1、1专题二 万有引力定律及应用主题深化提升考点一 天体质量或密度的计算【对点训练】1. 据报道,天文学家新发现了太阳系外的一颗行星。这颗行星的体积是地球的 a 倍,质量是地球的 b 倍。已知近地卫星绕地球运行的周期约为 T,引力常量为 G。则该行星的平均密度为2A. B. C. D.32【解析】选 C。万有引力提供近地卫星绕地球运行的向心力:G =m ,且地 2 422 地 = ,联立得 地 = 。而 = = ,因而 星 = 。星地星 地星 地 2.观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动,发现每经过时间 t 通过的弧长为 l,该弧长对应的圆心角为 (弧度),如图所示。已知引力常量为 G,“嫦娥三号”
2、的环月轨道可近似看成是圆轨道,由此可推导月球的质量为 ( )A.2 B.32C. D.【解析】选 B。 “嫦娥三号”在环月轨道上运动的线速度为:v= ,角速度为 = ;根据线速度和角速度的关系式:v=r,可得其轨道半径 r= = ;“嫦娥三号”做匀速圆周运动,万有引力提供向心力, =mv,解得 M= ,故选 B。32【补偿训练】土星周围有美丽壮观的“光环”,组成环的颗粒是大小不等、线度从 1 m 到 10 m 的尘埃、岩石,类似于卫星,它们与土星中心的距离从 7.3104 km 延伸到 1.4105 km。已知环的外缘颗粒绕土星做圆周运动的周期约为 14 h,引力常量为 6.6710-11 N
3、 m2/ kg2,则3土星的质量约为(不考虑环中颗粒间的相互作用) ( )A.9.01016 kg B.6.41017 kgC.9.01025 kg D.6.41026 kg【解析】选 D。对环外缘颗粒,由万有引力提供向心力,有 G =m r,解得 M=2 (2)2=6.41026 kg,故选项 D 正确。考点二 卫星的变轨问题1.变轨过程:2.变轨过程分析:(1)加速变轨:当 v 增大时,所需向心力 m 增大,即万有引力不足以提供向心力,卫星将做离心运动,脱离原来的圆轨道,轨道半径变大,克服引力做功,重力势能增加。但卫星一旦进入新的轨道运行,由 v= 知其运行速度要减小,但重力势能、机械能均
4、增加。(2)减速变轨:当卫星的速度突然减小时,向心力 减小,即万有引力大于卫星所需的向心力,因此卫星将做向心运动,同样会脱离原来的圆轨道,轨道半径变小,引力做正功,重力势能减少,进入新轨道运行时由 v= 知,运行速度将增大,但重力势能、机械能均减少。(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)(3)加速度分析:卫星绕过不同轨道上的同一点(切点)时,其加速度大小关系可用F= =ma 比较得出。【对点训练】41.(多选)目前人类正在积极探索载人飞船登陆火星的计划,假设一艘飞船绕火星运动时,经历了由轨道变到轨迹再变到轨道的过程,如图所示,下列说法中正确的是 ( )A.飞船沿不同轨道经过 P 点时的加速度均
5、相同B.飞船沿不同轨道经过 P 点时的速度均相同C.飞船在轨道上运动时的机械能小于在轨道上运动时的机械能D.飞船在轨道上由 Q 点向 P 点运动时,速度逐渐增大,机械能也增大【解析】选 A、C。根据万有引力定律可知,飞船沿不同轨道经过 P 点时所受火星的万有引力相同,由牛顿第二定律可知,飞船沿不同轨道经过 P 点时的加速度均相同,故选项 A 正确;飞船从外层轨道进入内层轨道时需要减速,所以飞船沿不同轨道经过 P 点时的速度满足v v v ,且飞船在轨道上运行时的机械能小于在轨道上运行时的机械能,故选项 B 错误,选项 C 正确;飞船在同一轨道上运行时,只有万有引力做功,其机械能守恒,故选项 D
6、 错误。2. “神舟十一号”载人航天飞船入轨两天后,与“天宫二号”进行对接,假定对接前,“天宫二号”在图所示的轨道 3 上绕地球做匀速圆周运动,而“神舟十一号”在图中轨道 1 上的P 点瞬间改变其速度大小,使其运行的轨道变为椭圆轨道 2,并在椭圆轨道 2 与轨道 3 的切点与“天宫二号”进行对接,图中 P、Q、K 三点位于同一直线上,则 ( )A.“神舟十一号”在 P 点轨道 1 的加速度大于轨道 2 的加速度B.如果“天宫二号”位于 K 点时“神舟十一号”在 P 点处变速,则两者第一次到达 Q 点即可对接C.“神舟十一号”沿椭圆轨道 2 从 P 点飞向 Q 点过程中机械能不断增大D.为了使对
7、接时两者的速度相同,“神舟十一号”到达 Q 点时应稍微加速【解析】选 D。根据 a= 可知,“神舟十一号”在 P 点轨道 1 的加速度等于轨道 2 的加25速度,选项 A 错误;由图示可知,在轨道 3 上运行时的周期大于在轨道 2 上运行时的周期,如果“天宫二号”位于 K 点时“神舟十一号”在 P 点处变速,“神舟十一号”要比“天宫二号”早到 Q 点,因此两者第一次到达 Q 点时不能对接,故 B 错误;“神州十一号”沿椭圆轨道 2从 P 点飞向 Q 点过程中只有万有引力做功,其机械能守恒,故 C 错误;为了使对接时两者的速度相同,“神舟十一号”到达 Q 点时应稍微加速,使两者速度相等,然后实现
