1、1第六讲 圆的综合专题选讲一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；（补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到
2、两条直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 dr 点 C在圆内；2、点在圆上 点 B在圆上；3、点在圆外 点 A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 dr 无交点；2、直线与圆相切 dr 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；drd=rr d四、圆与圆的位置关系外离（图 1） 无交点 dRr； 外切（图 2） 有一个交点 dRr；rddCBAO2相交（图 3） 有两个交点 Rrdr；内切（图 4） 有一个交点 ；内含（图 5） 无交点 ；周1rRd周3rRd五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直
3、于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理，简称 2 推 3 定理：此定理中共 5 个结论中，只要知道其中 2 个即可推出其它 3 个结论，即： AB是直径 CD E 弧 BC弧 D 弧 AC弧 D中任意 2 个条件推出其他 3 个结论。推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。即：在 O中， AB弧 C弧 D六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称 1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的 1 个
4、相等，则可以推出其它的 3 个结论，即： AOBDE； AB； CF； 弧 弧OE DCBAOC DA BFEDC BAO3七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即： AOB和 C是弧 AB所对的圆心角和圆周角 2OACB2、圆周角定理的推论：推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在 O中， C、 D都是所对的圆周角， CD推论 2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对弧是半圆，所对弦是直径。即：在 中， AB是直径 或 90 90 AB是直径推论 3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形
5、是直角三角形。即：在 C中， O AB是直角三角形或 90C注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等八、圆内接四边形CBAOD CBAOCB AOCB AOEDCBA4圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在 O中，四边形 ABCD是内接四边形 180 180 DAEC九、切线的性质与判定定理（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即： MNOA且 过半径 A外端， MN是 O的切线（2）性质定理
6、：切线垂直于过切点的半径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即： PA、 B是的两条切线 O平分 十一、补充：圆幂定理（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在 中，弦 AB、 CD相交于点 P， ABPCD（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在 O中，
7、直径 ， 2E（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在 中， PA是切线， B是割线， 2PACB（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。即：在 O中， 、 E是割线， DENM AOPBAO5十二、补充：两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图： 12O垂直平分 AB。即： 、 相交于 、 两点 12垂直平分十三、补充：圆的公切线两圆公切线长的计算公式：（1）公切线长： 12RtOC中，221ABOC；（2）外公切线长： 是半径之差；
