx所以当 时， 取得最小值 xg故 0 01ln2gxex综上可知，当 时， .1mf思路 2：先证明 xeR设 ，则 h1xhe因为当 时， ，当 时， ，0x00hx所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增x所以 hx所以 （当且仅当 时取等号） 1e0x所以要证明 ，ln20xe只需证明 1下面证明 lx设 ，则 np1xpx当 时， ，
19、当 时， ，01x00p所以当 时，函数 单调递减，当 时，函数 单调递增x1xpx所以 px所以 （当且仅当 时取等号） ln101x由于取等号的条件不同，所以 l2xe综上可知，当 时， .1m1fx（若考生先放缩 ，或 、 同时放缩，请参考此思路给分！）lnel思路 3：先证明 .2x因为曲线 与曲线 的图像关于直线 对称，yelyxyx设直线 与曲线 ， 分别交于点 ， ，点 ， 到直线xt(0)elnAB的距离分别为 ， ，1d2则 AB其中 ， 12ted2lntd(0)t设 ，则 th()1the因为 ，所以 0t所以 在 上单调递增，则 ,0t所以 设 ，则 lngtt(0)1
20、tgt因为当 时， ；当 时， ，01t0gt所以当 时， 单调递减；当 时， 单调递增tlnt1lntt所以 g所以 2ln2td所以 122ABd综上可知，当 时， .m1fx证法二：因为 ，ln1xfme要证明 ，只需证明 .1x20以下给出两种思路证明 .lnxe思路 1：设 ，则 .gm1xgme设 ，则 xhe20xhe所以函数 在 上单调递增1+，因为 ， ，1220mmgee 10gme所以函数 在 上有唯一零点 ，且 .x0+， 0x,12因为 ，所以 ，即 0gx01xme0lnlxm当 时， ；当 时， .0,g0,0gx所以当 时， 取得最小值 xxgx故 00 01ln2ln2gmem综上可知，当 时， 1fx思路 2：先证明 ，且 xeRln1(0)x设 ，则 FxFe因为当 时， ；当 时， ，0x0xFx所以 在 上单调递减，在 上单调递增,所以当 时， 取得最小值 xFx0所以 ，即 （当且仅当 时取等号） 01ex由 ，得 （当且仅当 时取等号） 1xeRx所以 （当且仅当 时取等号） ln()再证明 l20xme因为 ， ，且 与 不同时取等号，011xelnx所以 ln2xe1mx0综上可知，当 时， fx考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性；3、利用导数研究函数的最值；4、不等式的证明
