1、10.4 随机事件的概率与古典概型,-2-,-3-,知识梳理,双击自测,1.概率与频率 (1)概率与频率的概念:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的 频数 ,称事件A出现的比例 为事件A出现的频率 . (2)概率与频率的关系:对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).,-4-,知识梳理,双击自测,2.事件间的关系与运算,-5-,知识梳理,双击自测,-6-,知识梳理,双击自测,3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围:0P(A)1 . (
2、2)必然事件的概率:P(A)=1 . (3)不可能事件的概率:P(A)=0 . (4)概率的加法公式:若事件A与事件B互斥,则P(AB)=P(A)+P(B) . (5)对立事件的概率:若事件A与事件B互为对立事件,则AB为必然事件.P(AB)=1 ,P(A)=1-P(B) .,-7-,知识梳理,双击自测,4.古典概型 (1)基本事件的特点 任何两个基本事件是互斥 的. 任何事件都可以表示成基本事件 的和(除不可能事件). (2)古典概型的定义 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古典概型. 有限性:试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 . 等可能性:每个基本事件出现的可能性相等
3、. (3)古典概型的概率公式P(A)= .,-8-,知识梳理,双击自测,1.(教材改编)袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则恰有1个白球和全是白球;至少有1个白球和全是黑球;至少有1个白球和至少有2个白球;至少有1个白球和至少有1个黑球. 在上述事件中,是对立事件的为( ) A. B. C. D.,答案,解析,-9-,知识梳理,双击自测,2.袋中共有15个除颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球,从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( ),答案,解析,-10-,知识梳理,双击自测,3.给出下列三个命题,其中正确的命题有 个. 有一大批产品,已知次品率
4、为10%,从中任取100件,必有10件是次品;做7次抛硬币的试验,结果3次出现正面,因此正面出现的概率是 ;随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率.,答案,解析,-11-,知识梳理,双击自测,4.口袋内有一些除颜色外完全相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率为0.6,那么摸出白球的概率是 .,答案,解析,-12-,知识梳理,双击自测,5.A,B,C三名学生按任意次序站成一排,A在边上的概率为 .,答案,解析,-13-,知识梳理,双击自测,自测点评 1.频率与概率有本质的区别,不可混为一谈.频率随着试验次数的改变而变化,概率却是一个常数
5、.当试验次数越来越多时,频率向概率靠近. 2.对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件. 3.一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,随机事件的频率与概率(考点难度) 【例1】 某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:,随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1
6、)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值; (2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值; (3)求续保人本年度平均保费的估计值.,解:(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2. 由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为 =0.55,故P(A)的估计值为0.55. (2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4. 由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为 =0.3,故P(B)的估计值为0.3.,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)由所给数据得,调查的200名续保人的平均保费
7、为0.85a0.30+a0.25+1.25a0.15+1.5a0.15+1.75a0.10+2a0.05=1.192 5a. 因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.,方法总结随机事件的频率与概率问题应注意: (1)理解频率与概率的区别:概率可看成频率在理论上的稳定值,频率随着试验次数的变化而变化,概率却是一个常数. (2)理解概率的基本性质:0P(A)1;P()=1,P()=0.,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“”表示购买,“”表示未购买.,-18-,考点一,考
8、点二,考点三,考点四,(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大?,解:(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为,(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为 =0.3.,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,所以,如果顾客购买了
9、甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.,-20-,考点一,考点二,考点三,考点四,互斥事件与对立事件(考点难度),【例2】 (1)从有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球,给出以下事件:两球都不是白球;两球中恰有一个白球;两球中至少有一个白球.其中与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是( ) A. B. C. D.,答案,解析,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A=抽到一等品,事件B=抽到二等品,事件C=抽到三等品,且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为( ) A.0.7 B.0
10、.65 C.0.35 D.0.3,答案,解析,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法:一是直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P( ),即运用逆向思维(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就较简便.,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练(2017浙江嘉兴模拟)围棋盒子中有多粒黑子和白子,已,意取出2粒恰好是同一色的概率是 .,答案,解析,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,古典概型的概率(考点
11、难度) 【例3】 (1)(2017山东高考)从分别标有1,2,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ),答案,解析,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( ),答案,解析,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数,这就需要正确列出基本事件,基本事件的表示方法有列举法、列表法和树形图法,具体应用时可根据需要灵活选择.,-
12、27-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是 .,答案,解析,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,古典概型的应用(考点难度) 【例4】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是( ),答案,解析,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,方法总结解决与古典概型交汇的问题时,把相关的知识转化为事件,列举基本事件,求出基本事件和随机事件的个数,然后利用古典概型的概率计算公式进行计算.,-30-,考点一,考点二,考点
13、三,考点四,对点训练(1)从3个红球、2个白球中随机取出2个球,则取出的2个球不全是红球的概率是( ),答案,解析,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,(2)某五所大学进行自主招生,同时向一所重点中学的五位学习成绩优秀,并在某些方面有特长的学生发出提前录取通知单.若这五名学生都乐意进这五所大学中的任意一所就读,则仅有两名学生录取到同一所大学(其余三人在其他学校各选一所不同大学)的概率是( ),答案,解析,-32-,易错警示忽视等可能性致误 古典概型的特点是基本事件等可能性,所以在利用古典概型计算概率时注意基本事件是否等可能性. 【典例】 先后抛掷2枚质地均匀的硬币,则出现“一枚正面、一枚
14、反面”的概率为 .,解析:基本事件为“正正”“正反”“反正”“反反”共4个,记事件A为“一枚正面、一枚反面”,则包含“正反”“反正”2个结果.,-33-,答题指导古典概型的特点之一就是每个基本事件出现的可能性相等,如果认为本例基本事件为“2枚正面”“2枚反面”“一枚正面、一枚反面”共3个,那么所求事件的概率为 .事实上事件“一枚正面、一枚反面”与“2枚正面”“2枚反面”不是等可能性的,即“一枚正面、一枚反面”不是基本事件,它包含“正反”“反正”两种情况,忽视了这一点就会出错.,-34-,对点训练设袋中有4个白球和2个黑球,现从袋中无放回地依次摸出2个球,则这2个球都是白球的概率为 .,答案,解
15、析,-35-,高分策略1.对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 2.利用集合方法判断互斥事件与对立事件: (1)若由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥; (2)事件A的对立事件 所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集. 3.若某一事件包含的基本事件较多,而它的对立事件包含的基本事件较少,则可用“正难则反”思想求解. 4.古典概型计算三步曲: 第一,试验是否是等可能的;第二,试验的基本事件有多少个;第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.,-36-,5.确定基本事件的方法: 列举法、列表法、树状图法. 6.较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式简化运算.,