8、 内公切线长： 2是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算（1）正三角形 在 O中 ABC是正三角形，有关计算在 RtBOD中进行：:1:32D；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在 RtAE中进行， :1:2AE：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在 tOB中进行， :3BO.BAO1 O2CO2O1BA6十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式： 180nRl；（2）扇形面积公式： 236Sln：圆心角 R：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 S：扇形面积2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图2S侧表 底 = 2rh（2）圆柱的体积： 2V（2）圆锥侧面展开图（1） S侧表
9、底 = 2Rr（2）圆锥的体积：13Vh典型例题真题再现：1(2008 年苏州第 18 题 3 分)如图AB 为O 的直径，AC 交O 于 E 点，BC 交O 于 D点，CD=BD，C=70 现给出以下四个结论： A=45； AC=AB： :AEB； CEAB=2BD 2其中正确结论的序号是（ ）A B C D2(2008 年苏州第 27 题 9 分)如图，在ABC 中，BAC=90，BM 平分ABC 交 AC 于M，以 A 为圆心，AM 为半径作 OA 交 BM 于 N，AN 的延长线交 BC 于 D，直线 AB 交 OA 于 P、K两点作 MTBC 于 T(1)求证 AK=MT； (2)求
10、证：ADBC；(3)当 AK=BD 时，S lBAO周周周周周周周周 C1D1DCBAB1RrC BAO7求证：BNACPM3（2010 年苏州第 10 题 3 分）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为(2，0)、(0，2)，C 的圆心坐标为(1，0)，半径为 1若 D 是C 上的一个动点，线段 DA 与 y 轴交于点E，则ABE 面积的最小值是（ ）A2 B1 C2D 2（第 3 题） （第 4 题）4（2010 年苏州 第 18 题 3 分）如图，已知 A、B 两点的坐标分别为 230， 、(0，2)，P 是AOB 外接圆上的一点，且AOP=45，则点 P 的坐标为 5（2010 年苏州第
11、 27 题 9 分）如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBCO 是 CD 边的中点，以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，交 BC 边于点 E过 E 作 EHAB，垂足为 H已知O 与 AB边相切，切点为 F(1)求证：OEAB；(2)求证：EH=12AB；(3)若 4BHE，求 C的值6（2011 年苏州第 16 题，3 分）如图，已知 AB 是O 的一条直径，延长 AB 至 C 点，使得 AC3BC，CD 与O 相切，切点为 D若 CD 3，则线段 BC 的长度等于 87（2011 年苏州第 18 题，3 分）如图，已知点 A 的坐标为（ 3，3），AB x 轴，垂足为 B，连接 OA，反比
12、例函数kyx（k0）的图象与线段 OA、AB 分别交于点 C、D若AB3BD，以点 C 为圆心，CA 的54倍的长为半径作圆，则该圆与 x 轴的位置关系是（填“相离”、“相切”或“相交”）8.（2011 年苏州市第 26 题 8 分）如图，已知 AB 是O 的弦，OB2，B30，C 是弦AB 上的任意一点（不与点 A、B 重合），连接 CO 并延长 CO 交于O 于点 D，连接 AD(1)弦长 AB 等于 （结果保留根号）；(2)当D20时，求BOD 的度数；(3)当 AC 的长度为多少时，以 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、O 为顶点的三角形相似？请写出解答过程9（2012 年苏州市
