1、1第二讲 数列求和及综合应用(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.在数列a n中,a n+1=2an-1,a3=2,设其前 n项和为 Sn,则 S6= ( )A. B. C.15 D.27【解析】选 A.因为 an+1=2an-1,所以 an+1-1=2(an-1),所以a n-1是以 2为公比的等比数列,所以 an-1=(a1-1)2n-1,因为 a3=2,所以 a1= ,所以 an=1+2n-3,所以 S6=6+ = .542.(2018广东省化州市二模)已知有穷数列a n中,n=1,2,3,729,且 an=(2n-1)(-1)n+1,从数列a n中依次取出 a
2、2,a5,a14,构成新数列b n,容易发现数列b n是以-3 为首项,-3为公比的等比数列,记数列a n的所有项的和为 S,数列b n的所有项的和为 T,则 ( )A.ST B.S=TC.ST.3.已知数列a n的前 n项和为 Sn,若 a1为函数 f(x)= sin x+cos x(xR)的最大值,且满足 an-anSn+1= -anSn,则数列 an的前 2 018项之积 A2 018= ( )12A.1 B. C.-1 D.2122【解析】选 A.因为 a1为函数 f(x)= sin x+cos x(xR)的最大值,所以 a1=2,因为 an-3anSn+1= -anSn,所以(S n
3、+1-Sn)an=an-1,所以 an+1= ,所以 a2= ,a3=-1,a4=2所以数12 -1 12列a n是周期数列,周期为 3,所以a n的前 2018项之积 A2018=a1a2a3a2 018=(-1)6721=1.4.(2018 河南省六市联考)已知数列a n满足: an+1+(-1)n+1an=2,则其前 100项的和为 ( )A.250 B.200 C.150 D.100【解析】选 D.因为 an+1+(-1)n+1an=2,所以 a1+a2=2,a3+a4=2,a5+a6=2,a99+a100=2,所以其前100项和为 250=100.5.已知数列a n满足 a1=1,
4、an+1-an=4n-2(nN *),则使 an163 的正整数 n的最小值为 ( )A.8 B.10 C.12 D.14【解析】选 B.由题意得 an+1-an=4n-2,则当 n2 时,a 2-a1=2,a3-a2=6,an-an-1=4n-6,这 n-1个式子相加,就有 an-a1= =2(n-1)2,(-1)(2+4-6)2即 an=2(n-1)2+1=2n2-4n+3,当 n=1时,a 1=1也满足上式,所以 an=2n2-4n+3,由 an163 得 2n2-4n+3163,即 n2-2n-800,解得 n10 或 n-8,所以 n10,即使 an163 的正整数 n的最小值为 1
5、0.二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.已知数列a n的通项公式为 an= (nN *),记数列a n的前1(+1)+1n项和 Sn,则在 S1,S2,S2 017中,有_个有理数. 【解析】依题意,a n= =1(+1)+13=1+1(+1+)= - ,故 Sn=a1+a2+an=1- ,因为 441时,2a n+Sn-1-2=0,两式相减得 2an+1-2an+Sn-Sn-1=0,即 2an+1-2an+an=0,an+1= an,又当 n=1时,2a 2+S1-2=2a2+a1-2=0,a2= = a1,12 1212所以a n是首项 a1=1,公比 q= 的等比数列,数列a n的
6、通项公式为 an= .12(2)由(1)知,b n=n = ,2则 Tn=1+ + + ,24342Tn= + + + ,14 14两式相减得Tn=1+ + + - = - = - ,34 14 14-1 431-(14)所以 Tn= - .11.设等差数列a n的公差为 d,点(a n,bn)在函数 f(x)=2x的图象上(nN *).(1)若 a1=-2,点(a 8,4b7)在函数 f(x)的图象上,求数列a n的前 n项和 Sn.6(2)若 a1=1,函数 f(x)的图象在点(a 2,b2)处的切线在 x轴上的截距为 2- ,求数列的前 n项和 Tn.【解析】(1)点(a n,bn)在函
7、数 f(x)=2x的图象上,所以 bn= ,又等差数列a n的公差为 d,所以 = = =2d,+12+12 2+1-因为点(a 8,4b7)在函数 f(x)的图象上,所以 4b7= =b8,所以 2d= =4d=2.又 a1=-2,所28 87以 Sn=na1+ d=-2n+n2-n=n2-3n.(2)由 f(x)=2xf(x)=2 xln 2,函数 f(x)的图象在点(a 2,b2)处的切线方程为 y-b2=( ln 2)(x-a2),22所以切线在 x轴上的截距为 a2- ,从而 a2- =2- ,故 a2=2,从而 an=n,bn=2n, = ,Tn= + + + ,12Tn= + +
8、 + ,所以Tn= + + + + -12 12 127=1- - =1- ,12 +22+1故 Tn=2- .(20分钟 20 分)1.(10分)设数列a n满足 a1=0且 - =1.(1)求a n的通项公式.(2)设 bn= ,记 Sn= bk,证明:S n1.【解析】(1)由题设 - =1,即 是公差为 1的等差数列 . 11-又 =1,故 =n.所以 an=1- .11-1 1(2)由(1)得 bn= = = - ,Sn= bk=1- +1 1 1+1=1- 1.1+12.(10分)已知数列a n的前 n项和是 Sn,且 Sn+ an=1(nN *).13(1)求数列a n的通项公式
9、.(2)设 bn=log4(1-Sn+1)(nN *),Tn= + + ,求使 Tn 成立1 0072 016的最小的正整数 n的值.8【解析】(1)当 n=1时,a 1=S1,由 S1+ a1=1a1= ,13 34当 n2 时,S n+ an=1, 13Sn-1+ an-1=1,13-,得 an+ an- an-1=0,即 an= an-1,13 13 14所以a n是以 为首项, 为公比的等比数列.34 14故 an= =3 (nN *).(2)由(1)知 1-Sn+1= an+1= ,13bn=log4(1-Sn+1)=log4 =-(n+1),= = - ,Tn= + += + +(12-13)(13-14) ( 1+1- 1+2)= - ,12- n2 014,12 1 0072 016故使 Tn 成立的最小的正整数 n的值为 2 014.1 0072 016
