1、 三角函数概念图像性质 第 1页 第 3 讲 三角函数概念图像性质 一、命题特点： 分析近几年的高考试题，有关三角函数的内容不低于一大一小（有时三小题） ，占 15-20 分，试 题内容主要有两方面：其一是考查三角函数的性质和图像变换，尤其是三角函数的最大值、最小值和 周期；其二是考查三角函数式的恒等变形。预计今后的考试中这部分的题量和难度都会下调，但是三 角函数是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题 的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。 二、知识热点和复习策略 1、任意角的三角函数定义，是由角的终边上一点的坐标(x, y)及该点离开原点的距
2、离(r 0)间 的比值确定的，这就给出了三角问题与代数问题互相转化的一个方法。单位圆中的三角函数线是用有 向线段表示三角函数值，这就给出了三角问题与几何问题互相转化的一个方法。 2、三角函数是高中数学学习中性质最完整的函数，结合图像掌握三角函数的定义域、值域、奇 偶性、单调性、最大值、最小值及其周期性。 3、三角函数的图象具有对称性。正弦、余弦函数的图象与 x 轴的交点都是图象的对称中心，经 过图像上的最大及最小值点且与 y轴平行的直线都是图像的对称轴。正切、余切函数图象与 x 轴交点 及图像的渐近线与 x 轴的交点，都是它们图像的对称中心，不存在对称轴。 4、会由 yAsin（ x ）的解析
3、式确定函数的奇偶性、单调区间、周期、最值及获得最值的条 件及其与函数 y=sinx 的图像变换关系，会由三角函数的图像求其解析式。 5、考查由三角函数式确定的函数的周期性、单调性，应先将解析式化为一个三角函数的形式。 利用正、余弦函数的值域及换元法，将三角函数转化为代数函数，是确定值域的常用方法。 三、典型例题： 例 1求下列函数的定义域： （1） 21 21 cos lg(s i n ) x y x = +（2） 21 tan sin x y x = 第 2页 例 2求下列函数的值域： （1） 21 21 sin sin x y x + = （2） 2 2 csc cot csc cot x
4、x y xx = +例 3如果函数 ( ) cos 2 yx 3 的图像关于点 4 3 ，0 中心对称，那么| 的最小值为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 例 4已知 a是实数，则函数 ()1 s i n fxaa x =+ 的图象不可能 是 （ ） 例 5 “ 2( ) 6 kkZ =+ ”是“ 1 cos 2 2 = ”的（ ） A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 第 3页 例 6将函数 sin 2 yx = 的图象向左平移 4 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析式是 （ ）. A cos 2 yx = B 2 2cos
5、y x = C ) 4 2 sin( 1 + + = x y D 2 2sin y x = 例 7已知函数 () f x =Acos( x + )的图象如图所示， 2 () 23 f = ，则 (0) f =（ ） A 2 3 B 2 3C 1 2D 1 2例 8已知偶函数 () f x 在区间 0, ) + 单调增加，则满足 (2 1) fx 1 () 3 f 的 x 取值范围是（ ） A （ 1 3 ， 2 3 ） B 1 3 ， 2 3 ） C （ 1 2 ， 2 3 ） D 1 2 ， 2 3 ） 例 9将函数 ysin x（ 0）的图象按向量 0 6 , a = r 平移，平移后的图
6、象如图所示，则平移 后的图象所对应函数的解析式是（ ） A 6 sin( ) yx =+B 6 sin( ) yx =C 2 3 sin( ) yx =+D 2 3 sin( ) yx = 第 4页 例 10 （1）取何值时，函数 1 3 2 () c o s ( ) fx x = + 分别为奇函数和偶函数； （ 2）求函数 2 3 43 () s i n ( ) x fx = 的单调区间，图象对称轴方程及对称中心坐标。 例 11 （2010 湖北理数） 已知函数 f (x)= 11 cos( )cos( ), ( ) sin 2 3324 xx g xx + = （）求函数 f (x)的最小
7、正周期； （）求函数 h（x）=f (x)g (x)的最大值，并求使 h (x)取得最大值的 x的集合。 例 12已知函数 f (x)=Asin( x+ )+C 在一个周期内图像（如 图） ，其中 A 0, 0 ，| | ， （1）试求 f (x)的表达式。 （2）求 f (x)的图像关于直线 x= 2 对 称的图像的函数表达式。 第 5页 例 13已知函数 f (x)=Asin x+Bcos x （其中 A、B、 是实常数，且 0)的最小正周期为 2，并 当 1 3 x = 时，f (x)取得最大值 2。 （1）求函数 f (x)的表达式； （2）在闭区间 21 23 44 , 上是否存在
8、f (x)的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程。如果不存在， 说明理由。 例 14 （2010 北京理数）已知函数 () f x 2 2cos2 sin 4cos x xx =+ 。 （）求 () 3 f = 的值； （）求 () f x 的最大值和最小值。 第 6页 例 15 （2010 天津理数）已知函数 2 ( ) 2 3 sin cos 2cos 1( ) fxx xx x R =+ （）求函数 () f x 的最小正周期及在区间 0, 2 上的最大值和最小值； （）若 00 6 () , , 54 2 fx x = ，求 0 cos 2x 的值。 例 16 （2010 广东理数）已知
9、函数 () s i n ( 3 ) ( 0 , ( , ) , 0 fx A x A x = + + 在 12 x = 时 取得最大值 4 (1 ) 求 () f x 的最小正周期； (2) 求 () f x 的解析式； (3) 若 f ( 2 3 + 12 )= 12 5 ,求 sin 第 7页 综合练习： 一、选择题 1若函数 () s i n2 c o s 2 fxx ax =+ 的图像关于直线 8 x = 对称，那么 a等于（ ） A 2 B 2 C 1 D 1 2为得到函数 cos 2 3 yx =+ 的图像，只需将函数 sin 2 yx = 的图像（ ） A向左平移 5 12 个长
10、度单位 B 向右平移 5 12 个长度单位 C向左平移 5 6 个长度单位 D 向右平移 5 6 个长度单位 3若动直线 x a = 与函数 () s i n fxx = 和 () c o s gx x = 的图像分别交于 M N ， 两点，则 MN 的最大 值为（ ） A1 B 2 C 3 D 2 4 将函数 3sin( ) yx = 的图象 F 按向量(, 3 ) 3 平移得到图象 F ,若 F 的一条对称轴是直线 4 x = , 则 的一个可能取值是（ ） A 12 5B 12 5 C 12 11D 11 12 5函数 2 () s i n 3 s i nc o s fxxxx =+ 在
11、区间 , 42 上的最大值是（ ） A1 B 13 2 +C 3 2D 1+ 3 第 8页 6函数 f (x)= sin 1 32 c o s 2 s i n x x x (02 x ) 的值域是（ ） A- 2 ,0 2 B-1,0 C- 2,0 D- 3,0 7若关于 x的不等式 a x x + + 2 cos 1 sin 有解，则实数 a的最大值是（ ） A 4 3 B 4 3C 3 4 D 3 48在半径为 r 的圆中，一扇形的周长等于半圆的长，则扇形的圆心角为 ；该扇形的面 积 。 9已知 34 sin ,cos 25 2 5 = ，则 是第 象限角。 10设函数 f (x) = cos (2x+ 3 )+sin 2 x. (1) 求函数 f (x)的最大值和最小正周期. (2) 设 A,B,C 为 ABC 的三个内角，若 cosB= 3 1 ， 1 () 24 c f = ，且 C 为锐角，求 sinA.