13、第 27 题满分 8 分）如图，已知半径为 2 的O 与直线 l 相切于点 A，点 P 是直径 AB 左侧半 圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为 C，PC 与O 交于点D，连接 PA、PB，设 PC 的长为 x(2x4)（1）当 x=52时，求弦 PA、PB 的长度；（2）当 x 为何值时 PDCD 的值最大？最大值是多少？910（2013 年苏州第 27 题 8 分）如图， Rt ABC 中， ACB=90，点 D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的 O 与边 AC 相切于点 E，连接 DE 并延长 DE 交 BC 的延长线于点 F（1）求证： BD=BF；（2）若 CF=
14、1， cosB= ，求 O 的半径11（2014苏州第 27 题 8 分）如图，已知 O 上依次有 A、 B、 C、 D 四个点， = ，连接 AB、 AD、 BD，弦 AB 不经过圆心 O，延长 AB 到 E，使 BE=AB，连接 EC， F 是 EC 的中点，连接 BF（1）若 O 的半径为 3， DAB=120，求劣弧 的长；（2）求证： BF= BD；（3）设 G 是 BD 的中点，探索：在 O 上是否存在点 P（不同于点 B），使得 PG=PF？并说明 PB 与 AE 的位置关系12（2015 年苏州第 26 题满分 10 分）如图，已知 AD 是 ABC 的角平分线， O 经过A、
15、 B、 D 三点，过点 B 作 BE AD，交 O 于点 E，连接 ED（1）求证： ED AC；10（2）若 BD=2CD，设 EBD 的面积为 1S， ADC 的面积为 2S，且21640S，求 ABC 的面积13（2016 年苏州第 26 题 10 分）如图， AB 是 O 的直径， D、 E 为 O 上位于 AB 异侧的两点，连接 BD 并延长至点 C，使得 CD=BD，连接 AC 交 O 于点 F，连接 AE、 DE、 DF（1）证明： E= C；（2）若 E=55，求 BDF 的度数；（3）设 DE 交 AB 于点 G，若 DF=4， cosB= ， E 是 的中点，求 EGED
16、的值14（2017 年苏州市第 27 题 10 分）如图，已知ABC 内接于O，AB 是直径，点 D 在O上，ODBC，过点 D 作 DEAB，垂足为 E，连接 CD 交 OE 边于点 F（1）求证：DOEABC；（2）求证：ODF=BDE；（3）连接 OC，设DOE 的面积为 S1，四边形 BCOD 的面积为 S2，若 = ，求 sinA 的值11模拟训练：1(2017 年常熟市本题满分 10 分)如图 1 , DE是 O的直径，点 A、 C是直径 DE上方半圆上的两点，且 AOC.连接 相交于点 F.点 B是直径 下方半圆上的任意一点，连接 B交 D于点 G，连接 B交 A于点 H.（1）
17、求 的度数;（2）证明: FH: ;（3）若弧 为半圆的三分之一，把 OC绕着点 旋转，使点 C、 O、 B在一直线上时，如图 2.证明 :1:2BG;若 的半径为 4，直接写出 FH的长.2（2018 年蔡老师预测第 26 题 10 分）如图，在 Rt ABC 中， A90，点 D、 E 分别在 AC、 BC 上，且 CDBC ACCE，以 E 为圆心， DE 长为半径作圆， E 经过点 B，与AB、 BC 分别交于点 F、 G（1）求证： AC 是 E 的切线；（2）若 AF4， CG5，求 E 的半径；若 Rt ABC 的内切圆圆心为 I，则 IE 3( 2017 年张家港26 题 10
18、 分)如图，已知 O是 ABCV的外接圆， AD是 O的直径，且 BDC.延长 A到 E，使得 D.(1)如图 1，若 25， 6C.求证: 是 O的切线;求 的长;AB CED（第 26 题）FG12(2)如图 2，连结 CD，交 AB于点 F，若 25D， 3CF，求 O的半径.4(2017 年工业园区区26 题 10 分) 如图，在ABC 中，CDAB，垂足为点 D以 AB 为直径的半O 分别与 AC、CD 相交于点 E、F，连接 AF、EF（1）求证：AFE=ACD；（2）若 CE=4，CB=4 ，tanCAB= ，求 FD 的长5(2017 年吴江区26 题 10 分) 如图，在 A
19、BC中， 90,D、 F是 AB边上的两点，以 DF为直径的 O与 BC相交于点 E，连接 F，过 作 GC于点 ，其中12OEA.(1)求证: 是 的切线;(2)若3sin5B， O的半径为 r,求 EHG的面积(用含 r的代数式表示).6(2017 年高新区26 题 10 分) 如图，在 O 的内接四边形 ACDB 中， AB 为直径，AC： BC1：2，点 D 为 AB的中点， BE CD 垂足为 E(1)求 BCE 的度数；(2)求证： D 为 CE 的中点； BCDEOA13(3)连接 OE 交 BC 于点 F，若 AB 10，求 OE 的长度7(2017 年吴中区26 题 10 分