8、对接,选项 D 正确。【补偿训练】1.“神舟十一号”飞船发射升空,成功入轨后,经过 5 次远距离导引控制之后,飞船到达“天宫二号”后下方 52 公里左右的位置(如图所示),两个航天器建立空空通信,转入到自主控制段。然后,“神舟十一号”飞船与“天宫二号”自动交会对接成功,开始在太空中的连体飞行。与前几次交会对接任务不同,此次交会对接轨道和返回轨道高度比之前增加了 50 公里,距地面高度为 393 公里。下列说法正确的是 ( )A.“神舟十一号”飞船从图示状态下要与“天宫二号”对接,须向后喷气B.在图示状态时,“天宫二号”的向心加速度大于“神舟十一号”的向心加速度C.在图示状态时,“天宫二号”做匀
9、速圆周运动的周期小于“神舟十一号”的周期D.“天宫二号”和“神舟十一号”组合体绕地球做匀速圆周运动的速度大于7.9 km/s【解析】选 A。根据“天宫二号”和“神舟十一号”绕地球做圆周运动所需要的向心力是由地球对它们的万有引力提供的,则有 G =m r=m =ma,即 v= ,T=2 (2)2 ,a=G ,由此可知:r 越大,v 越小,T 越大,a 越小,故 B、C、D 错误;“神舟十一423号”飞船从图示状态下要与“天宫二号”对接,需加速做离心运动进入高轨道,才能实现对接,选项 A 正确。2.已知,某卫星在赤道上空轨道半径为 r1的圆形轨道上绕地球运行的周期为 T,卫星运动方向与地球自转方向
10、相同,赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方。假设某6时刻,该卫星如图所示,在 A 点变轨进入椭圆轨道,近地点 B 到地心距离为 r2。设卫星由 A到 B 运动的时间为 t,地球自转周期为 T0,不计空气阻力。则 ( )A.T= T038B.t=C.卫星在图中椭圆轨道由 A 到 B 时,机械能增大D.卫星由图中圆轨道进入椭圆轨道过程中,机械能不变【解析】选 A。赤道上某城市的人每三天恰好五次看到卫星掠过其正上方,知三天内卫星转了 8 圈,则有 3T0=8T,解得 T= T0,故选项 A 正确;根据开普勒第三定律知, =38 (1+22 )3(2)2,解得 t= ,故选项 B 错误;
11、卫星在图中椭圆轨道由 A 到 (1+2)411+221B 时,只有万有引力做功,机械能守恒,故选项 C 错误;卫星由圆轨道进入椭圆轨道,需减速,则机械能减小,故选项 D 错误。考点三 双星问题1.双星问题特点:双星做匀速圆周运动,运动轨迹的圆心相同,周期、角速度、向心力的大小都相同。2.双星问题的两个重要关系式:双星的质量、轨道半径如图所示,根据牛顿第二定律,万有引力充当向心力:7G =m1 2r1,12(1+2)2G =m2 2r2。12(1+2)23.双星问题关系式的处理技巧:(1)求解双星的角速度、周期等共同的物理量的时候,通常将、两式相加,然后化简求解。(2)求解双星的半径、线速度等两
12、星不同的物理量的时候,通常将、两式相除,然后分析求解。【对点训练】1.假设宇宙中有一双星系统由 a、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得 a 星的周期为 T,a、b 两颗星的距离为 l,a、b 两颗星的轨道半径之差为 r(a 星的轨道半径大于 b 星的轨道半径),则 ( )【解析】选 B。双星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,则周期相等,所以 b 星的周期为 T,选项 A 错误;根据题意可知,r a+rb=l,ra-rb=r,解得:r a= ,rb=,则 a 星的线速度大小 va= = , = ,选项 B 正确,选项2 8C 错误;双
13、星系统靠相互间的万有引力提供向心力,角速度大小相等,向心力大小相等,则有:ma 2ra=mb 2rb,解得: = =,选项 D 错误。2.(多选)(2018全国卷) 2017 年,人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程,在两颗中子星合并前约 100 s 时,它们相距约 400 km,绕二者连线上的某点每秒转动 12 圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体,由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识,可以估算出这一时刻两颗中子星 ( )A.质量之积 B.质量之和C.速率之和 D.各自的自转角速度【解析】选 B、C。由题可知双中子星相距 L 约 400 km、万有引力常量 G、双中子星做匀速圆周运动的频率 f=12 Hz。由万有引力提供向心力可得 G =122m1(2f) 2r1、G =m2(2f) 2r2,r1+r2=L,联立解得:m 1+m2= ,故选项 A 错误,122选项 B 正确;v 1=2fr 1、v 2=2fr 2解得 v1+v2=2fL,故选项 C 正确;各自的自转角速度无法估算,故选项 D 错误。