20、) 如图， AB是 O的直径， BC是弦，过点 O作OEBC于 H交 O于 E，在 的延长线上取一点 D，使 AE， 与交于 F。(1)判断直线 D与 的位置关系，并给出证明；(2)当 的半径是 5， 21BF， 3E时，求 CE及 BH的长。8(2017 年相城区27 题 10 分) 如图，在 RtABCV中， 30, 8AC，以 为圆心，4 为半径作 C.(1)试判断 与 AB的位置关系，并说明理由;(2)点 F是 上一动点，点 D在 上且 2，试说明 FDV:;(3)点 E是 边上任意一点，在(2)的情况下，试求出1EA的最小值.9（2017 年立达 26 题 10 分）如图，在 ABC
21、 中， AB=AC，以 AB 为直径的 O 交 BC 边于点 D，交 AC 边于点 E.过点 D 作 O 的切线，交 AC 于点 F， 交 AB 的延长线于点 G，连接 DE.14（1）求证： BD=CD；（2）若 40G，求 AED 的度数.（3）若 BG=6， CF=2，求 O 的半径.10（2017 年太仓市26 题 10 分）如图， AB 是半圆 O 的直径， D 为 BC 的中点，延长 OD 交弧 BC 于点 E，点 F 为 OD 的延长线上一点且满足 OBC= OFC. (1)求证： CF 为 O 的切线；(2)若 DE=1， 30ABC求 O 的半径；求 sin BAD 的值(3
22、)若四边形 ACFD 是平行四边形，求 sin BAD 的值参考答案：真题再现：1【解答】解：连接 AD、BE，AB 为O 的直径，ADBD，AEBE，CD=BD，AC=AB，所以对C=ABC=70，BAC=180CABC=4045，所以错ABE=90BAC=5040， ，所以错C=ABC，CEB=ADB=90，CEBBDA， ，CEAB=CBBD=2BD 2，所以对，故选：COFEDCBA15【点评】本题考查直径所对的圆周角为直角，及等腰三角形的判定，相似三角形的判定2. 【考点】切割线定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质【专题】证明题【分析】（1）用角平分线的性质，圆的半径相等解题
23、；（2）根据图中相等角，找互余关系的角，从而推出垂直关系（3）连接 PN，MK，根据已知证明ABDCMT 再根据边之间的转化即可得到结论【解答】证明：（1）BM 平分ABC，BAC=90，MTBC，AM=MT又AM=AK，AK=MT（2）BM 平分ABC，ABM=CBMAM=AN，AMN=ANM又ANM=BND，AMN=BNDBAC=90，ABM+AMB=90CBM+BND=90BDN=90ADBC（3）连接 PN、KM。BNM 和 BPK 为A 的割线，BNBM=BPBK AK=BD，AK=MT，BD=MTADBC，MTBC，ADB=MTC=90C+CMT=90BAC=90，C+ABC=90
24、ABC=CMT在ABD 和CMT 中， ，ABDCMTAB=MCAK=AM，AB+AK=MC+AM即 BK=AC 【点评】本题考查了角平分线的性质，直角三角形两锐角互余，圆的割线定理，全等三角形的判定，综合性强163. 【考点】切线的性质；坐标与图形性质；三角形的面积；相似三角形的判定与性质【专题】压轴题；动点型【分析】由于 OA 的长为定值，若ABE 的面积最小，则 BE 的长最短，此时 AD 与O 相切；可连接 CD，在 RtADC 中，由勾股定理求得 AD 的长，即可得到ADC 的面积；易证得AEOACD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出AOE 的面积，进而可得出AOB 和
25、AOE 的面积差，由此得解【解答】解：若ABE 的面积最小，则 AD 与C 相切，连接 CD，则 CDAD；RtACD 中，CD=1，AC=OC+OA=3；由勾股定理，得：AD=2 ；S ACD = ADCD= ；易证得AOEADC， =（ ） 2=（ ） 2= ，即 SAOE = SADC = ；S ABE =SAOB S AOE = 22 =2 ；另解：利用相似三角形的对应边的比相等更简单！故选：C【点评】此题主要考查了切线的性质、相似三角形的性质、三角形面积的求法等知识；能够正确的判断出BE 面积最小时 AD 与C 的位置关系是解答此题的关键4. 【考点】解直角三角形；坐标与图形性质；圆
26、周角定理【专题】压轴题【分析】由于 P 点在第一象限，由勾股定理即可求得 P 点的坐标【解答】解：OB=2，OA=2 ，AB= =4，AOP=45，P 点横纵坐标相等，可设为 a，AOB=90，AB 是直径，RtAOB 外接圆的圆心为 AB 中点，坐标 C（ ，1），P 点在圆上，P 点到圆心的距离为圆的半径 2过点 C 作 CFOA，过点 P 作 PEOA 于 E 交 CF 于 F，CFP=90，PF=a1，CF=a ，PC=2，（a ） 2+（a1） 2=22，舍去不合适的根，可得 a=1+ ，P（1+ ，1+ ）故答案为：（ +1， +1）17【点评】此题主要考查了圆周角定理、勾股定理、
27、等腰直角三角形的判定和性质等知识的综合应用能力5. 【考点】切线的性质；平行线的性质；勾股定理等腰梯形的性质；相似三角形的判定与性质【专题】综合题【分析】（1）判断出B=OEC，根据同位角相等得出 OEAB；（2）连接 OF，求出 EH=OF= DC= AB（3）求出EHBDEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答【解答】（1）证明：在等腰梯形 ABCD 中，AB=DC，B=C，OE=OC，OEC=C，B=OEC，OEAB（2）证明：连接 OFO 与 AB 切于点 F，OFAB，EHAB，OFEH，又OEAB，四边形 OEHF 为平行四边形，EH=OF，OF= CD= AB，EH= AB（3）
28、解：连接 DECD 是直径，DEC=90，则DEC=EHB，又B=C，EHBDEC， = ， = ，设 BH=k，则 BE=4k，EH= = k，CD=2EH=2 k， = = = 【点评】本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题6. 解：CD 与O 相切，切点为 D，CD 2=BCAC，即 CD2=BC3BC=3，解得：BC=1187. 【考点】直线与圆的位置关系；反比例函数图象上点的坐标特征【专题】压轴题【分析】根据 D 点的坐标为（ ，1），得出反比例函数 y= 解析式，再根据 A 点坐标得出 AO 直
29、线解析式，进而得出两图象的交点坐标，进而得出 AC 的长度，再利用直线与圆的位置关系得出答案【解答】解：已知点 A 的坐标为（ ，3），AB=3BD，AB=3，BD=1，D 点的坐标为（ ，1），反比例函数 y= 解析式为：y= ，AO 直线解析式为：y=kx，3= k，k= ，y= x，直线 y= x 与反比例函数 y= 的交点横坐标为：x=1，C 点的横坐标为 1，纵坐标为： ，过 C 点做 CE 垂直于 OB 于点 E，则 CO=2，AC=2 2，CA 的 倍= ，CE= ， = 0，该圆与 x 轴的位置关系是相交故答案为：相交【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及反比例函数的性质
30、以及直线与反比例函数交点坐标的求法，综合性较强得出 AC 的长是解决问题的关键8. 【考点】圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【专题】几何综合题；数形结合【分析】（1）过点 O 作 OEAB 于 E，由垂径定理即可求得 AB 的长；（2）连接 OA，由 OA=OB，OA=OD，可得BAO=B，DAO=D，则可求得DAB 的度数，又由圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即可求得DOB 的度数；（3）由BCO=A+D，可得要使DAC 与BOC 相似，只能DCA=BCO=90，然后由相似三角形的性质即可求得答案【解答】解：（1）过点 O 作 OEAB 于 E，则 AE=BE= A
31、B，OEB=90，OB=2，B=30，BE=OBcosB=2 = ，AB=2 ；故答案为：2 ；19（2）连接 OA，OA=OB，OA=OD，BAO=B，DAO=D，DAB=BAO+DAO=B+D，又B=30，D=20，DAB=50，BOD=2DAB=100；（3）BCO=A+D，BCOA，BCOD，要使DAC 与BOC 相似，只能DCA=BCO=90，此时BOC=60，BOD=120，DAC=60，DACBOC，BCO=90，即 OCAB，AC= AB= 当 AC 的长度为 时，以 A、C、D 为顶点的三角形与以 B、C、0 为顶点的三角形相似【点评】此题考查了垂径定理，圆周角的性质以及相似
32、三角形的判定与性质等知识题目综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用9. 【考点】切线的性质；二次函数的最值；勾股定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质【专题】计算题【分析】（1）由直线 l 与圆相切于点 A，且 AB 为圆的直径，根据切线的性质得到 AB 垂直于直线 l，又 PC 垂直于直线 l，根据垂直于同一条直线的两直线平行，得到 AB 与 PC 平行，根据两直线平行内错角相等得到一对内错角相等，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出PCA 与PAB 相似，由相似得比例，将 PC 及直径 AB 的长代入求出 PA 的长，在直角三角形 PAB 中，由 AB 及 PA 的
33、长，利用勾股定理即可求出 PB 的长；（2）过 O 作 OE 垂直于 PD，与 PD 交于点 E，由垂径定理得到 E 为 PD 的中点，再由三个角为直角的四边形为矩形得到 OACE 为矩形，根据矩形的对边相等，可得出 EC=OA=2，用PCEC 的长表示出 PE，根据 PD=2PE 表示出 PD，再由 PCPD 表示出 CD，代入所求的式子中，整理后得到关于 x 的二次函数，配方后根据自变量 x 的范围，利用二次函数的性质即可求出所求式子的最大值及此时 x 的取值【解答】解：（1）O 与直线 l 相切于点 A，且 AB 为O 的直径，ABl，又PCl，ABPC，CPA=PAB，AB 是O 的直
34、径，APB=90，又 PCl，PCA=APB=90，PCAAPB， = ，即 PA2=PCAB，20PC= ，AB=4，PA= = ，RtAPB 中，AB=4，PA= ，由勾股定理得：PB= = ；（2）过 O 作 OEPD，垂足为 E，PD 是O 的弦，OEPD，PE=ED，又CEO=ECA=OAC=90，四边形 OACE 为矩形，CE=OA=2，又 PC=x，PE=ED=PCCE=x2，PD=2（x2），CD=PCPD=x2（x2）=x2x+4=4x，PDCD=2（x2）（4x）=2x 2+12x16=2（x3） 2+2，2x4，当 x=3 时，PDCD 的值最大，最大值是 2【点评】考查
35、切线的性质，平行线的性质，矩形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，以及二次函数的性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键10. （1）解：连接 OB， OD， DAB=120， 所对圆心角的度数为 240， BOD=120， O 的半径为 3，劣弧 的长为： 3=2 ；（2）证明：连接 AC， AB=BE，点 B 为 AE 的中点， F 是 EC 的中点， BF 为 EAC 的中位线， BF= AC， = ， + = + ， = ， BD=AC， BF= BD；（3）解：过点 B 作 AE 的垂线，与 O 的交点即为所求的点 P， BF 为 EAC 的中位线， BF AC，
36、 FBE= CAE， = ， CAB= DBA，由作法可知 BP AE， GBP= FBP， G 为 BD 的中点， BG= BD， BG=BF，在 PBG 和 PBF 中， PBG PBF（ SAS）， PG=PF2111. （1）证明： AD 是 ABC 的角平分线， BAD= DAC， E= BAD， E= DAC， BE AD， E= EDA， EDA= DAC， ED AC；（2）解： BE AD， EBD= ADC， E= DAC， EBD ADC，且相似比 k= ， =k2=4，即 s1=4s2， 16 S2+4=0，16 16 S2+4=0，即 =0， S2= ， = = =
37、=3， S ABC= 12. 【解答】（1）证明：连接 AD， AB 是 O 的直径， ADB=90，即 AD BC， CD=BD， AD 垂直平分 BC， AB=AC， B= C，又 B= E， E= C；（2）解：四边形 AEDF 是 O 的内接四边形， AFD=180 E，又 CFD=180 AFD， CFD= E=55，又 E= C=55， BDF= C+ CFD=110；（3）解：连接 OE， CFD= E= C， FD=CD=BD=4，在 Rt ABD 中， cosB= ， BD=4， AB=6， E 是 的中点， AB 是 O 的直径， AOE=90， AO=OE=3， AE=3
38、 ， E 是 的中点， ADE= EAB， AEG DEA， = ，即 EGED=AE2=182213【解答】（1）证明：AB 是O 的直径，ACB=90，DEAB，DEO=90，DEO=ACB，ODBC，DOE=ABC，DOEABC；（2）证明：DOEABC，ODE=A，A 和BDC 是 所对的圆周角，A=BDC，ODE=BDC，ODF=BDE；（3）解：DOEABC， ，即 SABC =4SDOE =4S1，OA=OB， ，即 SBOC =2S1， ， ， ，即 ， 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，圆周角定理，平行线的性质，三角形的面积等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的
39、关键模拟训练：1232（1）证明： CDBC ACCE， CDCA CECB DCE ACB CDE CAB， EDC A90 ， ED AC又点 D 在 O 上， AC 与 E 相切于点 D 4 分（2）过点 E 作 EH AB，垂足为 H， BH FH在四边形 AHED 中， AHE A ADE90，四边形 AHED 为矩形， ED HA， ED AB， B DEC设 O 的半径为 r，则 EB ED EG r， BH FH r4， EC r5在 BHE 和 EDC 中， B DEC， BHE EDC， BHE EDC ，即 r20即 E 的半径为 208 分BHED BEEC r 4r
40、rr 5（3） 10 分1303【考点】圆的综合题【分析】（1）连接 OB，由条件可求得EBD=ABO，再利用圆周角定理可求得EBD+OBD=90，可证明 BE 是O 的切线；利用圆内接四边形的性质可求得BDE=ACB，可证明ACBBDE，利用相似三角形的性质可求得 DE 的长；（2）延长 DB、AC 交于点 H，可证得ABDABH，可求得 HB，再利用DCHDBF，可AB CED（第 26 题）FGH24求得 DF 的长，设O 的半径为 r，则 AD=AH=2r，在 RtDCH 中可求得 CH=4，在 RtADC 中，AD=2r，CD=8，AC=2r4，由勾股定理可得到关于 r 的方程，可求
41、得圆的半径【解答】解：（1）如图 1，连接 OB，BD=BC，CAB=BAD，EBD=CAB，BAD=EBD，AD 是O 的直径，ABD=90，OA=BO，BAD=ABO，EBD=ABO，OBE=EBD+OBD=ABD+OBD=ABD=90，点 B 在O 上，BE 是O 的切线；四边形 ACBD 是圆的内接四边形，ACB=BDE，且EBD=CAB，ACBBDE， = ，即 = ，解得 DE= ；（2）如图 2，延长 DB、AC 交于点 H，AD 为O 的直径，ABD=ABH=90，BD=BC，DAB=HAB，在ABD 和ABH 中ABDABH（ASA），BD=HB=2 ，DCH=FBD=90，
42、DCHDBF， = ，即 = ，解得 DF=5，设O 的半径为 r，则 AD=AH=2r，在 RtDCH 中，CH= = =4，AC=2r4，在 RtACD 中，由勾股定理可得 AD2=AC2+CD2，（2r） 2=（2r4） 2+82，解得 r=5，即O 的半径为 5【点评】本题为圆的综合应用，涉及切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、圆圆角定理、全等三角形的判定和性质、方程思想等知识在（1）中证明ACBBDE 是解题的关键，在（2）中构造三角形全等求得 DF 的长是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中4【考点】圆周角定理；解直角三角形【分析】（1）连接 BE，由 AB 是
43、O 的直径，得到AEB=90，根据余角的性质得到25ABE=ACD，等量代换即可得到结论；（2）连接 OF，根据勾股定理得到BE= =8，根据三角函数的定义得到 sinCAB= ，根据勾股定理即得结论【解】（1）证明：连接 BE，AB 是O 的直径，AEB=90，CAD+ABE=90，CDAB，CDA=90，CAD+ACD=90，ABE=ACD，ABE=AFE，AFE=ACD；（2）连接 OF，BEC=90，BE= =8，tanCAB= ，sinCAB= ，AC=AE+CE=10，CD=8，AD=6，OD=ADOA=1，OF=5，DF= =2 【点评】本题考查了圆周角定理，解直角三角形，正确的
44、作出辅助线是解题的关键5【考点】切线的判定【分析】（1）首先连接 OE，由在ABC 中，C=90，FGBC，可得 FGAC，又由OFE= A，易得 EF 平分BFG，继而证得 OEFG，证得 OEBC，则可得 BC 是O 的切线；（2）由在OBE 中，sinB= ，O 的半径为 r，可求得 OB，BE 的长，然后由在BFG中，求得 BG，FG 的长，则可求得 EG 的长，易证得EGHFGE，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，求得答案【解答】（1）证明：连接 OE，在ABC 中，C=90，FGBC，BGF=C=90，FGAC，OFG=A，OFE= OFG，OFE=EFG，OE=OF，OFE=OEF，OEF=EFG，OEFG，OEBC，BC 是O 的切线；（2）解：在 RtOBE 中，sinB= ，O 的半径为 r，OB= r，BE= r，BF=OB+OF= r，FG=BFsinB= r，BG= = r，EG=BGBE= r，S FGE = EGFG= r2，EG：FG=1：2，26BC 是切线，GEH=EFG，EGH=FGE，EGHFGE，
